责编:杜少波
【学习目标】
1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根.
【要点梳理】
【高清课堂:3316 平方根,知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义
如果一个正数x的平方等于a,即xa,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);a的算术平方根记作a,读作“a的算术平方根”,a叫做被开方数.
要点诠释:当式子a有意义时,a一定表示一个非负数,即a≥0,a≥0. 2.平方根的定义
如果xa,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a≥0)的平方根的符号表达为a(a0),其中a是a的算术平方根.
知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:a和a
2.联系:(1)平方根包含算术平方根;
(2)被开方数都是非负数;
(3)0的平方根和算术平方根均为0.
要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方
根;负数没有平方根. (2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的
另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.
知识点三、平方根的性质
22aa2|a|0aa0a0 a0a2aa0
知识点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:62500250,62525,6.252.5,0.06250.25.
【典型例题】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是( )
A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根
C.4的平方根是-4 D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C;
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.
A.因为25=5,所以本说法正确;
B.因为±1=±1,所以l是l的一个平方根说法正确; C.因为±2
42=±16=±4,所以本说法错误;
D.因为0=0,0=0,所以本说法正确;
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义,关键是明确运用好定决问题. 举一反三:
【变式】判断下列各题正误,并将错误改正:
(1)9没有平方根.( )
(2)164.( ) (3)(121( ) )的平方根是.
101024是的算术平方根.( ) 525(4)【答案】√ ;×; √; ×, 提示:(2)164;(4)
24是的算术平方根. 5252、 填空:
(1)4是 的负平方根. (2)11 . 表示 的算术平方根,16161的算术平方根为 . 81(3)(4)若x3,则x ,若x23,则x .
【思路点拨】(3)1111就是的算术平方根=,此题求的是的算术平方根. 819981【答案与解析】(1)16;(2)
111; (3) (4) 9;±3
31【总结升华】要审清楚题意,不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的有( ):
①3是9的平方根. ② 9的平方根是3.
③4是8的正的平方根.④ 8是的负的平方根.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B;
提示:①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值:
(1)325 (2)8136 (3)0.040.25 (4)0.364 121【答案】(1)15;(2)15;(3)-0.3;(4)
6 553、使代数式x1有意义的x的取值范围是______________. 【答案】x≥1;
【解析】x+1≥0,解得x≥1.
【总结升华】当式子a有意义时,a一定表示一个非负数,即a≥0,a≥0. 举一反三:
【变式】(2016春•庐江县期末)已知2xy【答案】解:
,
2x2y30,求x2y的平方根.
解得,
∴ x2y=1﹣2×(﹣2)=5, ∴5的平方根是±
类型二、利用平方根解方程
4、(2015春•鄂州校级期中)求下列各式中的x值 (1)169x2=144 (2)(x﹣2)2﹣36=0.
.
【思路点拨】(1)移项后,根据平方根定义求解;(2)先将(x﹣2)看成一个整体,移项后,根据平方根定义求解. 【答案与解析】 解:(1)169x2=144, 两边同时除以169,得
x2144 169
开平方,得 x=
(2)(x﹣2)2﹣36=0,
移项,得 (x﹣2)2=36 开平方,得 x﹣2=±6, 解得:x=8或x=﹣4.
【总结升华】本题考查了平方根,根据是一个正数的平方根有两个. 类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验,其长是宽的3倍,面积是1323平方米.求长和宽各是多少米?
【答案与解析】
解:设宽为x,长为3x, 由题意得,x·3x=1323 3x=1323
x21
x=-21(舍去) 答:长为63米,宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长,注意实际问题中边长都是正数.
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