线性代数A详细答案

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一、 单项选择题（每小题4分，共20分）

1. A,B,C,I为同阶矩阵，I为单位矩阵，若ABC=I，则下列各式总是成立的是（A ） 31 (A) BCA=I (B) ACB=I (C) BAC=I (D) CBA=I

2．设A=11330,则ATA=.

20322. 已知方阵A满足A23A4EO, 则矩阵A2E1（ C ）

a103．设3阶方阵Ab20100与对角矩阵B020相似，则a2,b1

（A）AE （B）

10022(AE) 003（C）1101x102(AE) （D）A2E

4．已知方程组12kx0有非零解，则k= -1 .

2211x303. 设3阶矩阵A有特征值1,2,3，其对应的特征向量分别为1,2,3，令

5．设3阶方阵A的特征值为1,1,3,A是A的伴随矩阵, 则AA18/3. diag321，

二．计算题（50分）

则使得P1AP的可逆矩阵P可以是下面四个选项中的 （ B ）

xaLaaxLa（A）1.计算行列式

123 （B）32231

MMM （C）31223aaLx （D）231

xaLax(n1)aaLa1aLa解：

axLax(n1)axLa4.设向量MMM(1xLa1(3,1,0),2(2,0,4),(1,2,k)，则k=( D )时，β才能由α1，α2线

MMMx(n1)a)MMM

性表示。

aaLxx(n1)aaLx1aLx(A) 2 (B) 4 (C) 7 (D) 10

10L05．如果（ D ），则矩阵A与矩阵B相似

(x(n1)a)1xaL0MMM(x(n1)a)(xa)n1…

(A)AB (B)r(A)=r(B) 10Lxa(C)A与B有相同的特征多项式

……8分

(D)n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同 1012．已知两个三阶方阵A,B满足ABEA2B，其中A020 ,

101

求矩阵B.（10分）

二、 填空题（每题4分，共20分）

213解：由ABEA2B

1．行列式012中的元素a23的代数余子式A23的值为 8 . 426(AE)B(AE)(AE)………………4分

3

因为AE0，………………6分

1 时，增广矩阵为

11101110201Ab所以BAE=1113030………………10分 0001 方程组无解。 …………………6分 111000001022 时，增广矩阵为

111

220111033.求向量组Ab21101(1,1,3,1)T,2(1,1,1,3)T,3(5,2,8,9)T,4(1,3,1,7)T,的一个

121303极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。（10分） 112322322011210110001120003

23230000解：把α1，α2，α3，α4 组成矩阵并做行初等变换

原方程组与方程组 x1x31 通解，此时有无穷多解。此次方程组对应的基

11511151x2x321231123024…………………4

分

113181741397027404148础解系为 xC1 ，非齐次方程的特解为 x2，所以原方程组的通解为 101031151127411512100172 xC1711000020022 ………………8分

2 …………………12分 100000000000000000000

5.设3阶对称阵A的特征值为16,233, 与特征值1因此，376对应的特征向量为

12为极大线性无关组，321-22,41+22. ………………10分

p1(1,1,1)T， 求A（10分）

x1x2x3014.设有线性方程组x解：pT11x2x33问λ取何值时，此方程组

1xOx1x2x30，基础解系为1,0 …………………4分 x1x2x3101（1）有惟一解；无解

（2）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解。（12分） 111

P110

解： 方程组的系数矩阵：

1011111111/31/31/3A11(2)(1)20 解得 1，-2 时方程组有惟一解。

P1111101/32/31/3…………………8分 10132/31/31/ …………………………3分

4

1111A110600111411030110=141……… 10分01003 1101114

三．证明题（10分）

1.设AmnBnlO，证明R(A)R(B)n。

证：记方程AxO的解集为S，即R(B)Rs。…………2分

QR(A)Rsn，QR(A)Rsn …………5分

2.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1a1a2,b2a2a3,b3a3a1，试证向量组

b1,b2,b3线性无关。

证明：设有x1,x2,x3使

x1b1x2b2x3b30

即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0

亦即a1(x1x3)a2(x2x1)a3(x2x3)0…………2分 因a1,a2,a3线性无关，固有

x1x30x2x10x1x2x30 …………4分 x2x30所以，向量组b1,b2,b3线性无关。 …………5分

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