华师大版数学七年级下册_《多边形》中的思想方法

《多边形》中的思想方法

一、转化思想：

转化思想是将复杂的问题转化成简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想方法.在本章中将多边形问题转化成三角形问题来解决，在求一个图形中的多个角时，常把它们转化为一个多边形的内角来处理等.

例1.如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

析解：因为∠1＝∠D+∠F，∠2＝∠C+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和），

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠1+∠2+∠G（等量代换）＝五边形ABHKG的内角和＝（5－2）×1800＝00.

规律总结：利用三角形的外角和的性质把求一个图形的多个角度的和的问题转化为求一个五边形的内角和，这样可以通过求多边形的内角和解决问题.

二、分类讨论思想：

分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点与不同点，把数学问题的研究对象区分为不同各类的一种数学思想方法.由于题目的条件较弱或图形的变化情况，常常使同一条件下的结论出现多种情况，这就是分类讨论思想的体现.

例2.在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长.

析解：因为中线是BD，所以AD＝CD，分成两部分周长不等的原因是AB≠BC，所以需要分为AB＞BC或AB＜BC两种情况进行讨论.

1解：设AB=xcm，则AD=CD=x，若AB>BC，则有AB+AD＝15，即

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3x15,x10, 21即AB＝AC＝10cm，CD＝x＝5 cm.则BC+CD＝12，BC＝12－CD＝7(cm).

2AC+AB>BC,可构成三角形；

3若AB21 x＝4 cm.则BC+CD＝15，BC＝15－CD＝11(cm). AC+AB>BC,可构成三角形；

2于是三角形三边的长分别为10cm,10cm,7cm,或8cm,8cm,11cm.

规律总结：三条线段能否构成三角形，只需两条相等线段之和大于第三条线段，那么这三条线段一定构成等腰三角形.涉及到等腰三角形求边问题时往往需要分类讨论.

三、由特殊到一般的归纳思想：

在研究数学问题时，常常通过对特殊情况的问题的探究，推广到一般情况，从而归纳出一般规律.本章中多边形的内角和、多边形的外角结论的得出，都采用了由特殊到一般的归纳思想.

例3.如图2（1）AC、BD是四边形的两条对角线，而三角形没有对角线，五边形对角线有5条（如图2（2））：AC、AD、BE、BD、CE都是它的对角线，想一想：（1）六边形有几条对角线？n边形有几条对角线？

图2（1） 图2（2） 图2（3）

4(43)＝2；三角形的对角线条数为23(33)5(53)0；五边形的对角线条数为5；六边形的线条数为226(63)n(n3)9；依照上述规律，可以猜想n边形的线条数为；验证：由22析解：四边形的线条数为

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于过n边形的每一个顶点的对角线有n-3条，n 个顶点是：n×(n-3)条.而每一条又重复计算一次，所以n边形的线条数为

n(n3). 2规律总结：从特殊情况入手，研究数学表达方法，进一步猜想归纳出一般情况，再对一般情况进行验证是探究数学规律的重要手段和方法.

四、方程思想：

很多数学问题是通过用方程来解决的，即将已知条件与所求问题用方程联系起来.在几何计算问题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解，往往可使计算更加简便.

例4.如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数.

析解：由于BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD，又∠BDC＝∠A+∠ABD，所以由已知条件可建立∠A与∠C的关系，列出方程.

设Ax0，由于BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝

111ABCCBDC，而∠BDC＝∠A+∠ABD，所以2∠BDC＝2222∠A+∠ABC，所以∠ABC＝2∠A＝2x0，

则有x02x02x01800，所以x0360，即∠A＝360.

规律总结：解决几何中的求值问题，往往通过建立方程（组）来求解. 五、整体思想：

把问题作为一个有机的整体，从整体上考查题目中的数量关系和空间形式，对整体结构进行全面的分析和改造，以探求解题思路或优化、化简解题过程的思想方法是整体思想.

例5.如图4，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间

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的关系.

析解：因为∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD（已知），所以∠DBC＝

22ABC,DCBACB（三等分线定义）. 33222所以DBCDCBABCACB(ABCACB)（等式的性质）

333又因为∠ABC+∠ACB＝1800A（三角形内角和定理），

222所以(ABCACB)(1800A)1200A（等式的性质）

3332所以∠DBC+∠DCB＝1200A（等量代换）

322所以∠D＝1800－（∠DBC+∠DCB）＝1800－（1200A）＝600A

33规律总结：本例应用整体思想得到∠A与∠D之间的关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和定理结合整体思想进行说理.

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