山东省济南市2018-2019学年高一上学期高一年级学习质量
评估 （期末）考试
第Ⅰ卷（选择题 共52分）
一、单项选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A.
B.
，若集合 C.
，集合 D.
，则
（ ）
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据集合补集的概念，求得
.
【详解】根据题意，可知故选C.
【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.
2.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为圆锥的母线长为A.
B.
，则圆台的母线长为（ ） C.
D.
，若截去的
，所以
，
，再根据交集中元素的特征，求得
【答案】D 【解析】 【分析】
设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是圆台的母线长.
【详解】如图，设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是
，
，利用相似知识，求出
根据相似三角形的性质可得解得
，
，
，
所以圆台的母线长为故选D.
【点睛】该题考查的是有关圆台的母线长的求解问题，涉及到的知识点有圆台的定义，相似三角形中对应的结论，属于简单题目. 3.若直线
与直线
平行，则实数的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -2或2 D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】
利用两直线平行的条件，求得参数所满足的等量关系式，从而求得结果，关注不重合的条件. 【详解】因为直线所以有故选A.
【点睛】该题考查的是有关两条直线平行时系数所满足的关系，注意要求是不重合直线，属于简单题目. 4.已知函数 则函数
在区间
上的零点至少有（ ）
的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表： 1 0.37 2 3 2.72 4 0 5 ，且
与直线
，解得
平行， ，
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】 函数
的图象在
上是连续不断的，且
，函数
在
上至少有一个零点，
根据表格函数值判断即可.
【详解】根据表格中的数据，结合零点存在性定理， 可以发现所以函数在区间所以函数故选C.
【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有函数零点存在性定理，属于简单题目. 5.函数
的图象大致为（ ） 在区间
和区间
，
上至少有一个零点，以及4是函数的一个零点，
上的零点至少有3个，
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用函数的奇偶性，对称性和特殊点的特殊值分别进行判断即可得结果. 【详解】因为
，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除D，
当时，，所以排除A,B，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，注意从函数的定义域，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号，可以判断出正确结果，属于简单题目.
6. 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ ） A.
B.
C. D.
【答案】A 【解析】
7.下面四个不等式中不正确的是 ．．．A. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性，对数函数的单调性，不等式的性质，对数函数的图象，可以选出正确结果.
【详解】根据指数函数的单调性，可知因为
，所以
，所以A正确；
B.
C.
D.
，所以B不正确； ，所以C正确；
根据对数函数的图象可知
因为故选B.
，所以，所以D正确；
【点睛】该题考查的是有关指数幂，对数值比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数的
单调性，对数函数的单调性，随着底数的变化，函数图象的变化趋势，还有就是利用中介值比较大小，属于中档题目. 8.如图，四棱锥三棱锥
的体积为
的底面，则
为平行四边形，的值为（ ）
，若三棱锥
的体积为
，
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
首先设四棱锥的高为，底面的面积为，利用等积转换，以及结合棱锥的体积公式，求得
，之后求得比值，得到结果. 【详解】设四棱锥底面则因为所以
，所以的面积为，
， ，
，
的高为，
所以，
故选B.
【点睛】该题考查了棱锥体积的计算，解题的关键是将三棱锥的体积合理进行等价转换，建立两个锥体体积的关系式. 9.已知曲线（ ）
与直线
有两个不同的公共点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
试题分析：曲线y＝1＋
可以化为
，它表示以
为圆心，以为半
时，
径的圆的上半部分，而直线y＝k(x－2)＋4过定点，画出图象可知当直线过点
直线与半圆有两个交点，此时直线的斜率为；当直线与半圆相切时，直线斜率为，所以要使半圆与曲线有两个交点，实数k的取值范围是(，].
考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系的应用和学生数形结合解决问题的能力. 点评：曲线曲线y＝1＋形，数形结合解决.
10.在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：的定义为
可以为（ ） （参考数据：
，
）
，健康人体血液
，记作
）的乘积等于常数
，记作.已知
）值
表示半圆，而不是一个完整的圆，解决此类问题一定要画出图
值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果. 【详解】由题意可知，
，且
，
相关
所以，
因为，所以，
，
分析比较可知故选B.
【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的
的求值问题，该题属于现学现用型，在
，所以
可以为7，
解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
11.下面说法中错误的是（ ） ．．A. 经过定点B. 经过定点C. 经过定点
的直线都可以用方程的直线都可以用方程的直线都可以用方程
表示 表示
的直线都可以用方程
表示 表示
D. 不经过原点的直线都可以用方程E. 经过任意两个不同的点
表示
【答案】ABCD 【解析】 【分析】
，
利用直线方程的各种形式的使用条件，对选项逐一分析，得出结果.
【详解】对于A项，该方程不能表示过点P且垂直于轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A项不正确；
对于B项，该方程不能表示过点P且平行于轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B项不正确；
对于C项，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C项不正确；
对于D项，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确； 对于E项，经过任意两个不同的点
，
的直线都可以用方程
表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E正确；
故选ABCD.
【点睛】该题考查的是有关直线方程的使用条件，需要对点斜式，斜截式，两点式，截距式的使用条件非常熟悉，属于中档题目. 12.如图，
垂直于以
为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列
结论中正确的是（ ） ．．
A. B. C. D. 平面E. 平面
平面
平面平面
【答案】BE 【解析】 【分析】
首先根据圆中直径所对的圆周角为直角，得到圆所在的平面，所以可得到
，再由条件
垂直于以
为直径的，从而得
，根据线面垂直的判定定理，得到
平面
，再由面面垂直的判定定理，得到平面
垂直于以
，从而得到正确选项.
，
，
【详解】因为为直径的圆所在的平面，所以可得
，从而可以证得
又因为直径所对的圆周角为直角，所以有从而得到因为故选BE.
，所以B项正确； ，所以有平面
平面
，所以E项正确；
【点睛】该题是以几何体为载体，考查有关空间关系的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于简单题目.
13.定义“正对数”：A. C. E.
【答案】ACE 【解析】 【分析】
对于A项，对“正对数”的定义分别对
B.
D.
若
，
，则下列结论中正确的是（ ） ．．
从两种情况进行推理；对于B
项和D项，通过举反例说明错误；对于C项和E项，分别从四种情况进行推理，得到结果. 【详解】对于A，当所以当所以当对于B，当而所以
，所以B错误；
且， ，
，
，因为，
时，有，所以时，
，
，
，
，
，
时，
时，满足
时，有
，
，所以A正确；
，
，
，
，从而
，
，
时，有
，从而
，
对于C，由“正对数”的定义知，当而当而所以当而当
，所以时，有时，
则所以当令
， 时，，则
，所以C正确；
，显然
，
所以D不正确；
对于E，由“正对数”的定义知，当当从而所以当从而所以当因为所以故选ACE.
【点睛】该题考查的是有关命题的真假判断与应用，涉及到的知识点是新定义，以及对数的运算法则，认真审题是正确解题的关键.
，从而时，
，
，所以D正确；
，
，
时，有时，有
，
， ，
，
，
时，有，
， ，
第Ⅱ卷（非选择题 共98分）
三、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
14.集合【答案】16 【解析】 【分析】
应用含有个元素的有限集合，其子集的个数是个，根据所给的集合中元素个数，求得结果.
【详解】因为集合所以该集合共有故答案是：16.
【点睛】该题考查的是有关给定集合子集的个数的问题，涉及到的知识有含有个元素的有
中有四个元素， 个子集，
共有__________个子集.（用数字作答）．
限集合，其子集的个数是个，属于简单题目. 15.已知幂函数【答案】-2 【解析】 【分析】
首先根据幂函数的定义，可以得到的条件，在【详解】因为函数所以解得当当所以
或时，时，
，
，即，
，满足在，在
上是减函数， 上是增函数，
，
，解方程求得
或
，再结合题中所给
在
上是减函数，则实数的值为__________．
上单调减，从而做出取舍，求得结果.
是幂函数，
故答案是：.
【点睛】该题考查的是有关求函数解析式中的参数值的问题，涉及到的知识点有幂函数的定义和幂函数的性质，属于简单题目.
16.古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯（Pappus，约300～约350）在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积.”如图，半圆的直径
，点是该半圆弧的中点，半圆弧与直径
上.若半圆面绕直径
所围
成的半圆面（阴影部分不含边界）的重心位于对称轴转一周，则所得到的旋转体的体积为__________
,
所在直线旋
．
___________________
【答案】 (1). 【解析】 【分析】
(2).
首先根据题意，可以判断出旋转之后得到的几何体是球，根据球的体积公式求得该球体的体
积，再应用题中所给的结论，得到关于OG的等量关系式，从而求得结果. 【详解】根据题意可知，该几何体为半径为2的球体， 所以该球的体积为设所以有故答案是：
，则根据题意可得
，解得.
， ，
，
【点睛】该题考查的是有关新结论的问题，涉及到的知识点有球体的体积公式，认真审题，正确理解题意是解题的关键. 17.在平面直角坐标系
中，为直线
上在第一象限内的点，
，则直线
，以线段
为直
径的圆（为圆心）与直线交于另一点.若的标准方程为__________． 【答案】 (1). 【解析】 【分析】
(2).
的方程为__________，圆
首先设出点A的坐标，利用中点坐标公式求得点C的坐标，可以写出圆的方程，与直线方程联立，求得
，将两直线垂直用向量垂直来表示，通过向量的数量积等于零，得到其
，之后应用直线方程的两点式求得直线的方程，利用圆心
满足的等量关系式，从而求得坐标和半径长求得圆的标准方程. 【详解】设
，因为
，所以，
，
则圆C的方程为：联立所以即又
，解得，所以
，即
或
， ，
，即，解得
， ，
所以直线AB的方程为：从而
，且
，
，
，所以圆C的方程为，
.
故答案是：
【点睛】该题考查的是有关直线与圆的有关问题，涉及到的知识点有中点坐标公式，以某条线段为直径的圆的方程，直线与圆的交点坐标，直线方程的两点式，圆的标准方程，属于中档题目.
四、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知函数（1）求，的值； （2）求函数【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据题中所给的函数解析式，将对应变量代入，得到利用对应项系数相等，得到（2）根据题意，确定函数【详解】（1）因为所以所以
解得
．
．
时，时，
取最小值
； 所满足的等量关系式，求解即可；
的解析式，将其配方，结合所给的区间，求得结果.
．
，
，
在区间
上的最值.
满足
.
； （2）最小值，最大值4．
（2）由（1）可知：所以当当
取最大值4．
【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解，以及二次函数在某个闭区间上的最值的问题，涉及到的知识点有应用待定系数法求已知函数类型的函数解析式，利用配方法求二次函数在某个区间上的最值，注意分析对称轴与区间的关系. 19.已知直线
（1）求点的坐标；
（2）若直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线的方程. 【答案】(1)
(2)
，无论为何实数，直线恒过一定点.
【解析】
试题分析：（1）将直线变形为坐标；（2）可设直线为值。 解析： （1）将直线
，
解方程组得
，
所以定点的坐标为
.
，
的方程整理为：
，令
，根据题意可得到面积为
，即可解出定点，进而解出参数
（2）由题意直线的斜率存在，设为于是令于是解得
.
，即
，得
，即；令
，得
. ，
，
所以直线的方程为20.如图，在直三棱柱
.
，
，
的中点.
中，，，分别为
（1）求证：（2）求证：平面
平面
平面
；
.
【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）连接
，根据条件得四边形
是矩形，进而得到
，之后根据线面平行的
判定定理，得到结果；
（2）根据条件，证得【详解】（1）连接所以四边形所以所以点为又点为所以在又所以
面平面
面，利用面面垂直的判定定理，证得面面垂直.
是直三棱柱， 的中点，
，因为三棱柱是矩形. 又因为为，
的中点 的中点， 中， ，
；
． 面
（2）因为三棱柱可知：又连接又所以又所以面
面面 面 所以，同理可证：
，
面
．
是直三棱柱，
.
. ，
. ，
.
【点睛】该题考查的是有关空间关系的证明问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的判定，在解题的过程中，注意对定理的条件的正确理解以及要保证书写过程的严密性. 21.面对拥堵难题，济南治堵不舍昼夜.轨道交通1号线已于2019年元旦通车试运行，比原定工期提前8个月，其他各条地铁线路的建设也正在如火如荼的进行中，完工投入运行后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔为（单位：分钟），并且
.经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当
状态，载客量为450人；当
时，载客量会减少，减少的人数与．．．．．
时，地铁为满载的平方成正比，
且发车时间间隔为2分钟时的载客量为258人，记地铁载客量为（1）求
（单位：人）.
的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，地铁的载客量；
（单位：元），问当发车时间间隔为多
（2）若该线路每分钟的利润为少时，该线路每分钟的利润最大. 【答案】（1）（2）当发车时间间隔【解析】 【分析】
,
人；
分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元.
（1）根据题意，结合题的条件，利用函数类型，利用待定系数法求得结果，将自变量代入解析式，求得对应的函数值； （2）先求出
的解析式，再求出分段函数每一段上的最大值，比较大小，求得最值.
（为常数 ）
，得
．
（人）． 可得
【详解】（1）由题意知因为所以得（2）由
，
当任取
时，
，且
，则
，
，
因为所以
在
，所以
，所以
，
上为增函数， ； 时，
，当
时等号成立．
最大值为当
所以当发车时间间隔分钟时，该线路每分钟的利润最大，最大值为80元．
【点睛】该题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有根据题意求函数解析式，分段函数的意义，函数的最值，属于较难题目. 22.已知函数（1）若
，求函数
.
的值域；
（2）讨论函数【答案】（1）函数数．. 【解析】 【分析】 （1）将
的奇偶性，并说明理由.
； （2）当 且
时，函数
为偶函数；当
时，
是奇函数；当，函数既不是奇函数，也不是偶函
代入函数解析式，求得函数的定义域，将函数解析式化简，之后借助于指数函
数的值域以及不等式的性质求得结果；
（2）分类讨论，利用奇偶函数的定义，讨论函数的奇偶性，从而求得结果. 【详解】（1）当
时，
定义域为
，
，
所以
值域为
时，
定义域为R，故函数
为偶函数；
不关于原点对称，故函数
既不是
（2）①当②当
且
时，定义域为
奇函数，也不是偶函数 ； ③当
时，
定义域为
故函数
是奇函数； ④当
时，定义域为R关于原点对称，若
是奇函数
当时，故函数是奇函数；
若
且
是偶函数
时，，函数
既不是奇函数，也不是偶函数．
综上： 当当当
时，函数 且
为偶函数； 时，函数
是奇函数；
，函数
既不是奇函数，也不是偶函数．
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数的值域的求法，函数奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，属于中档题目. 23.已知点（1）若点
，直线关于直线
，且点不在直线上. 的对称点为
；
，求点坐标；
（2）求证：点到直线的距离
（3）当点在函数图像上时，（2）中的公式变为，
请参考该公式，求【答案】（1）【解析】 【分析】
的最小值.
.
； （2）见解析； （3）
（1）把握住点关于直线的对称点的关键条件是垂直与平分，列出方程组求得结果； （2）可以利用过点作直线的垂线，求两直线的交点即垂足，再用两点间距离公式求得结果，也可以用直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边长，求得结果；
（3）设出变量，利用式子，将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值问题，结合图形，求得结果.
【详解】（1）因为点P，Q关于直线
对称，
所以
解得所以．
（2）证法一：设，根据定义，点P到直线的距离是点
P到直线的垂线段的长，如右图，设点P到直线的垂线为， 垂足为Q，由所以的方程：
可知的斜率为，
．
与联立方程组解得交点，
所以
所以可证明，当综上证法二：设
． 时仍成立．
． ，这时与轴、轴都相交，
；过点P作轴的垂线，交于点
，
，
过点P作轴的垂线，交于点由
得
所以，＝＝ ，＝＝ ，
＝×
＝
·
． ，
由三角形面积公式可知：·所以可证明，当
或
． 时仍成立．
综上．
（3）令，
，
则表示函数表示函数所以最小值为
图象上的点到直线图象上的点到直线
．
的距离， 的距离，
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点
有点关于直线的对称点坐标的求解，点到直线的距离公式的证明，以及根据题意，将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值问题，注意对数形结合思想的应用.
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