《等式的性质》典型例题

例1 回答下列问题；

（1）从abbc，能否得到ac，为什么？ （2）从abbc，能否得到ac，为什么？ （3）从

ac，能否得到ac，为什么？ bb（4）从abcb，能否得到ac，为什么？ （5）从xy1，能否得到x1，为什么？ y（6）从xyy，能否得到x1，为什么？

例2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：

（1）如果358，那么38 ； （2）如果2x36，那么2x6 ； （3）如果3x2x1，那么3x 1；

1（4）如果x5，那么x ；

21111（5）如果x2x，那么x  ；

323222（6）如果4(x)2，那么x  ；

33（7）如果x2y2，那么x ； （8）如果

例3 请利用等式性质解方程：9x106x ①

例4 利用等式的性质解下列方程并检验：

（1）2x93 （2）0.5x6

xy，那么3x ． 231 （3）43x7 2例5 学校每年都要组织部分学生到游乐园游玩，并有一名带队去师．游乐园的门票成人8元，学生5元，此次购买门票共花183元，问共有多少学生参加了此次活动？

例6 利用等式性质解下列一元一次方程

（1）x25；（2）3x5；（3）3x15；（4）

例7 甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？

例8 A足球队进行足球联赛，联赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，A队一共比赛了10场，并保持不败记录，一共得了22分．A队胜了多少场？平了多少场？

例9 一商店把某商品按标价的九折出售仍可获知得20％的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件_________元．

例10 某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在的降价的幅度是（ ）

A．45％ B．50％ C．90％ D．95％

u210． 3参

例1 解：（1）从abbc能得到ac，根据等式性质1，在等式两边同时减去b就得到ac；

（2）从abbc不能得到ac．因为是b是否为0不确定，因此不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以b；

（3）从

ac能得到ac．根据等式性质2，等式两边都乘以b； bb（4）从abcb能得到ac．根据等式性质1，在等式两边都加上b； （5）从xy1能得到x等式两边都除以y；

（6）从xyy不能得到x1．因为y是否为零不能确定，因此不能在

1．由xy1隐含着y0．因此根据等式的性质2．在yxyy两边同除以y．

说明：在使用等式的性质2时，一定要注意除数不为0的条件，还要注意题目中的隐含条件，比如xy1隐含着y0．

例2 分析：本题是等式性质的应用也是本节的难点，解答这类题目的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的．比如本题的第（1）题，第二个等式的左边是3不需填空，3是由第一个等．．式的左边．．35减去5得到的，所以第二个等式的右边也应减5，即85，因此填空为5，其它题目可进行类似地分析．

解：（1）385；

根据等式性质1．等式两边都减去5． （2）2x63；

根据等式性质1．等式两边都加上3． （3）3x2x1；

根据等式性质1．等式两边都加上2x． （4）x10；

根据等式性质2．等式两边都乘以2．

11（5）xx2；

32根据等式的性质1．等式两边都加上2x． （6）x21； 32根据等式的性质2．等式两边都除以4． （7）xy；

根据等式性质1．等式两边都加上2． （8）3x2y；

根据等式性质2，等式两边都乘以6．

例3 分析：第一步，想办法去掉等式右边的6x，可以利用等式性质1，两边同减去6x，得

3x100 ②

第二步，想办法去掉左边的－10，可利用等式性质1，两边同加上10，得 3x10 ③

1第三步，想办法把x项的系数3变成1，可以利用等式性质2，两边同乘以，

3得

x10 ④ 310 3于是我们求出了方程①的解 x 解：9x106x两边同减去6x，得

3x100 两边同加上10，得 13x10 两边同乘以，得

310x．

3 说明：上述等式①、②、③、④都是方程，其中等式④具有双重性：既可以看成是方程，也可以看成是方程的解．

例4 解：（1）两边减9，得

2x9939

化简，得

2x6

两边同除以2，得

x3

检验：将x3代入方程的左边，得

2(3)9693

方程的左右两边相等，所以x3是方程的解． （2）两边加6，得

0.5x66化简，得

16 20.5x两边同除以0.5，得

13 2x13

检验：将x13代入方程的左边，得

0.51361316 22方程的左右两边相等，所以x13是方程的解． （3）两边减4，得

43x474

化简，得

3x3

两边同除以－3，得

x1

检验：将x1代入方程的左边，得

43(1)437

方程的左右两边相等，所以x1是方程的解．

说明：（1）解方程是运用等式的性质将方程转化为xa的形式，解方程的

过程也可以看作是等式变形的过程．在解方程的过程中，要注意严格按照等式的性质．（2）检验是检查所求未知数的值是否为方程的解的必要过程，将所得到的未知数的值代人方程中，经计算后观察等式左右两边是否相等．（3）无论是解方程还是检验都应注意计算的准确性，养成正确计算的习惯．

例5 解：设共有学生x人参加，购买门票共花5x元．则：

5x8183

两边减8，得

5x175

两边同时除以5，得

x35

答：共有35个学生参加了此次活动．

说明：列方程解应用问题关键是找准题目中的相等关系，此题可以以总钱数作为相等关系，也可以以学生购票所花钱数作为相等关系，求出方程的解后还应观察其是否符合实际意义，以及时发现错误．

例6 分析：（1）（2）利用性质1，（3）利用性质2，（4）利用性质1和性质2．

解：（1）两边同时减去2得x2252 于是x3．

（2）两边同时加上5得35x55 于是8x，习惯上写成x8． （3）两边同时除以－3，得于是x5．

3x15 33u（4）两边同时加2得22102，

3u整理后12，两边同乘以－3，得u36．

3说明：①根据等式的性质将方程化成xa的形式；

②有时要多次使用性质，但要注意不要同时使用，要按先后次序，避免造成混乱．

例7 分析：若设从乙队抽调x人到甲队，则现在甲队有(32x)人，乙队有(28x)人，等量关系：甲队人数＝2倍乙队人数．

解：设从乙队抽调x人到甲队，根据题意，有

32x2(28x)．整理后32x562x．

方程两边先加2x，后减32得3x24，再除以3得x8． 所以，需从乙队抽调8人到甲队．

说明：①根据实际问题，设未知数，找出等量关系，列出方程；②根据等式的性质将方程化成xa的形式．

例8 分析：设A队胜了x场，则A队平了(10x)场． 解：设A队胜了x场，积分为3x， 则平了(10x)场，积分为(10x)．

因此，3x(10x)22，整理后2x1022。 方程两边喊10后，除以2得x6,10x4 所以，A队胜了6场，平了4场．

说明：①运用胜、平所得积分之和为22，列方程； ②运用等式的性质解方程．

例9 分析：售价－进价＝利润 利润率＝

利润 进价解：设标价是每件x元，则售价为90％x． 根据题意，得90%x303020%． 整理得0.9x306，方程两边同时加上30得 ． 0.9x36，再两边同时除以0.9，得x40（元）所以标价为40元．

例10 分析：现在的价格降低后＝原来的价格×（1＋10％）．

解：设原来的价格为a元，则现在的价格为a(1100%)，物价部门限定的价格为a(110%)．

设在现在的价格上降低的幅度是x，则降价后为a(1100%)(1x)，根据题意，得

，整理后， a（1100%）（1x）a（110%）22x1.1，两边同时减去2，得2x0.9． 两边同时除以－2，得x0.4545%. 答案：A．

《等式的性质》教案

雷亚丽 学情分析：学生在小学阶段初步接触了方程以及等式，学会了解未知数系数较为简单的简易方程，在初中阶段，我们要在小学阶段的基础上加深方程知识的学习，等式的性质是学习方程的重要前提。 教学目标：

知识与技能：会利用等式的两条性质解方程。

过程与方法：利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质。

情感态度与价值观：培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识。 教学重点：了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程。 教学难点：由具体实例抽象出等式的性质。 教学过程： 引入新课：

算一算：能否用估算法求出下列方程的解

(1) x+2=12 (2) 2x +5= 21 (3) 23x=230 (4) 2500+900x = 15000

方程(1)(3)的解可以观察得到,但是仅靠观察来解比较复杂的方程(2)(4)就比较困难.因此,我们还要讨论怎样解方程．

新授：

1. 什么是等式

方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质． 请问，什么是等式？

举个例子：

（1）x - 2 = 4 (2) 1+2=3 (3) m+n=n+m

像这样用等号“=”表示相等关系的式子叫等式．

在等式中，等号左（右）边的式子叫做这个等式的左（右）边．

小试牛刀： ①4+x=7， ② 2x<5, ③ 3x+1, ④ a+b=b+a, ⑤ a2+b2 ⑥ L=2πr ⑦ 1+2=3, ⑧ 2/3 ab, ⑨ S= 1/2ab, ⑩ 2x-3y

上述这组式子中，( )是等式， ( ) 不是等式，为什么？

那么，像2x+5=21这种稍微复杂的方程我们应该如何解呢？下面我们一起来讨论学习等式的性质吧！<板书：等式的性质>

2. 探索等式的性质

在数学的学习中，我们有很多的数学模型，比如我们在我们上一章的学习中，把刻度尺当作数轴的模型，在等式的学习中，我们用天平来当作等式的模型。

大家观察一下这组图，你可以发现什么规律？

我们可以发现，如果在平衡的天平两边都加（或减）同样的重量，天平还保持平衡。 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质。

等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：若a=b，则a+c=b+c <板书>

练一练

在下面的括号内填上适当的数或者式子： 因为：2x-6=4，所以2x-6+6=4+( ) 因为：3x=2x-8，所以3x+( )=2x-8-2x

观察图2，你能发现什么规律？

等式性质2：等式两边同乘一个数，或者同除以一个不为0的数，结果仍相等。 即：如果a=b， 那么 ac=bc

如果a=b (c≠0)，那么

小结：

等式的性质：性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子), 结果仍相等.

性质2: 等式两边乘同一个数, 或除以同一个不为０的数, 结果仍相等.

注意：（1）等式两边都要参加运算，且是同一种运算．

（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．

-5x20  （3）等式两边不能都除以０，即０不能作除数或分母． -55

平心静气，展现智慧

1、判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质；错的说出为什么。 (1)如果x=y,那么 (2)如果x=y,那么(3)如果x=y,那么 (4)如果x=y,那么 (5)如果x=y,那么

（ ） （ ）

（ ）

（ ）

（ ）

ab3. 等式性质的运用——解方程 cc例：利用等式的性质解下列方程

（1）x+7=26 （2）-5x=20

分析：所谓“解方程”就是要求出方程的解“x＝？”因此我们需要把方程转化为“x＝a（a为常数）”的形式．

解：两边减7，得 解：两边除以-5，得 X+7-7=26-7 于是 x=19

于是 x=-4

解法一：两边加5，得 解法二：两边同乘-3，得

化简，得 化简，得

两边同乘-3，得x=-27 两边同减15，得x=-27

4. 巩固提升

（1）0.3x=45 (2) 5x+4=0

注意：经过对原方程的一系列变形(两边同加减、乘除)，最终把方程化为最简的等式： x = a(常数）

即方程左边只一个未知数项、且未知数项的系数是 1,右边只一个常数项.

5. 作业的布置 6. 小结

(3)1x54313 x53431 x554531 x93 x151231x262