共点力平衡专题训练45350

一、 例题讲解

［例1］.如图，在水平力F作用下，A、B保持静止。若A与B的不等于0，则关于B的受力个数可能为 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

接触面是水平的，且F

［变式训练1］如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持的受力个数为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

［例2］ 如图2-5-3所示，用细线AO、BO悬挂重力，BO是水平的，AO角．如果改变BO长度使β角减小，而保持O点不动，角α（α < 450）不变，于α角的过程中，两细线拉力有何变化？

A. FA一直减小，FB先减小后增大 B. FA一直增大，FB先减小后增大 C. FA一直减小, FB先增大后减小 D. FA一直增大，FB先增大后减小 ［变式训练1］如图所示，小球用细线拴住放在光滑斜面上，用力推斜面向左升高的过程中，细线的拉力将：( ) A.先增大后减小 B.先减小后增大 C.一直增大 D.一直减小

θ A B F 静止．物体A

与竖直方向成α在β角减小到等

图2-5-3

运动，小球缓慢［变式训练2］如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图．使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，涂料力为F2，以下说法正确的是 （ ）

（A）F1增大 ， F2减小 （B）F1减小， F2 增大 （C）F1、、F2均增大 （D）F1、、F2均减小

［例3］水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则 （ ）

A.F先减小后增大 B.F一直增大

C.F的功率减小 D.F的功率不变

1v

滚对墙壁的压

1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

［例4］如图所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮.

今缓慢拉绳使小球从A点滑到半球顶点，则此过程中，小球对半 球的压力N及细绳的拉力F大小变化情况是（ ） A.N变大，F变大 B. N变小，F变大 C.N不变，F变小 D. N变大，F变小

［变式训练1］.如图，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的物体，且B端系有一根轻绳，定滑轮A，用力F拉绳，开始时角BCA大于90，现使角BCA缓慢减小，直到近竖直杆AC。此过程中，轻杆B端所受的力将（ ） A.大小不变 B.逐渐增大 C.逐渐减小 D.先减小后增大

［例5］有一个直角支架AOB，AO是水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．OA上套有小环P，OB套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图2-5-1所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是：（ ） A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小 C．FN变大，F变大 D．FN变大，F变小

［变式训练1］.如图，两个质量都为m的小球A、B用轻杆连接后斜靠在墙状态，已知墙面光滑，水平面粗糙，现将A球向上移动一小段距离，两球再次那么将移动后的平衡状态与原来平衡状态相比较，地面对B的支持力N和摩擦变化情况是（ ）

A.N不变，f增大 B. N不变，f减小 C. N增大，f增大 D. N增大，f减小

［变式训练2］如图2所示，光滑水平地面上放有截面为

图2-5-1

0

F O 一端通并绕过杆BC接

上处于平衡达到平衡，力f的大小

1圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形4物体B，对A施加一水平向左的力F，整个装置保持静止。若将A的位置向左移动稍许，整个装置仍保持平衡，则 （ ） A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力减小 C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力减小

2v

图2

B A F 1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 3

2．如图所示，A、B两物块始终静止在水平地面上，有一轻质弹簧一端连接在竖直墙上P点，另一端与A相连接，下列说法正确的是（ ）

P A．如果B对A无摩擦力，则地面对B也无摩擦力

B．如果B对A有向右的摩擦力，则地面对B有向左的摩擦力 C．在P点缓慢下移的过程中，B对A的支持力一定减小 A B D. 在P点缓慢下移的过程中，地面对B的摩擦力一定减小

［例6］ 如图1－7所示，物体A、B和C叠放在水平桌面上，水平力为Fb＝5N、

Ａ Ｂ Ｆc 分别表示A与B、B与C、C与桌面间的静摩擦力的大小，则 Ｃ （ ）

图1－7

A．Ff1＝5N，Ff2＝0N，Ff3＝5N B．Ff1＝5N，Ff2＝5N，Ff3Fc＝10N，分别作用于物体B、C上，A、B和C仍保持静止．以Ff1、Ff2和Ff3Fb ＝0N

C．Ff1＝0N，Ff2＝5N，Ff3＝5N D．Ff1＝0N，Ff2＝10N，Ff3＝5N

［变式训练1］.如图所示，人重600N，木板重400N，人与木板、木板与地面间的动摩擦因数皆为0.2，现在人用水平力拉绳，使他与木块一起向右匀速运动，则（ ） A.人拉绳的力是200N B.人拉绳的力是100N C.人的脚给木块摩擦力向右 D.人的脚给木块摩擦力向左

［例7］如图4所示，将一根不能伸长、柔软的轻绳两端分别系于A、B两点上，一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为1，绳子张力为F1，将绳子B端移至到平衡时，两段绳子间的夹角为2，绳子张力为F2；将绳子B端移至D衡时两段绳子间的夹角为3，绳子张力为F3，不计摩擦，则 A、1=2=3 B、1=2<3

C、F1>F2>F3 D、F1=F2［变式训练1］如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于态．如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置。下列的是 （ ）

A．B端移到B1位置时，绳子张力不变 B．B端移到B2位置时，绳子张力变小

C．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大 D．B端在杆上位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小

［例8］如图所示，物体静止在光滑的水平面上，受一水平恒力F的作用，要使物体在水平面上沿OA方向做加速运动，就必须同时再对物体施加一个力F’，则F’的最小值应是……（ ）

A F B Fsin

3v

C点，待整个系统达点，待整个系统平

的挂钩也

静止状判断正确

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C Fcos D Ftan

［变式训练1］如图7-2所示，用一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量

为

m的小球A，为使细绳

与竖直方向夹30角且绷紧，小球A处于静止，对小球施加的最小的力等于（ ） A．3mg B．二、针对练习

1．如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P相连，P与斜放上的固定档板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的个数有可能是

在其

0331mg C．mg D．mg 232图 7-2

（ ）

A、2个 B．3个 C．4个 D、5个

2.如图所示，A、B两均匀直杆上端分别用细线悬挂于天花板上，下端搁在水平地面上，处于静止状态，悬挂A杆的绳倾斜，悬挂B杆的绳恰好竖直，则关于两杆的受力情况，下列说法中正确的有( (A)A、B都受三个力作用 (B)A、B都受四个力作用 (C)A受三个力，B受四个力 (D)A受四个力，B受三个力

1．如图1所示我国国家大剧院外部呈椭球型，一警卫人员为执行特殊

务，必须冒险在椭球型屋顶向上缓慢爬行，他在向上爬的过程中

A．屋顶对他的支持力变大 C．屋顶对他的摩擦力变大

B．屋顶对他的支持力变D．屋顶对他的摩擦力变

（ ）

小 小 架的三根

任

).

2、如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚轻质支架等长，与竖直方向均成30角，则每根支架中承受的压力大小为 （A）

32312mg（D）mg mg（B）mg（C）69333．春天有许多游客放风筝，会放风筝的人，可使风筝静止在空中，以下四幅图中AB代 表风筝截面，OL代表风筝线，风向水平，风筝质量不可忽略，风筝可能静止的是:（ ）

4v

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1.两个小球A、B，质量分别为2m、m，用长度相同的两根细线把A、B两水平天花板上的同一个点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球 用一的力F作用在小球B上，此时三根细线均处于直线状态，且OA细线恰好方向，如图，如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，则力F（ ）

球悬挂在水平方向处于竖直的大小为

A.0 B.mg C. 3mg D. 3mg3

D B A O 2．如图所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，

一根轻杆，转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，AOB＝120， C m CO为CODOC所

＝60，若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力和杆受的压力分别为……………………………………………( ) 1

A．mg， mg

2

B．

3 23 mg， mg 33

123 3

C． mg，mg D． mg， mg

2333.如图，两物体质量分别为m1、m2，悬点a、b间的直径，不计一切摩擦，整个装置处于静止状态。由图A.一定等于 B. m1一定大于m2 C. m1一定小于2m2 D. m1可能大于2m2

1. 现用两根绳子AO和BO悬挂一质量为10N的小球，AO绳的A点固定在竖直放置的圆环的环上，O点为圆环的圆心，AO绳与竖直方向的夹角为37，BO绳的B点可在环上滑动，已知每根绳子所能承受的最大拉力均为12N，则在B点沿环顺时针缓慢滑到N的过程中（ ）

5v MBA3700N距离远大于滑轮的可得（ ）

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A. 两根绳均不断 C. AO绳先断

B. 两根绳同时断 D. BO绳先断

2.如图所示，三段不可伸长的细绳OA、OB、OC,能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定.若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳( (A)必定是OA (C)必定是OC

(B)必定是OB

(D)可能是OB，也可能是OC

是一箱砂子，

).

1．A、B、C三个物体通过细线和光滑的滑轮相连，处于静止状态，如图所示，C砂子和箱的重力都等于G，动滑轮的质量不计，打开箱子下端开口，使砂子均匀流出，经过时间t0流完，则下图中哪个图线表示在这过程中桌面对物体B的摩擦力f随时间的变化关系 （ ）

1．轻绳一端系在质量为m的物体A上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN的圆环上．现用水平力F拉住绳

子上一点O，使物体A

从图1－4－12中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动．则在这一过程中，环对杆的摩擦力F1和环对杆的压力F2的变化情况是（ ）

A．F1保持不变，F2逐渐增大 B．F1逐渐增大，F2保持不变 C．F1逐渐减小，F2保持不变 D．F1保持不变，F2逐渐减小

F O M A 图1－4－12

N 3、如图11所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半

径为R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。

解说：平行四边形的三个矢量总是可三角形中去讨论，解三角形的典型思路

以平移到一个有三种：①分

6v

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割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。

分析小球受力→矢量平移，如图12所示，其中F表示弹簧弹力，N表示大环的支持力。

（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

FAB ⑴ GR由胡克定律：F = k（AB- R） ⑵ 几何关系：AB= 2Rcosθ ⑶ 解以上三式即可。 答案：arcos

kL 。

2(kRG)（学生活动）思考：若将弹簧换k′较大的弹簧，其它条件不变，则么变？环的支持力怎么变？

答：变小；不变。

（学生活动）反馈练习：光滑半平面上，球心O的正上方有一定滑轮，

成劲度系数弹簧弹力怎

球固定在水一根轻绳跨

过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化？

解：和上题完全相同。 答：T变小，N不变。

7v

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4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球到球心O的距离。

解说：练习三力共点的应用。

根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连

线上。根据再将它置B点与斜面体的重心C

在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。

答案：

3R 。 3（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？

解：三力共点知识应用。 答：ctg 。

4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点端各系一个小球，两球的质量分别为m1

8v

abO上，另一和m2 ，已

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知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图15所示。则m1 : m2为多少？

解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。 对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。

首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为α。 而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F 。 对左边的矢量三角形用正理，有：

m1gF = ① sinsin45弦定

同理，对右边的矢量三角有

：

m2gsin形，②

=

F sin30解①②两式即可。 答案：1 ：2 。

（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？

答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。

应用：若原题中绳长不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它条件不变，m1与m2的比值又将是多少？

解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。

答：2 ：32 。

9v

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例1．如图所示，A、B、C、D四个人做杂技表演，B站在A的肩上，双手拉着

C和D，A撑开双手水平支持着C和D。若四个人的质量均为m，他们的臂长相等，

重力加速度为g，不计A手掌与C、D身体间的摩擦。下列结论错误的是 ．．

A．A受到地面支持力为4mg B．B受到A的支持力为3mg C．B受到C的拉力约为D．C受到A的推力约为【答案】 D

【解析】：把四人作为整体，分析受力，由平衡条件可知，A受到地面支持力为4mg . 把BCD作为整体，分析受力，由平衡条件可知B受到的支持力为3mg。由题图可知，

23mg 323mg 3B手臂与竖直方向的夹角大约为

受力分析，由平衡条件可得，到C的拉力约为B受到C的拉力约为

。

，设B对C的拉力为，A对C的推力为，对C

，解的，解的

，由牛顿第三定律，B受

，由牛顿第三定律，

，结论错误的是D 。 10v

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例2：如图所示，一根铁链一端用细绳悬挂于A点。为了测量这个铁链的质量，在铁链的下端用一根细绳系一质量为m的小球，待整个装置稳定后，测得两细绳与竖直方向的夹角为α和β，若tanα∶tanβ=1∶3，则铁链的质量为

：

A．m B．2m C．3m D．4m 【答案】：B

【解析】：对小球进行受力分析，由平衡条件得：进行受力分析，由平衡条件得：

。对铁链和小球整体

，选项B正确。

,联立解得：

例3.：两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。已知小球a和b的质量之比为3，细杆长度是球面半径的2倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是

A. 45° B. 30° C. 22.5° D. 15°. 【答案】：D

11v

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【解析】：设刚性细杆中弹力为F，光滑的半球面对小球a的弹力为，对小球b的弹力为，分别隔离小球a和b，对其分析受力并应用平行四边形定则画出受力分析图，如图所示。

。

由细杆长度是面半径的倍可得出三角形Oab是直角三角形，对

应用正弦定理得

对

应用正弦定理得

两式联立消去F得显然细杆与水平面得夹角

。

例8：两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图所示。则m1:m2为多少？

12v

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【答案】： 6、1:

【解析】：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。

首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为。而且两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可同用一字母表示，设为F。对左边的矢量三角形用正玄定理，有：

同理，最右边的矢量三角形，有：

解①②两式即可。（学生活动）思考：本题是否还有其它解法？ 答：有，将模型看成轻杆连成的两小球。而将O看成转轴，两球的重力对O

的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。 应用：若原题中绳长不等，而是

，其他条件不变，

解：此时共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几

乎和“思考”完全相同。答：

2：如图所示，一根重为G的均匀硬杆AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端

13v

。

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B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、杆与竖直方向的夹角分别为α、β求证：tanβ＝2tanα。

【答案】 见解析

【解析】：对杆AB受力分析得，它受绳子拉力T、重力G、水平力F，并在三个力作用下处于平衡状态，故三个力一定是共点力，如图所示，

其中C点为三个力作用线的交点。

由于重心O点为杆AB中点，故C点为BD中点，得BD2CD，而tantanCD， ADBD，AB故tanβ＝2tanα，证明完毕

3：重为G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点.静止时绳两端的切线方向与天花板成α角.求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2.

【答案】 见解析

【解析】：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点(如图中的A、C、P点)，

14v

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但它们必为共点力．设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：F1＝

5：如图所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆，转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，∠AOB=120°，∠COD=60°，若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力和杆OC所受的压力分别为

，F2＝

A．mg,mg C．mg,mg 【答案】B

1212B．D．33mg，233mg，

2323mg,mg 3315v

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7：如:图所示，两个完全相同的物块，重力大小为G，两球与水平面的动摩擦因数都为μ，一根轻绳两端固定在两小球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳子被拉直后，两段绳的夹角为α，问当F至少为多大，两物块将会发生滑动？（设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

车辆寄售协议

甲方：___________________ 乙方：_____________________________

16v

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根据国家《二手车流通管理办法》及相关法律、法规规定，在平等自愿基础上，经双方充分协商，现甲方将以下车辆寄存在乙方公司，并委托乙方代为销售,为保障双方合法权益，特订协议如下：

一、车辆情况（若为多辆，可填写《寄信车辆明细表》）： 车主姓名：车辆号牌:______________ 车辆型号：

车 架 号:_____________车身颜色:行驶里程:______________

二、经甲乙双方协商，确定车辆的销售价格为人民币（大写)__________________，若销售过程中实际价格低于此价，乙方必须事先与甲方电话协商确定。

三、寄售时间为___天,即_____年__月__日至____年__月__日。

四、乙方须查阅甲方出示的车辆手续并预留复印件备查:□登记证书、□行驶证书、

□附加税证、□钥匙、□商业险保单、□交强险保单

五、甲方寄售予乙方之车辆，甲方必须具有完全合法之处分权，否则因此产生的纠

纷及不良后果由甲方负责；甲方提供一切有关该车之证件，对证件的有效性、合法性、准确性负全部责任,并保证该车辆可以过户转籍。

六、甲方将该车辆寄售于乙方之时起，在此之前该车的一切交通违法或未按时缴纳国家相关规费引起的罚金、滞纳金及由此引发的相关一切责任、费用均由甲方负责。寄售成功后，买方提取该车辆之时起所引起的一切交通事故或违法行为及由此造成的相关损失与甲方无关。

七、寄售成功后，该车辆的过户费由__方负责,乙方协助买方办理车辆过户手续。 八、寄售成功后，甲方需支付元作为乙方的服务费。

九、甲方将车寄售于乙方期间，乙方有义务保管好车辆，在此期间若因乙方责任引起的车辆损坏由乙方负责。

十、其他需要说明的事项：

十一、本协议一式贰份，甲乙双方各执壹份，自双方签字盖章之日起生效。

甲方： 乙方：

联系电话： 联系电话： 年 月 日 年 月 日

17v