“半角”模型旋转变换几何练习

核心母题 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.

变式一：如图，E、F分别是边长为 1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,若△ECF的周长是2，求∠EAF的度数?

变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，AG⊥EF，求证：AG=AB.

综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN， 求证：①.∠MAN=45②.

CCMN2AB③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM. 练习

1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长是AB的2倍，求∠KDN的度数？

2、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD， （1）求证：EF=BE+FD

（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。

5、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.

6、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．

7、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF． （1）求证：EF=BE+DF；

（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，

试探究EF、BE、DF之间的数量关系．

8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，PB=1．求∠BPC的度数

半角模型 条件：

且1800.

12思路：（1）、延长其中一个补角的线段

（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ）

结论：①MN=BM+DN ②CCMN2AB ③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

（2）对称（翻折）

思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一

定要证明

M、P、N三点共线.（∠B+∠D=180且AB=AD）

例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①.∠MAN=45

②.

0CCMN2AB

③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

思路同上略.

例1拓展：在正方形ABCD45中，已知∠MAN=，若

M、N分别在边

CB、DC的延长线上移动， ①.试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.

提示如图：

例2.在四边形ABCD180中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边

1EAFBAD.2BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证：

提示：



，AB=AD，若

练习巩固：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90E、

1EAFBAD.2F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF.

提示：