平方根(基础)知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

【高清课堂：3316 平方根，知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义

如果一个正数x的平方等于a，即xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数.

要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0. 2.平方根的定义

如果xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a≥0)的平方根的符号表达为a(a0)，其中a是a的算术平方根.

知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方

根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点三、平方根的性质

22aa2|a|0aa0a0 a0a2aa0

知识点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250，62525，6.252.5，0.06250.25.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、下列说法错误的是（ ）

A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根

C.4的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.因为25＝5，所以本说法正确；

B.因为±1＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确； C.因为±2

42＝±16＝±4，所以本说法错误；

D.因为0＝0，0＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定决问题． 举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）9没有平方根．（ ）

（2）164．（ ） （3）(121（ ） )的平方根是．

101024是的算术平方根．（ ） 525（4）【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164；（4）

24是的算术平方根． 5252、 填空：

（1）4是 的负平方根． （2）11 ． 表示 的算术平方根，16161的算术平方根为 ． 81（3）（4）若x3，则x ，若x23，则x ．

【思路点拨】（3）1111就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 819981【答案与解析】(1)16；(2)

111; (3) (4) 9；±3

31【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（ ）：

①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④ 8是的负的平方根．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B；

提示：①④是正确的.

【变式2】求下列各式的值：

（1）325 （2）8136 （3）0.040.25 （4）0.364 121【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）

6 553、使代数式x1有意义的x的取值范围是______________． 【答案】x≥1；

【解析】x＋1≥0，解得x≥1.

【总结升华】当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0. 举一反三：

【变式】（2016春•庐江县期末）已知2xy【答案】解：

，

2x2y30，求x2y的平方根．

解得，

∴ x2y=1﹣2×（﹣2）=5， ∴5的平方根是±

类型二、利用平方根解方程

4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x值 （1）169x2=144 （2）（x﹣2）2﹣36=0．

．

【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解． 【答案与解析】 解：（1）169x2=144， 两边同时除以169，得

x2144 169

开平方，得 x=

（2）（x﹣2）2﹣36=0，

移项，得 （x﹣2）2=36 开平方，得 x﹣2=±6， 解得：x=8或x=﹣4．

【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个． 类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？

【答案与解析】

解：设宽为x，长为3x， 由题意得，x·3x＝1323 3x＝1323

x21

x＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.

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