《7.1.1 分类加法计数原理》教案

《7.1.1 分类加法计数原理》教案

分类加法计数原理(也称加法原理)

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

分类计数原理的应用

例1 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，

男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人.

(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会，有多少种不同的选法?

(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育，有多少种不同的选法?

【解答】(1)完成这件事有三类方法：

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；

第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；

第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法.

根据分类计数原理，任选一名学生任校学生会共有50+60+55=165种不同的选法.

(2)完成这件事有三类方法：

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；

第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；

第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.

综上，共有30+30+20=80种不同的选法.

【精要点评】分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理.

变式

(1)如图，从A到O有 种不同的走法(不重复过一点).

(2)满足a，b∈{-1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对(a，b)的个数是 .

【答案】(1)5 (2)13

【解析】(1)分3类：

第一类，直接由A到O，有1种走法；

第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O，共2种不同的走法；

第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O，共2种不同的走法.

由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.

(2)已知a，b∈{-1，0，1，2}.

b①当a=0时，有x=-2，b=-1，0，1，2，有4种可能.

②当a≠0时，则Δ=4-4ab≥0，ab≤1.

i)若a=-1，b=-1，0，1，2，有4种可能；

ii)若a=1，b=-1，0，1，有3种可能；

iii)若a=2，b=-1，0，有2种可能.

所以有序实数对(a，b)共有4+4+3+2=13(个).