人教版 九年级数学上册 21.2 解一元二次方程专题训练题 (含解析)

解一元二次方程 专题训练题

知识点睛

一、一元二次方程的解法

１．一元二次方程的解法：

⑴直接开平方法：适用于解形如(x+a)2=b(b0)的一元二次方程．

⑵配方法：解形如ax2+bx+c=0(a0)的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化1． ②常数项右移．

③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成(x+m)2=n的形式．

⑤若n0，选用直接开平方法得出方程的解． ⑶公式法：

设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a0)，其根的判别式为：=b2−4ac，x1,x2是方程的两根，则：

−bb2−4ac⑴ 0方程ax+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根x1,2=．

2ab⑵ =0方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根x1=x2=−．

2a⑶ 0方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根．

2若a、b、c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

若为完全平方式，同时−bb2−4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式 ②确定a、b、c的值． ③计算b2−4ac的值．

④若b2−4ac0，则代入公式求方程的根． ⑤若b2−4ac0，则方程无解．

⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．

2．一元二次方程解法的灵活运用

直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．

⑴ 因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．

⑵ 公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b2−4ac的值．

⑶ 直接开平方法：用于缺少一次项以及形如ax2=b或(x+a)=b(b≥0)或

2(ax+b)2=(cx+d)的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．

2⑷ 配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元

b、a0）二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、转化为它的简单形式Ax2=B，c为常数，

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这种转化方法就是配方，具体方法为：

2bb2b2b4ac−b2ax+bx+c=ax+x+2+c−． =ax++a4a4a2a4a22b4ac−b2所以方程ax+bx+c=0（a、b、c为常数，a0）就转化为ax++的形式，

2a4a22bb2−4ac即x+=，之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 22a4a

2一．解一元二次方程-直接开平方法（共10小题） 1．解方程：(x−1)2=4．

2．解方程：(x−5)2=16．

3．解方程：(6x−1)2−25=0

4．解方程：3(x−2)2−48=0．

5．解方程：2(3x−2)2−18=0．

6．解方程：4(2x−1)2−36=0．

17．解方程：(3x+1)2=

4

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18．解方程：(x−2)2=9．

4

19．解方程：(2x−3)2−25=0．

3

10．解方程：4(x+3)2=25(x−2)2．

二．解一元二次方程-配方法（共10小题） 11．用配方法解方程：x2−6x=91．

12．用配方法解方程：2x2−4x−1=0

13．用配方法解方程：2x2−6x−1=0

14．用配方法解方程：2x2−8x−1=0

15．用配方法解方程：2x2−4x−1=0．

16．用配方法解方程：20x2+12x=

- 3 - / 18 1． 2知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

17．用配方法解方程：3x2−6x+2=0．

3318．用配方法解方程：x2−4x−=0

22

19．用配方法解方程：2x2−3x+

20．用配方法解方程：2x2−3x+

三．解一元二次方程-公式法（共10小题） 21．用公式法解方程：x2−5x+3=0．

22．用公式法解方程：x2−5x+3=0.21．

23．用公式法解方程：x2−22x+1=0．

24．用公式法解方程：−2x+x2−1=0．

25．用公式法解方程：3x2−2x−2=0．

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1=0． 21=0． 2知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

126．用公式法解方程：x2−3x−5=0．

2

27．用公式法解方程：3x2−16x+5=0

28．用公式法解方程：3x2+5(2x+1)=0．

29．用公式法解方程：3x2+1=25x．

30．用公式法解方程：2x2−2x−

四．解一元二次方程-因式分解法（共10小题） 31．解方程：x2−2x−8=0

32．解方程：x2−3x−=0

33．解方程：x2+5x−14=0．

34．解方程：2x2−3x−14=0

1=0． 2- 5 - / 18

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35．解方程：(2x−1)2=x(2x−1)

36．解方程：(2x−3)2=x(3x−2)

37．解方程：(x−4)2=4x(4−x)．

38．解方程：x(x−3)−5(3−x)=0．

39．解方程：(x−1)2−2(x−1)=15．

40．解方程：2(3x−2)+(3x−2)(x+3)=0．

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参

一．解一元二次方程-直接开平方法（共10小题） 1．解方程：(x−1)2=4．

解：两边直接开平方得：x−1=2， x−1=2或x−1=−2，

解得：x1=3，x2=−1． 2．解方程：(x−5)2=16． 解：x−5=4， 所以x1=1，x2=9． 3．解方程：(6x−1)2−25=0 解：(6x−1)2−25=0 则：(6x−1)2=25， 故6x−1=5，

解得：x=1，x212=−3．

4．解方程：3(x−2)2−48=0． 解：(x−2)2=16， x−2=4，

所以x1=6，x2=−2．

5．解方程：2(3x−2)2−18=0． 解：2(3x−2)2−18=0，

(3x−2)2=9，

3x−2=3，

x=53或x=−13 6．解方程：4(2x−1)2−36=0．

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解：4(2x−1)2−36=0，

(2x−1)2=9，

2x−1=3， x=2或−1

7．解方程：14(3x+1)2=

解：1(3x+1)24=，

则：(3x+1)2=256， 故3x+1=16， 解得：x1=−173，x2=5． 8．解方程：14(x−2)2=9．

解：1(x−2)24=9，

(x−2)2=36，

两边直接开平方得：x−2=6， 则x−2=6，x−2=−6， 解得：x1=8，x2=−4． 9．解方程：13(2x−3)2−25=0．

解：13(2x−3)2−25=0

(2x−3)2−75=0， (2x−3)2=75， 2x−3=53， 2x=353，

解得：x31=3+52，x3−532=2．10．解方程：4(x+3)2=25(x−2)2．- 8 - / 18

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解：4(x+3)2=25(x−2)2， 开方得：2(x+3)=5(x−2)， 解得：x1=1，x2=． 37二．解一元二次方程-配方法（共10小题） 11．用配方法解方程：x2−6x=91． 解：

x2−6x=91．

(x−3)2=100，

x−3=10， x=13或x=−7；

12．用配方法解方程：2x2−4x−1=0 解：2x2−4x−1=0

1=0 21x2−2x+1=+1

23(x−1)2=

2x2−2x−x1=1+66，x2=1−． 2213．用配方法解方程：2x2−6x−1=0 解：2x2−6x=1， x2−3x=x2−3x+1， 2919311=+，即(x−)2=， 42424x−311=， 2211+33−11，x2=． 22则x1=14．用配方法解方程：2x2−8x−1=0 解：2x2−8x−1=0， x2−4x=1 2- 9 - / 18

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(x−2)2=9， 2x−2=x=232， 232 215．用配方法解方程：2x2−4x−1=0． 解：2x2−4x−1=0，

2x2−4x=1， x2−2x=1， 21+1， 2配方得：x2−2x+1=(x−1)2=3， 2开方得：x−1=解得：x1=3， 22+62−6，x2=． 221． 216．用配方法解方程：20x2+12x=31解：原方程化为：x2+x=，

03923， x2+x+=5100200(x+3223， )=10200x=−646 2017．用配方法解方程：3x2−6x+2=0． 解：移项，得

3x2−6x=−2， 二次项系数化为1，得 2x2−2x=−，

3配方，得 (x−1)2=1， 3开方，得

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3+33−3，x2=． 333318．用配方法解方程：x2−4x−=0

22x1=8解：方程整理得：x2−x=1，

384125配方得：x2−x+()2=1+，即(x−)2=，

33939x−45=或x−=−， 33331x1=3，x2=−．

319．用配方法解方程：2x2−3x+解：2(x2−1=0． 23991x+−)+=0， 2161623912(x−)2−+=0，

482352(x−)2=

4835(x−)2=

416x−x=35 =4435 41=0． 220．用配方法解方程：2x2−3x+1解：2x2−3x=−，

2x2−x2−31x=−， 243313x+()2=−+()2， 244435(x−)2=

416x−x=35=， 4435． 43+53−5,x2=． 44原方程的根是：x1=三．解一元二次方程-公式法（共10小题） 21．用公式法解方程：x2−5x+3=0．

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解：x2−5x+3=0， a=1，b=−5，c=3，

△=b2−4ac=(−5)2−413=130，

−bb2−4ac−(−5)13513， x===2a212x1=5+135−13． ,x2=2222．用公式法解方程：x2−5x+3=0.21． 解：

x2−5x+3=0.21，

x2−5x+2.79=0， a=1，b=−5，c=2.79，

△=b2−4ac=(−5)2−412.79=13.840，

53465=25346， 210x=513.84523.46==212x1=25+34625−346，x2=． 101023．解方程：x2−22x+1=0． 解：x2−22x+1=0， a=1，b=−22，c=1，

−bb2−4ac228−4x===21；

2a2x1=2+1，x2=2−1．

24．用公式法解方程：−2x+x2−1=0． 解：−2x+x2−1=0

x2−2x−1=0，

b2−4ac=(−2)2−41(−1)=8， x=28， 21- 12 - / 18

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x1=1+2，x2=1−2．

25．解方程：3x2−2x−2=0． 2(−2)2−43(−2)17解：x= =233即x1=1+71−7，x2= 331+71−7，x2= 33原方程的解为x1=126．解方程：x2−3x−5=0．

2解：

12x−3x−5=0， 2x2−6x=10， x2−6x+9=19，

(x−3)2=19， x=319

27．解方程：3x2−16x+5=0 解：(3x−1)(x−5)=0， 3x−1=0，x−5=0，

x1=1，x2=5． 328．解方程：3x2+5(2x+1)=0． 解：3x2+5(2x+1)=0， 整理得：3x2+10x+5=0， a=3，b=10，c=5，

b2−4ac=100−60=400， x=−10210−510， =63−5+10−5−10，x2=． 33则原方程的解为x1=29．解方程：3x2+1=25x． 解：方程整理得：3x2−25x+1=0，

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这里a=3，b=−25，c=1， △=20−12=8， x=252252． =631=0． 230．用公式法解方程：2x2−2x−解：2x2−2x−1=0 21a=2，b=−2，c=−，

21△=(−2)2−42(−)=60，

2x=2626． =224四．解一元二次方程-因式分解法（共10小题） 31．解方程：x2−2x−8=0 解：x2−2x−8=0，

(x+2)(x−4)=0， 则x+2=0或x−4=0， 解得x1=−2，x2=4． 32．解方程：x2−3x−=0 解：由原方程，得(x−9)(x+6)=0， 所以x−9=0或x+6=0， 解得x1=9，x2=−6． 33．解方程：x2+5x−14=0．

解：原方程可化为(x−2)(x+7)=0．（2分） 得x−2=0或x+7=0，（1分） 解得x=2或x=−7．（1分）

所以，原方程的根为x1=2，x2=−7．（1分） 34．解方程：2x2−3x−14=0 解：2x2−3x−14=0，

(2x−7)(x+2)=0，

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2x−7=0或x+2=0，

解得：x=7或x=−2． 235．解方程：(2x−1)2=x(2x−1) 解：(2x−1)2−x(2x−1)=0，

(2x−1)(2x−1−x)=0，即(2x−1)(x−1)=0， 则2x−1=0或x−1=0， 解得x=0.5或x=1．

36．解方程：(2x−3)2=x(3x−2)

解：将方程整理为一般式，得：x2−10x+9=0， 则(x−1)(x−9)=0， x−1=0或x−9=0，

解得x=1或x=9．

37．解方程：(x−4)2=4x(4−x)． 解：(x−4)2=4x(4−x)

(x−4)2+4x(x−4)=0，

(x−4)(x−4+4x)=0， 则x−4=0或5x−4=0， 解得：x1=4，x=4． 538．解方程：x(x−3)−5(3−x)=0． 解：

x(x−3)−5(3−x)=0，

x(x−3)+5(x−3)=0， (x−3)(x+5)=0， x=3或x=−5，

39．解方程：(x−1)2−2(x−1)=15． 解：(x−1)2−2(x−1)−15=0，

[(x−1)−5][(x−1)+3]=0，

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(x−1)−5=0或(x−1)+3=0， 所以x1=6，x2=−2．

40．解方程：2(3x−2)+(3x−2)(x+3)=0． 解：(3x−2)(2+x+3)=0， 3x−2=0或x+5=0

x1=2，x2=−5． 3五．换元法解一元二次方程（共8小题） 41．解方程：(x−1)2−3(x−1)=10．

解：方程整理可得：(x−1)2−3(x−1)−10=0，

左边因式分解可得：(x−1+2)(x−1−5)=0，即(x+1)(x−6)=0， x=−1或x=6．

42．解方程：(x−1)2−(x−1)=12

解：设t=x−1，原方程转化为t2−t=12， 整理，得(t−4)(t+3)=0， 解得t=4或t=−3， 故x−1=4或x−1=−3， 解得x1=5，x2=−2．

43．解方程：(x−1)2−2(1−x)=15 解：(x−1)2−2(1−x)=15，

(x−1)2+2(x−1)−15=0， (x−1+5)(x−1−3)=0， x+4=0或x−4=0，

x1=−4，x2=4．

44．解方程(x+3)2=3(x+3)．

解：设x+3=y，原式可化为y2=3y，

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

y2−3y=0，

y1=0，y2=3， x+3=0或x+3=3， x=−3或0．

45．解方程：(x−3)2+2(x−3)−24=0． 解：(x−3)2+2(x−3)−24=0，

(x−3+6)(x−3−4)=0， x−3+6=0，x−3−4=0，

x1=−3，x2=7．

46．解方程：(x+2)2−10(x+2)+9=0．

解：设t=x+2，则原方程可化为：t2−10t+9=0，即(t−1)(t−9)=0， 解得，t=1或t=9．

当t=1时，x+2=1，则x=1． 当t=9时，x+2=9，则x=7， 综上所述，原方程的解为x=1或x=7． 47．解方程：(4x−1)2−10(4x−1)−24=0． 解：令4x−1=y，得y2−10y−24=0，

(y−12)(y+2)=0， y−12=0或y+2=0， y1=12，y2=−2，

当y=12时，4x−1=12，x=13； 41当y=−2时，4x−1=−2，x=−，

4方程的解为x1=131，x2=−． 4448．解方程：(2x+1)2+3(2x+1)+2=0．

解：设2x+1=y，则原方程可化为：y2+3y+2=0，

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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

(y+1)(y+2)=0， 解得：y=−1或y=−2， 即2x+1=−1或2x+1=−2， 3解得x1=−1，x2=−．

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