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初升高数学衔接课程

来源：小侦探旅游网

初升高中衔接教程

数学

第 1 讲

数与式

1、理解并掌握乘法公式与因式分解

教学目标

2、理解并掌握二次根式的运算与化简 3、理解并掌握繁分式的化简

乘法公式与因式分解

重点、难点

二次根式与分式

1、理解并掌握乘法公式与因式分解

考点及考试要求

2、理解并掌握二次根式的运算与化简 3、理解并掌握繁分式的化简

教学内容

知识框架

 乘法公式   根式数与式  分式 





数与式 公式法 

 

分组分解法 分解因式

十字相乘法 



其它的因式分解方法 

知识点一：乘法公式

【内容概述】

【公式 1】 (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca

【公式 2】 (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3 (立方和公式)

【公式 3】 (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b 3 (立方差公式)

【公式 4】 (a  b)3  a3  b3  3a 2b  3ab 2 （请同学证明）

【公式 5】 (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3 （请同学证明）

【典型例题—1】：例 1.计算：

1 2

( x  2 x  )

例 2.计算： 2a  b (4a 2  2ab  b2 )

第 1 页共 92 页

例 3.计算(1) 3x  2 y (9 x2  6 xy  4 y 2 )

(2) 2 x  3(4 x2  6 xy  9)

变式 1：利用公式计算

111 1 1  2（1）  m  (mm   ) 3  4 6 9  2

(2) a  b (a 2  ab  b2 ) a  b (a 2  ab  b2 )

变式 2:利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1） 27m3  n3

（2） 27m3  n3 （3） x3  125 （4） m6  n6

【典型例题—2】：

1 1 1 1 1

例 4.计算：（1） ( m  n)( m 2  mn  n 2 )

5 2 25 10 4

例 5.已知 x2  3x  1  0 ，求 x 3  的值．

1 1 1 1 1 1

例 6.已知 a  b  c  0 ，求 a(  )  b(  )  c(  ) 的值．

b c c a a b

变式 1:计算： ( x  1)(x  1)(x 2  x  1)(x 2  x  1) ．

第 2 页共 92 页

变式 2:已知 a  b  c  4 ， ab  bc  ac  4 ，求 a 2  b2  c2 的值．

知识点二、根式【内容概述】

式子 a (a  0) 叫做二次根式，其性质如下：

(1) ( a )2  a(a  0)

(3) ab  a  b (a  0, b  0) (4)

(2) a2 | a |



b a

(a  0, b  0)

【典型例题—1】：基本的化简、求值

例 7.化简下列各式：(1) ( 3  2)2  ( 3  1)2 (2) (1 x)2  (2  x)2 ( x  1)

例 8. 计算 4  2 3

变式 1:二次根式 a2  a 成立的条件是(

A． a  0

)

D． a 是任意实数 )

D．９

B． a  0 C． a  0

变式 2:若 x  3 ，则 9  6 x  x2  | x  6 | 的值是(

A．－３

B．３ C．－９

变式 3：计算 7  4 3

【说明】

1、二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2、二次根式的化简常见类型有下列两种：

第 3 页共 92 页

①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开

出来；

3a x

)，或被开方数有分母(如x ②分母中有根式(如 )．这时可将其化为形式(如可

2  3 2

b)，转化为“分母中有根式”的情况． 2 2

化为

，其中23与23叫做互为有理化因式)．

化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 (2  3)(2  3)

2  3

化为

3(23)

【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代

axbya x  b y aa数式叫做有理化因式。如与；与互为有理化因式。



a  ab

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

例 9.计算：（1） ( a  b  1)(1

a  b )  ( a  b )2

(2) a

a a  ab

2  3 2  3

，求x3y3的值,y例 10.设 x 

2  3 2  3

知识点三、分式

 

【典型例题—1】：分式的化简例 11.化简

x 2  3x  9 x3  27

6 x 9 x  x3

x  1 6  2 x

例 12.化简

4 页 x  共 92 页

【典型例题—2】：分式的证明

1  x

1 x 

例 13.

1 1

（1）试证：（其中 n 是正整数）；  

n(n  1) n n  1 1 1

（2）计算：  

1 2 2  3

； 9 10

1 1

（3）证明：对任意大于1 的正整数n ，有  

2  3 3  4



1 1

 ．

n(n  1) 2

【典型例题—3】：分式的运用

例 14. 设 e  ，且 e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求 e 的值．

变式 1：对任意的正整数 n，  ______________-

n(n  2) 2 x  y 2 x

变式 2:选择题：若  ，则 =（）

x  y 3 y

5 4 6

（A）１（B）（C）（D）

4 5 5

1 1 1 1

变式 3:计算．    ... 

1 2 2  3 3  4 99 100

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解

方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方

公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。

第 5 页共 92 页

【典型例题—1】：公式法(立方和、立方差公式)

【内容概述】

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(a  b)(a 2  ab  b2 )  a3  b3 (立方和公式)

(a  b)(a 2  ab  b2 )  a3  b3 (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )

a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用

这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。例 15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 8  x3

(2) 0.125  27b3

变式：分解因式：(1) 3a3b  81b4

(2) a7  ab6

【典型例题—2】：分组分解法

【内容概述】

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项

以上的多项式，如ma  mb  na  nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．

分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式

（1）分组后能提取公因式

例 16.把 2ax  10ay  5by  bx 分解因式。变式：把 ab(c2  d 2 )  (a 2  b2 )cd 分解因式。

（2）分组后能直接运用公式

例 17.把 x 2  y 2  ax  ay 分解因式。变式：把 2 x 2  4 xy  2 y 2  8 z 2 分解因式。

【典型例题—3】：十字相乘法

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【内容概述】

（1） x2  ( p  q) x  pq 型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③

一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵ x2  ( p  q) x  pq  x2  px  qx  pq  x( x  p)  q( x  p)  ( x  p)( x  q) ，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式．

（2）一般二次三项式 ax 2  bx  c 型的因式分解

由 a a x 2  (a c  a c ) x  c c  (a x  c )(a x  c ) ，我们发现，二次项系数a 分解成 a a ，

1 2

a  c 1，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到acac。1a,a,c,c常数项 c 分解成 c c ，把写成 a c

1 2

2 1

1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2

如果它正好等于 ax 2  bx  c 的一次项系数 b ，那么 ax 2  bx  c 就可以分解成

(a x  c )(a x  c ) ，其中 a , c 位于上一行， a , c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，

从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

1 2 2 1 1 2 2

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个

二次三项式能否用十字相乘法分解．

（1） x 2  ( p  q) x  pq 型的因式分解

例 18.把下列各式因式分解：

(1) x 2  7 x  6 (2) x2  13x  36

例 19.把下列各式因式分解：

(1) x2  5x  24 (2) x2  2 x  15

例 20.把下列各式因式分解：

(1) x 2  xy  6 y 2 (2) ( x2  x)2  8( x 2  x)  12

（2）一般二次三项式 ax 2  bx  c 型的因式分解

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例 21.把下列各式因式分解：(1) 12 x2  5x  2

(2) 5 x 2  6 xy  8 y 2

变式练习: （1）x2-6x+5

（2）x2+15x+56 （3）x2+2xy-3y2

（4）(x2+x)2-4(x2+x)-12

【典型例题—3】：其它因式分解的方法

（1）配方法

例 22.分解因式 x2  6 x  16

变式:（1）x2+12x+20

（2）a4+a2b2+b4

（2）拆项法(选讲）

例 23.分解因式 x3  3x2  4

（3）其它方法（选讲）

例 24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8

课后练习

1．填空：

1 1 1 1

（1） a 2  b2  ( b  a) （）；

9 4 2 3

（2） (4 m 

)2  16m2  4m  ( ) ；

) ．

(3) (a  2b  c)2  a 2  4b2  c 2  (

（4）若 x  2 y x2  2 xy  4 y 2 8 y3  1 ，则 x, y 的值为________





第 8 页共 92 页

（5）若 x 2  x  1  0 ，则 x4  x2  2 x  1  ______________

1 1 3a2  ab

 ________________ （6） a  ， b  ，则

223a  5ab  2b 2 3

x2  3xy  y 2

（7）若 x 2  xy  2 y 2  0 ，则  _______________

x2  y 2

（8）若 a  b  2 ab  b  a ，则（

）

（D） b  a  0

（A） a  b

（B） a  b

（C） a  b  0

（9 ）计算 a 

等于（）

（B） a

（C）  a

（D）  a

（A） a

11 3x  xy  3 y

（10）若   2 ，则的值为( )

x y x  xy  y

3 3 5A． B．C．

5 5

mm 1

2．化简：(1) 9m  10m  2m2

3 25 m

5D．3

(2)

x  y 2 x  2 y  ( x  y  0)

x 2 x2 y

3．把下列各式分解因式：

(1) 3ax  3ay  xy  y 2

(2) 8x3  4 x2  2 x  1 (3) 5 x 2  15 x  2 xy  6 y

（4） 4 xy  1  4 x 2  y 2

(5) a 4b  a 3b 2  a 2b 3  ab 4

(6) x6  y 6  2 x3  1

第 2 讲

一元二次函数与二次不等式

教学目标

1、能熟练掌握二次函数的图像，能够根据解析式快速画出函数的图像

第 9 页共 92 页

2、理解并掌握二次函数的三种表达式

3、理解并掌握二次函数的最值问题

4、能够根据二次函数、一元二次不等式不等式的关系解二次不等式

二次函数的最值问题

重点、难点

一元二次不等式的解法

考点及考试要求

二次函数的最值与一元二次不等式的解法

教学内容

知识框架

1、二次函数的图像与性质

2、二次函数的三种表达式 4、一元二次不等式

3、二次函数的最值问题

知识点一、 y  ax2  bx  c 的图像与性质

【内容概述】

1、当 a  0 时，

○1

线

○2

函数 y  ax2  bx  c 图象开口方向

；当

；顶点坐标为，对称轴为直

当

○1

时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；

时，函数取最小值．

2、当 a  0 时，

函数 y  ax2  bx  c 图象开口方向；当

；顶点坐标为

，对称轴为直

线

○2

当

时，y 随着 x 的增大而；当时，y 随着 x 的增大而；

时，函数取最大值．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，

可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

【典型例题】

例 1 . 求二次函数 y  3x2  6 x  1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值）并，

指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

变式 1：作出以下二次函数的草图

（1） y  x 2  x  6 (2) y  x 2  2 x  1

(3) y   x 2  1

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例 2 .某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：

x /元 y/件

130 70 150 50 165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

例 3.把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x2 的图像，求 b，c 的值．

知识点二、二次函数的三种表示方式

【内容概述】

1、一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2、顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

3、交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．

【典型例题】

例 4.已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y＝x＋1 上，并且图象经过点（3，－1），求

二次函数的解析式．

例 5.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式．

例 6.已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

第 11 页共 92 页

例 7.函数 y＝－x2＋x－1 图象与 x 轴的交点个数是（

）

（D）无法确定

（A）0 个

（B）1 个（C）2 个

变式 1: 已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为

y＝a

(a≠0) ．

．

变式 2：二次函数 y＝－x2+2 3x＋1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为变式 3：根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当 x＝3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与 x 轴交于两点(1－ 2，0)和(1＋ 2，0)，并与 y 轴交于(0，－2)．

知识点三、二次函数的最值问题

【内容概述】

1．二次函数 y  ax 2  bx  c ( a  0) 的最值．

二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况：

b 4ac  b2

当 a  0 时，函数在 x   处取得最小值，无最大值；当 a  0 时，函数在 x  

4a 2a 2a

4ac  b2

处取得最大值，无最小值

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步：确定 a 的符号，a＞0 有最小值，a＜0 有最大值；

第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如： y  ax 2  bx  c 在 m  x  n （其中 m  n ）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴： x  x ；

第二步：讨论：

（1）若 a  0 时求最小值或 a  0 时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于 m 即 x  m ，即对称轴在 m  x  n 的左侧；

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②对称轴 m  x  n ，即对称轴在 m  x  n 的内部；

③对称轴大于 n 即 x  n ，即对称轴在 m  x  n 的右侧。

（2）若 a  0 时求最大值或 a  0 时求最小值，需分两种情况讨论：

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置

m  n

，即对称轴在 m  x  n 的中点的左侧； ①对称轴 x 

0 2

m  n

②对称轴 x  ，即对称轴在 m  x  n 的中点的右侧；

0 2

【典型例题】

例 8.求下列函数的最大值或最小值．

（1） y  2 x 2  3x  5 ；

（2） y   x 2  3x  4

例 9.当1  x  2 时，求函数 y   x 2  x  1 的最大值和最小值．

例 10.当 x  0 时，求函数 y   x(2  x) 的取值范围．

1 5

例 11.当 t  x  t  1时，求函数 y  x2  x  的最小值(其中 t 为常数)．

2 2

变式 1：设 a  0 ，当 1  x  1 时，函数 y   x2  ax  b  1 的最小值是 4 ，最大值是 0，求 a, b

的值．

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变式 2：已知函数 y  x 2  2ax  1 在 1  x  2 上的最大值为 4，求 a 的值．

变式 3：求关于 x 的二次函数 y  x 2  2tx  1 在 1  x  1 上的最大值( t 为常数)．

变式 4：已知函数 y＝－x2－2x＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

知识点四、一元二次不等式

【内容概述】

通过前面的学习，咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像，现在同学们根据图像

与 x 轴交点的个数分类，详细总结，然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关

系.（在黑板上画出表格的框架，让学生来填，引导学生自主找规律）

1、一元二次不等式 ax 2  bx  c  0或ax 2  bx  c  0a  0的解集：

设相应的一元二次方程 ax 2  bx  c  0a  0的两根为 x 、x 且 x  x ，   b 2  4ac ，

则不等式的解的各种情况如下表：

 0

 0  0

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二次函数

y  ax 2  bx  c

（ a  0 ）的图象

一元二次方程

ax 2  bx  c  0 a  0 的根

ax 2  bx  c  0 (a  0)的解集

ax 2  bx  c  0 (a  0)的解集

2．简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注

意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为 ax  b 的形式：

（1）当 a  0 时，不等式的解为： x  ；

a b

（2）当 a  0 时，不等式的解为： x  ；

（3）当 a  0 时，不等式化为： 0  x  b ；

① 若 b  0 ，则不等式的解是全体实数；

② 若 b  0 ，则不等式无解．

【典型例题】

例 12.

解下列不等式：(1) x2  x  6  0

(2) ( x  1)(x  2)  ( x  2)(2 x  1)

例 13. 解下列不等式：(1) x2  2 x  8  0 (2) x2  4 x  4  0 (3) x2  x  2  0

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例 14. 已知对于任意实数 x ， kx2  2 x  k 恒为正数，求实数 k 的取值范围．

例 15 . 解下列不等式：

x  3 2

 0 (1)

x  1

1 3

(2)x  2

例 16. 解关于 x 的不等式 x 2  x  a(a  1)  0

例 17. 已知不等式 ax 2  bx  c  0(a  0) 的解是 x  2, 或 x  3 求不等式 bx2  ax  c  0 的解．

变式 1：(1) 2 x2  x  0

(2) x2  3x  18  0 (3)  x2  x  3x  1 (4) x( x  9)  3(x  3)

x  1 3x  1 2

变式 2：解下列不等式：(1)  0 (2)  2 (3)  1 (4)

x  1 2 x  1 x

2 x2  x  1

 0

2 x  1

变式 3：解下列不等式：(1) x2  2 x  2 x2  2

1 1 1

(2) x2  x   0

2 3 5

变式 4:已知关于 x 的不等式 mx2  x  m  0 的解是一切实数，求 m 的取值范围．(选做）

课后练习

1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点 A（0， 1），B（1，0），C（ 1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1， 3 ），且与 y 轴交于点（0，1）；

第 16 页共 92 页

（3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（ 3 ，0），（5，0），且与 y 轴交于点（0， 3 ）；

（4）已知抛物线的顶点为（3， 2 ），且与 x 轴两交点间的距离为 4．

2.已知函数 y  x 2,  2  x  a ，其中 a  2 ，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值．

3.若 0a

1 1 1

A. a 或 xa a a

D. x< 或 x>a

4.如果方程 ax2＋bx＋b＝0 中，a＜0，它的两根 x1，x2 满足 x1＜x2，那么不等式 ax2＋bx＋b＜0 的解是_______________ 5.解下列不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0；

（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；

（4）4－x2≤0．

(5)4+3x－2x2≥0; (6)9x2－12x>－4;

6.解关于 x 的不等式 x2－(1＋a)x＋a＜0（a 为常数）．

7.关于 x 的不等式 ax  bx  c  0 的解为 x  2或x   求关于 x 的不等式 ax 2  bx  c  0 的

解．

第 3 讲

一元二次方程与韦达定理

1、理解并掌握一元二次方程根的判别式

教学目标

2、理解并掌握根与系数的关系（韦达定理）

第 17 页共 92 页

1、韦达定理与一元二次方程的关系

重点、难点

2、韦达定理的应用

1、一元二次方程根的判别式

考点及考试要求

2、根与系数的关系（韦达定理）

教学内容

知识框架

1、一元二次方程根的判别式

2、根与系数的关系（韦达定理）

4、分式方程和无理方程的解法（选讲）

3、简单的二元二次方程组（选讲）

知识点一、一元二次方程根的判别式

【典型例题】

例 1.求下列方程的根

（1） x 2  2 x  3  0

(2) x 2  2 x  1  0 (3) x 2  2 x  3  0

例 2.判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；

（3） x2－ax＋(a－1)＝0 （4）x2－2x＋a＝0．

变式练习:已知关于 x 的一元二次方程 3x2  2 x  k  0 ，根据下列条件，分别求出 k 的范围：

(1) 方程有两个不相等的实数根；

(2) 方程有两个相等的实数根；

(3)方程有实数根；

(4) 方程无实数根。

知识点二、根与系数的关系（韦达定理）

【内容概述】

b  b2  4ac

若一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ≠ 0 ）有两个实数根 x  ，

1 2a

第 18 页共 92 页

b  b2  4ac

x  ， 2 2a

则有：

b  b2  4ac b  b2  4ac 2b b

x  x     ； 1 2 2a 2a 2a a

b  b2  4ac b  b2  4ac b2  (b2  4ac) 4ac c

x x      ． 1 2 2a 2a 4a 2 4a 2 a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

x1＋x2＝  ，

x1·x2＝ c ．

这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2 是其两根，由韦达定理可知：

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即：p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0。由于 x1，x2 是一元二次方程 x2＋

px＋q＝0 的两根，所以，x1，x2 也是一元二次方程 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0 的两根．因此有：

以 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

【典型例题】

例 3. 已知方程 5 x 2  kx  6  0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．

例 4.已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值．

例 5.已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．

19 页共 92 页

例 6.若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根．

（1）求| x1－x2|的值；（2）求 1  的值；（3） 

x 2

x x

3 3

．

变式：若 x , x 是方程 x2  2 x  2007  0 的两个根，试求下列各式的值：

1 1

2(1) x  x ； (2)  ； (3) ( x  5)( x  5) ；

1 2 2 x x

1 2

1 21

(4) | x  x |

1 2

例 7. 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的范围．

例 8.已知关于 x 的方程 x2  (k  1)x  k 2  1  0 ，根据下列条件，分别求出 k 的值。

(1) 方程两实根的积为 5；

(2) 方程的两实根 x , x 满足 | x | x 。

1 2 1 2

例 9.已知 x , x 是一元二次方程 4kx2  4kx  k  1  0 的两个实数根。

（1）是否存在实数 k ，使 (2 x  x )( x  2 x )  

成立？ 2

若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。

(2)求使 1 

x x

 2 的值为整数的实数 k 的整数值。

变式 1：填空:

（1）若方程 x2－3x－1＝0 的两根分别是 x1 和 x2，则 1  1 ＝

（2）方程 mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是

．．．

（3）以－3 和 1 为根的一元二次方程是

第 20 页共 92 页

（4）若 m，n 是方程 x2＋2005x－1＝0 的两个实数根，则 m2n＋mn2－mn 的值等于

．

（5）如果 a，b 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根，那么代数式 a3＋a2b＋ab2＋b3 的值是

变式 2:已知 a2  8a  16  | b 1| 0 ，当 k 取何值时，方程 kx2＋ax＋b＝0 有两个不相等的实数根？

变式 3:已知方程 x2－3x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

变式 4:已知关于 x 的方程 x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1＋x2)＞x1x2，求实数 k 的取值范围．

变式 5：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1 和 x2．

 x 2；求：（1）| x1－x2|和 x1

（2）x13＋x23．

变式 6：关于 x 的方程 x2＋4x＋m＝0 的两根为 x1，x2 满足| x1－x2|＝2，求实数 m 的值．

知识点三、简单的二元二次方程组（选讲内容）

【内容概述】

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，握了用“消元掌

法”解二元一次方程组．高中新课标必修2 中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因

此，需介绍简单的二元二次方程组的解法。

第 21 页共 92 页

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程

组，叫做二元二次方程组。

（1）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

【内容概述】

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般都可以用“代入法”求解．其蕴

含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。

2 x  y  0

例 10.解方程组 

 x2  y 2  3  0

(1)  x  y  11

例 11.解方程组 

(2)  xy  28

(1) (2)

（2）由两个二元二次方程组成的方程组（可因式分解型）

【内容概述】

方程组中，一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，

其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。

 x2  y 2  5( x  y)

例 12.解方程组 

 x2  xy  y 2  43

(1) (2)

 x2  xy  12 (1)

例 13.解方程组 

 xy  y 2  4 (2)

 x2  y 2  26

例 14.解方程组 

 xy  5

(1) (2)

 xy  x  3

例 15.解方程组 

3xy  y  8

(1) (2)

223x  2 xy  y  0

变式练习：解方程组（1）  ；

2( x  y)  3( x  y)  18  0

 x 2  2 xy  y 2  4

（2） 

2( x  y)  5x  5 y  6

第 22 页共 92 页

知识点四、分式方程和无理方程的解法（选讲）

【内容概述】

初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。这里将要学习可化为一元二次方

程的分式方程的解法以及无理方程的解法．要求掌握：

(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用“去分母”或”换元法”求方程的根，并会

验根；

(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元

法”求根，并会验根。

【典型例题—1】可化为一元二次方程的分式方程

（1）去分母，化分式方程为一元二次方程

1 4 x 2

例 16.解方程    1 。

x  2 x2  4 x  2

（2）用换元法，化分式方程为一元二次方程

x2 3x2 8( x2  2 x) 3(x2  1)

例 17.解方程 (  11 ． )2   4  0 例 18.解方程 

x  1 x  1 x2  1 x2  2 x

【典型例题—2】可化为一元二次方程的无理方程

（1）平方法解无理方程

例 19.解方程

x  7  x  1

例 20.解方程

3x  2  x  3  3

（2）换元法解无理方程

例 21.解方程 3x2  15x  2 x2  5x  1  2

第 23 页共 92 页

变式练习 :解下列方程

（）1 x  5  x  7

(2) x  3  2  x （3） 3x  1  x  4  1

（4）x-12+ x  0

（5）x2  3x  x2  3x  6

课堂练习

1．选择题:

（1）已知关于 x 的方程 x2＋kx－2＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是（

）

（A）－3

（B）3 （C）－2 （D）2

（2）下列四个说法：

①方程 x2＋2x－7＝0 的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程 x2－2x＋7＝0 的两根之和为－2，两根之积为 7；

③方程 3 x2－7＝0 的两根之和为 0，两根之积为  ；

④方程 3 x2＋2x＝0 的两根之和为－2，两根之积为 0．

其中正确说法的个数是（

）

（A）1 个

（B）2 个（C）3 个（D）4 个

）

（3）关于 x 的一元二次方程 ax2－5x＋a2＋a＝0 的一个根是 0，则 a 的值是（

（A）0

（B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程 kx2＋4x－1＝0 的两根之和为－2，则 k＝

．

（2）方程 2x2－x－4＝0 的两根为α，β，则α2＋β2＝

（3）已知关于 x 的方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是－2，则它的另一个根是（4）方程 2x2＋2x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，则| x1－x2|＝

．

3．试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2－(2m＋1) x＋1＝0 有两个不相等的实数根？

有两个相等的实数根？没有实数根？

第 24 页共 92 页

课后练习

1、选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两根，

则这个直角三角形的斜边长等于（）

（A） 3

（B）3

（C）6 （D）9

（2）若 x1，x2 是方程 2x－4x＋1＝0 的两个根，则

（A）6

 2 的值为 xx

（）

（B）4 （C）3

（D）

）

2－2(1－m)x＋m2＝0 有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为( （3）如果关于 x 的方程 x

1 1

（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1（D）α＋β≤1

2 2

(4)已知 a, b, c 是ΔABC 的三边长，那么方程 cx2＋(a＋b)x＋＝0 的根的情况是（

A）没有实数根

C）有两个相等的实数根

）

B）有两个不相等的实数根 D）有两个异号实数根

．

2．填空：若方程 x2－8x＋m＝0 的两根为 x1，x2，且 3x1＋2x2＝18，则 m＝ 3. 求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2－7x－1＝0 各根的相反数

2 m4．已知关于 x 的方程 x2  (m  2) x   0 ．

（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足|x2|＝|x1|＋2，求 m 的值及相应的 x1，x2．

5.若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围

6．（选做）已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．

（1）是否存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 3 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说

明理由；（2）求使 1 

2 －2 的值为整数的实数 k 的整数值；

2 1

（3）若 k＝－2，  1 ，试求  的值．

x x x

x x

第 4 讲

绝对值不等式与无理式不等式

1、理解绝对值的意义，能够熟练的解绝对值不等式

教学目标

2、了解解无理不等式的方法，会解无理不等式

第 25 页共 92 页

重点、难点

绝对值不等式与无理不等式的解法

考点及考试要求

绝对值不等式与无理不等式的解法

教学内容

知识框架

1、绝对值的意义

2、绝对值不等式的解法 4、无理不等式的解法

3、简单高次不等式的解法知识点一、绝对值

【内容概述】

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是

零．即：

a, a  0, 0,

| a |  a  0,

 a, a  0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义： a  b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．

知识点二、绝对值不等式的解法

【内容概述】

（1）不等式 x  a(a  0) 的解是 x  a  x  a ；



（2）不等式 x  a(a  0) 的解是 x x  a, 或x  a ；

（3）不等式 ax  b  c(c  0) 的解为 x | c  ax  b  c(c  0) ；





（4）不等式 ax  b  c(c  0) 的解为 x | ax  b  c, 或ax  b  c(c  0) . 【典型例题】

例 1.解下列不等式：

⑴. | x  3 | 4

⑵.1 | x  1 | 3

变式 1:不等式 1≤│2x-7│＜3 的解集是（

）．

C.{x│2＜x≤3 或 4≤x＜5}

D.{x│x≤3 或 x＞2}

A.{x│4≤x＜5}

B.{x│x≥4 或 x≤5}

变式 2:│x+3│＞4 的解集是________．

变式 3:若│x-1│＜3，化简│x-4│+│x+2│得______

例 2.解不等式： x  1  x  2  5

第 26 页共 92 页

5x  1  3( x  2) 变式 1：解不等式组 

 2  x  5.

变式2：解不等式│x+2│+│x-2│≤12．

例 3.解不等式 | x 2  5 x  5 | 1 ．

变式 1： | x 2  11x  24 | 6 变式 2： | x 2  7 x  11 | 1

课堂练习

（1） | x  1| 1 ；

（2） | x 2  x  1| 1 ；

（4）1 | x  1 | 3 ；

2（5） | x  1|  | 2  x | 4 ；

2x3

（6） | | 1 ；

x  2

知识点三、简单高次不等式

【内容概述】

（设 a  b  c  d ) ：

（1） ( x  a)( x  b)( x  c)  0  a  x  b, x  c ；

第 27 页共 92 页

(xa)(xb)（2）  0  a  x  b, c  x  d ；

( x  c)(x  d )

（3） ( x  a)( x  b)2( x  c)  0  x  a, x  c

说明：（1）化高为低即“降次”；（2）数形结合的应用；

穿针引线法：从右往左，从上往下，奇过偶不过

【典型例题】

( x  4)( x  1) 2 x  2

例 4.解不等式：  0 ；变式：  x  1

x  2 x  2

知识点四：无理不等式

【内容概述】

前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们称为整式不等

式，再加上分式不等式，统称为有理不等式，下面，我们将继续学习一下无理不等式的解法。

无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知

数的简单的无理不等式的解法。

【典型例题】

（1）：

( f (x)  0) 不等式的解集f (x)  g(x)型 

 g(x)  0   f (x)  g(x) 

通过这个题型我们可以发现：在解无理不等式的时候，关键是找出与其同解的有理不等式组，而解有理不等式组（如：一元一次不等式组、一元二次不等式组和一元高次不等式组等等）都是我们比较拿手的。简言之：“解无理不等式”要转化为 “解有理不等式”。

即：无理不等式的有理化解法。

例 5. 解不等式 3x  4  x  3  0

变式：解不等式⑴ 1  x  3x  2  0

⑵ 5  2x  x  1

第 28 页共 92 页

f(x)0

 f ( x)  0  （2）：

或 f (x)  g ( x)型   g ( x)  0

 f ( x)  [ g ( x)]2  g ( x)  0 

例 6. 解不等式

5  2x  x  1

变式：解不等式 2x  3x  1  1  2x

（3）：

 f (x)  0



f (x)  g (x)型   g (x)  0

 f (x)  [g (x)]2 

例 7.解不等式 2x  3x  1  1  2x

变式： 1  x  x  1

（4）：综合问题

例 8.解不等式： 2x  1  x  1  1

变式： 9  x  6x  x  3

知识点五、四个结论：（选讲）【内容概述】

（1） f ( x)  a 恒成立  f ( x)

min

 a ；（2） f ( x)  a 恒成立  f ( x)

max

 a ；

（3） f ( x)  a 有解  f ( x)

max

 a ；（4） f ( x)  a 有解  f ( x)

min

 a ；

【典型例题】

例 9.（1）求使得不等式 | x  4 |  | x  3 | a 有实数解的 a 的取值范围：

（2）对于 x  R,| x  1|  | x  2 | a 恒成立，求实数 a 的取值范围：

第 29 页共 92 页

变式：若关于 x 的不等式 | x  4 |  | x  3 | a 对于 x  R 恒成立，求实数 a 的取值范围；

课堂练习

1.解下列不等式：

（1） ( x  4)( x  6)  0 ；（2）

x  1

 x  1 ；

2.解下列不等式：

（1） | x  2 |  | 2 x  1| 5 ；

（2） | x  2 |  | 2 x  1| 2 ；（3）

( x  4)( x  1)

 0 ；

x  2

3.解下列不等式：

（1） ( x  2) 2x  3  0 ;（2） 3  x  x  1 ；

（3） x 2  3x  2  x  3 ；

课后练习

1.解下列不等式

（1） | x  1|  | x  3 |  | x  4 | 1；

（2） | x  2 |  | 2 x  5 | 2 x

第 30 页共 92 页

（3） x 2  5x  6  x 1

| x |

(4) 4  x 2   0 ；

（5） ( x  1) 2 9 x  1)( x  4) 2  0 ；

3x 2  14 x  14

 1 （6）

2x  6 x  8

x 2  3x  4

 0 ；（7）

28x  x  15

2、若关于 x 的不等式 x 2  ax  6a  0 有解，且对任意的解 x , x 恒有 | x  x | 5 ，试求实数 a 的取值范围；

第 5 讲

集合的基本概念

1、理解并掌握集合的含义与表示

教学目标

2、理解并掌握集合间的基本关系

重点、难点

1、集合元素的三种特性（确定性、互异性、无序性）

第 31 页共 92 页

2、元素与集合之间的关系、集合的表示方法、子集与真子集

1、集合元素的三种特性（确定性、互异性、无序性）

考点及考试要求

2、元素与集合之间的关系、集合的表示方法、子集与真子集

教学内容

知识框架

1、集合的概念

2、元素与集合的关系及常用数集记法 4、集合的分类

3、集合的表示方法

5、集合间的基本关系（子集，真子集）知识点一、集合的概念

【内容概述】

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该

集合的元素，简称“元”

【典型例题】

例 1. 考查下列每组对象能否构成一个集合：

（1）著名的数学家；

（3）不超过 20 的非负数；

（2）某校 2010 年在校的所有高个子同学；（4）方程 x2－9＝0 在实数范围内的解；

（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；（6） 3的近似值的全体．

变式 1:下面有三个命题：其中正确的命题有________个．

（1）自然数中最小的数是零（2）0 是自然数

（3）{1,2,3}是不大于 3 的自然数组成的集合；

【概括】：集合中元素的特性

确定性：它的元素必须是确定的。

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不

相同的对象。

无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的

例 2.下列各组对象：其中能构成集合的组数是（

○1

）

接近于 0 的数的全体

○2

比较小的正整数全体 ○3 2 的近似值的全体

○5

○4

平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体 A.2

正三角形的全体

B. 3 C. 4 D.5

第 32 页共 92 页

变式 2：下列各种对象，可以构成集合的有_________个

○1

某班身高超过 1 米 8 的女学生某书中的难题

B.2

C.3

○2

某班比较聪明的学生

○3

○4

使| x2  3x  2 |最小的 x 的值

A.1

D.4

知识点二、元素与集合的关系及常用数集记法

【内容概述】

1．集合通常用

表示，用

集合 A，记作

A，记作

表示集合中的元素． A，读作“ A，读作“

”； ”．

2．如果 a 是集合 A 的元素，就说 a

如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a

3。数学中一些常用的数集及其记法：

实数集：

有理数集：

正整数集

整数集：或

非负整数集：

【典型例题】

例 3.用 ， 填空：

1_____N,

-3_____N, -3_____Q,

0_____N, 0______Z

2 _____N, 2 _______R

1_____Z,

变式 3：下面命题：正确的个数是______个。

○1

集合 N 中最小的数是 1

○2

若-a 不属于 N，则 a 属于 N

知识点三、集合的表示方法

【内容概述】

1、自然语言：通过日常语言来描述集合问题中被研究的对象，如全体实数组成的集合、正整

数集等。

2、列举法：把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。如{1，-2}

说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；

(2)一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某

种规律,其余元素以省略号代替

【典型例题—1】列举法：

第 33 页共 92 页

例 4.用列举法表示下列集合：

（1）小于 5 的正奇数组成的集合（2）能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合

（3）从 51 到 100 的所有整数的集合；（4）小于 10 的所有自然数组成的集合；

（5）方程 x 2  x 的所有实数根组成的集合；（6）由 1-20 以内的所有质数组成的集合。【内容概述】

我们不能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的，但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述：

例如：不等式 x-7<3 的解集中所含元素的共同特征是： x  R, 且 x  7  3,即 x  10

所以，我们可以把这个集合表示为

D x  R x  10



描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 (即把集合中元素的公共属性描述出来 ,

写在大括号里的方法)。

表示形式： A x  I p( x) ，其中竖线前 x 叫做此集合的代表元素；p 叫做元素 x 所具有的





公共属性； A x  I p( x) 表示集合 A 是由所有具有性质 P 的那些元素 x 组成的，即若 x 具有性





质 p，则 xA；若 x A,则 x 具有性质 p。

说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；

(2)应防止集合表示中的一些错误。

如：把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},用{实数集}或{全体实数}表示 R。

【典型例题—2】描述法：

例 5．用描述法表示下列集合：

（1）由适合 x2-x-2>0 的所有解组成的集合；（2）抛物线 y=x2 上的点；

（3）抛物线 y=x2 上点的横坐标；

(4)抛物线 y=x2 上点的纵坐标；

变式 1：试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程 x2  2  0 的所有实数根组成的集；（2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。

第 34 页共 92 页

变式 2：(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；(2)用列举法表示集合 A  {x  N |1  x  8}

知识点四、集合的分类

【内容概述】

有限集 : 含有有限个元素的集合 无限集

集合的分类  : 含有无限个元素的集合

 空集不含有任何元素的集合 : (empty  set) 

【典型例题】

例 6.观察下列三个集合的元素个数

（1）. {4.8, 7.3, 3.1, -9}；

（2）. {x R∣0课堂练习

填空题

1．由下列对象组成的集体属于集合的是____

____(填序号)．

③中国的大城市；

①不超过π的正整数；

②高一数学课本中所有的难题；

④平方后等于自身的数；

⑤某校高一(2)班中考试成绩在 500 分以上的学生．

2．下列四个说法中正确的个数是________．

①集合 N 中最小数为 1；

②若 a∈N，则－a N；

④所有小的正数组成一个集合．

③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2； 3．用“∈”或“”填空．

(1)－3______N；

(2)3.14______Q； (5)1______N*；

(3) ______Z；

3 (6)0________N.

(4)－ ______R；

4．集合 A＝{1,2,3,5}，当 x∈A 时，若 x－1A，x＋1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元素”，则 A 中孤立元素的个数为________．

x y z |xyz|

5．已知 x、y、z 为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是 M，则 M 中元素的

|x| |y| |z| xyz

个数为________．

6．方程 x2－2x＋1＝0 的解集中含有________个元素．

第 35 页共 92 页

7．已知集合 S 的三个元素 a、b、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________

为等腰三角形．

8．已知集合 M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若 2∈M，求 x.

知识点五、集合间的基本关系【典型例题—1】子集的概念：

例1.观察下列几组集合，有什么共同的地方

（1）A={1，2，3}

B={1，2，3，4，5} B={3，5，7}

B={x | x 2  2 x  3  0}

（2）A={3，5，7}

（3）A={x | x 2  2 x  1  0}

我们可以发现A中的任何一个元素在B中都能找到。那么这样的两个集合是什么样的关系呢？

【概括】

对于集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合是包含

关系，集合A为集合B的子集。记作 A  B(或B  A) 读作A含于B

例 2.用符号“  ”、“  ”、“ ”或“ ”填空：

(1) a, b, c, d

a, b；

(2)  (5) d

1,2,3； a, b, c；

(3) N Q ；

(4) 0

R ；

(6) x | 3  x  5

x | 0

x  6．

例 3.写出集合｛a，b｝的所有子集，

例 4.说出下列每对集合之间的关系．

（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．（3）N，N*．）

 ，且 A  B ，则实数 a 的范围是（例 5.设集合 A x 1  x  2 ， B  x x  a



A.a  2

B.a  2 C.a  1 D.a  1

变式：若 A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－ a ｘ＋ a －１＝０｝，且Ｂ  Ａ，则 a 的值

为___

___

【典型例题—2】韦恩图：

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【内容概述】

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例 6. 求下列集合之间的关系，并用 Venn 图表示．

A＝｛x｜x 是平行四边形｝，

B＝｛x｜x 是菱形｝， C＝｛x｜x 是矩形｝， D＝｛x｜x 是正方形｝．

【典型例题—3】集合相等：

设集合 A={x|x2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？

【概括】

集合 A 与集合 B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合 A 与集合 B 相等，

即：A=B

例 7.判断集合 A x与集合 x  2 B x x2  4  0 的关系．









例 8.判断集合 A 与 B 是否相等？

(1) A={0}，B= ；

(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m Z} ； (3) A={x| x=2m-1 ,m Z}，B={x| x=2m+1 ,m Z}．

变式：已知三元集合Ａ＝｛ x, xy, x  y ｝，Ｂ＝｛ 0,| x |, y ｝，且Ａ＝Ｂ，求 x与y 的值．

【典型例题—4】真子集：

【内容概述】

如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合

A的真子集．记作B A (或A B)，读作“A真包含B”（或“B真包含于A”）．

[不包含本身的子集叫做真子集]

对于集合A、B、C，如果A B，B C，则A C ．

例 9.选用适当的符号“  ”或“

”填空：

(1){1,3,5}_

{1,2,3,4,5}； (2){2}_

{x| |x|=2}； (3){1}

．

例10.设集合 M  0,1,2,试写出 M 的所有子集，和真子集

第 37 页共 92 页

  2变式：已知集 A  x x  2 x  3  0 ， B  x ax  1  0 若Ｂ  Ａ，求 a 的值所组成的集合Ｍ．





【典型例题—5】空集

【内容概述】

1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作

2、空集是任何集合的子集。

3、空集是任何非空集合的真子集

例 11.求方程 x2+1=0 的实数根

变式：下列四个集合中，表示空集的是（

）

Ｂ．{( x, y) | y 2   x 2 , x  R, y  R}

Ａ．｛０｝

Ｃ．{x || x | 5, x  Z , x  N}

课后练习

Ｄ．{x | 2 x 2  3x  2  0, x  N }

1.已知集合Ａ＝｛ a, b, c ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合Ｂ的真子集个数最多是（

）

Ａ．５个

Ｂ．６个Ｃ．７个Ｄ．８个

2.设集合Ｍ  ｛1,2,3,4,5｝，且 a ∈Ｍ时，６－ a ∈Ｍ，则集合Ｍ=_______________． 3.写出满足条件｛0，1｝  Ｍ  ｛0，１，２，３｝的集合Ｍ____________________

4.集合{3，x，x2－2x}中，x 应满足的条件是______．

5.集合  x  Z y 

 

6 ,yZ 中的元素有

 x  1



6．用符号∈ 或 填空：

①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z， 2 ______R．

②

______R，

5 ______Q，｜－3|______N＋，｜－ 3 ｜______Z．

7．若集合 A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素 a，则 a＝______，b＝______．

8.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞２｝，Ｂ＝｛ｘ｜４ｘ＋ｐ＜０｝，当Ｂ  Ａ时，求实数ｐ的

第 38 页共 92 页

取值范围．

9.设集合 A=｛ x | x 2  4 x  0 ｝，Ｂ＝｛ x | x 2  2(a  1) x  a 2  1  0, a  R ｝，若Ｂ  Ａ，

求实数 a 的取值范围

 A ．（选做） 10．实数集 A 满足条件：1 A，若 a∈A，则

1  a

(1)若 2∈A，求 A；

(2)集合 A 能否为单元素集？若能，求出 A；若不能，说明理由； (3)求证：1   A

1 a

11．（选做）已知集合 A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中 a 为常数，且 a∈R

① 若 A 是空集，求 a 的范围；

② 若 A 中只有一个元素，求 a 的值；

③ 若 A 中至多只有一个元素，求 a 的范围．

第 6 讲

集合的基本运算

① 理解两个集合的并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集

教学目标

② 理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 ③ 能够使用韦恩图表示集合的关系与运算，并能够解决一些简单的实际问

重点、难点

集合的并集、交集、补集运算的应用

考点及考试要求熟练掌握集合的并、交、补运算

第 39 页共 92 页

教学内容

知识框架

集合的并集、交集、补集

知识点一、并集

【内容概述】

1、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集.符号表示为 A  B ， A  B  {x | x  A, 或x  B} .

○1

2、并集运算必须掌握的几条性质

并集满足交换律，符号语言表达式为： A  B  B  A ；

任何集合同自身的并集等于集合自身，符号语言表达式为： A  A  A ；任何集合同空集的并集等于集合本身，符号语言表达式为： A    A ；

○2

○3

○4

A  B  A  B  B ；

任何集合都是该集合与另一集合并集的子集，符号语言表达式为：A  ( A  B), B  ( A  B) .

○5

【典型例题】

例 1.已知集合 A  {1,3, x}, B  {1, x 2}, A  B  {1,3, x} ，则 x =____________.

变式 1:若集合 A  {0,1,2,3}, B  {1,2,4} ，则集合 A  B =_____________.

变式 2:设集合 A  {x | x 2  3x  2  0} ，集合 B  {x  R | x 2  4 x  a  0, a为常数} ，

若 A  B  A ，求实数 a 的取值范围.

例 2.已知集合 A  x | x  2  3, B  x | 2 x  3  3x  a，求 A  B .

x2

A{x|12x13},B{x|

变式 1：若集合 x  0} ，则 A  B  ___________.

变式 2：已知集合 A  {x || x | 3} ， B  {x || x  1| a} ，且 A  B  R ，求实数 a 的取值范围.

第 40 页共 92 页

知识点二、交集

【内容概述】

1、交集的定义：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的交集. 数学语言表述为 A  B ， A  B  {x | x  A, 且x  B} .

2、交集的运算必须掌握的几条性质：

（1） A  B  B  A ；

（2） A  B  A, A  B  B ；

（3） A  A  A, A      A   ；

（4） A  B  A  B  A ；

（5） ( A  B)  C  A  ( B  C ) .

【典型例题】

例 3.设 A  {1,2,3}, B  {1,3,4}, C  {1,3,5,6} ,求 ( A  B)  C , A  ( B  C ) .

变式 1：已知集合 A  {x | x 2  ax  a 2  19  0, a为常数} ， B  {x | x 2  5x  6  0} ，

C  {x | x 2  2 x  8  0} ，求当 a 为何值时， A  B   与 A  C   同时成立.

变式 2：已知集合 A  {0,2a  1, a 2}, B  {a  5,1  a,9} 分别符合下列条件的 a 的值.

（1） 9  A  B ；

（2）  9  A  B .

例 4.设集合 M  {1,0,1}, N  {x | x 2  x} ，则 M  N =_______________________.

第 41 页共 92 页

变式 1：图中阴影部分用集合表示为_______________.

变式 2：已知集合 A  {x | 2  x  4}, B  {x | a  x  3a} .

（1）若 A  B   ，求 a 的取值范围；

（2）若 A  B  {x | a  x  4} ，求 a 的取值范围.

知识点三、补集

【内容概述】

1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.

2.补集：如果集合 A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，叫做集合 A 相对于全集U 的补集，简称为集合 A 的补集. 3.对补集定义的理解要注意以下几点：

（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集 R 当做全集.

(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.

（3）从符号角度来看，若 x U ， A  U ，则 x  A 和 x  C A 二者必居其一.

4.集合图形，理解补集的如下性质：

（1） C U  , C   U , C (C A)  A, A  (C A)  U , A  (C A)  

(2)若 A  B ，则 (C A)  (C B) ；反之，若 (C A)  (C B) ，则 A  B

（3）若 A=B，则 C A  C B ；反之，若 C A  C B ，则 A=B

【典型例题】

例 5.设全集U 是实数集 R， A  {x | x 2  4} ， B  {x | x  3或x  1} 都是U 的子集，则图中阴影部

分所表示的集合是__________________.

第 42 页共 92 页

变式 1：已知集合 A  {x | x 2  ax  12b  0} 和 B  {x | x 2  ax  b  0}

满足 (C A)  B  {2}, A  (C B)  {4},U  R ,求实数 a 、 b 的值.

y3

U  {( x, y) | x, y  R}, M  {( x, y) |  1}

， N  {( x, y) | y  x  1} ，变式 2：设集合 x  2

则 (C M )  (C N ) =__________________.

例 6.已知全集U  R ， M  {x | 3a  x  2a  5}, P  {x | 2  x  1} ，若 M  C P ，求实数a 的取值范围.

2 4mx2m60,xR}变式 1：已知集合 A  {x | x ， B  {x | x  0, x  R} ，若 A  B   ，

求实数 m 的取值范围.

B{x| x  6}

变式 2：已知集合 A  {x | 0  x  a  5} ， 2 .

（1）若 A  B  A ，求 a 的取值范围；

（2）若 A  B  A ，求 a 的取值范围.

例 7.学校 50 名学生调查对 A、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对A，B 都不赞成的学生数比对

第 43 页共 92 页

A，B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人，问对 A，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

例 8.设集合 I  {1,2,3} ， A 是集合 I 的子集，如果把满足 M  A  I 的集合 M 叫做集合 A 的“配

集”，则当 A  {1,2} 时， A 的配集的个数是_________________.

课后作业

1.若全集 U  {0,1,2,3} ，且 C A  {2} ，则集合 A 的真子集共有________个.

2.集合 A  {( x, y) | 4 x  y  6}, B  {( x, y) | 3x  2 y  7} ，则 A  B  ____________.

3. 已知集合 A  {x | a  x  2}, A  {x | x  0}  {x | x  0} ，则实数 a 的取值范围是

______________.

4. 已知集合 A  {x | x  a}, B  {x |1  x  2}, A  (C B)  R ，则实数 a 的取值范围是

___________.

5.设全集是实数集 R， A  {x | 2 x 2  7 x  3  0}, B  {x | x 2  a  0} .

（1）当 a  4 时，求 A  B, A  B ；

（2）若 (C A)  B  B ，求实数 a 的取值范围.

第 7 讲集合的综合复习

1、掌握集合的表示方法，能判断元素与集合的属于关系、集合与集合之间的包含关系

教学目标

2、掌握集合的交、并、补运算和性质，会用分类讨论的思想研究集合

的运算问题

重点、难点

集合的基本运算与基本关系

考点及考试要求 1、了解集合的含义与表示；

第 44 页共 92 页

2、理解集合的基本关系；

3、理解集合的基本运算

教学内容

知识框架

1.集合的含义与表示方法；2.集合间的基本关系；3.集合的基本运算

知识一、集合的含义与表示

【内容概述】

1、集合的性质：_____________、_____________、_____________.

2、集合的表示方法：_____________、_____________、_____________.

3、空集的性质：空集是任何集合子集；空集是任何非空集合的真子集.

4、集合的分类：无限集；有限集.

5、特殊集合的表示：实数集________；整数集________；有理数集________；

自然数集________；正整数集________.

【典型例题】

2例 1.若  3  a  3,2a  1, a  4 ，求实数 a 的取值.

变式 1：已知集合 A  {1,2,3,4,5}, B  {( x, y) | x  A, y  A, x  y  A} ，

则 B 中所含元素的个数为_________________.

变式 2：若集合 A  {1,1}, B  {0,2} ，则集合{z | z  x  y, x  A, y  B} 中

元素的个数为______________.

例 2.已知集合 A  {x | ax 2  3x  2  0} .

若 A   ，求实数 a 的取值范围； ○2 若 A 是单元素集，求 a 的值及集合 A ；

○1

○3

求集合 M  {a  R | A  } .

变式 1：设集合 M  {x | x  5  4a  a 2 , a  R}, N  { y | y  4a 2  4a  2, a  R} .则下列关系正确

的是（

）

A.M  N

B.M  N C.M  N D.M  N

例 3.定义集合运算： A * B  {z | z  xy, x  A, y  B} ，设 A  {1,2} ， B  {0,2} ，则集合 A * B 的

第 45 页共 92 页

所有元素之和为（

A.0 B.2

）

C.3

D.6

变式 1：已知 P, Q 是两个非空集合，定义新运算 P  Q  {x | x  P  Q且x  P  Q}.

若 A  {x | y  x 2}, B  { y | y  x 2}，则 A  B =_____________.

知识点二、集合间的基本关系

【内容概述】

1、元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，可以表示为________；如果 a 不是集合 A

的元素，可表示为________.

2、集合与集合的关系：若 A 是 B 的子集，则可表示为 A  B ；若集合 A 是 B 的真子集，则

可表示为 A  B .

3、集合相等

定义：如果两个集合中的元素完全相同，则两集合相等.

表示方法：集合 A 与集合 B 相等可表示为________.

如果集合 A 与集合 B 满足 A  B 且 B  A ，则 A 与 B 相等.

【典型例题】

例 4.已知集合 A  {x | x 2  2(a  1) x  a 2  1  0} ， B  {x | x 2  4 x  0} ，若 A  B ，求实数 a 的取值范围.

变式 1：设 P  {x | x  4}, Q  {x | x 2  4} ，则（

）

A. P  Q B. Q  P C. P  C Q

D. Q  C P

变式 2：已知关于 x 的不等式 1  ax  4 的解集为 A，关于不等式 2 x 2  3x  2  0 的解集为 B.

（1）若 2  A ，求实数 a 的取值范围；（2）若 A  B ，求实数 a 的取值范围.

例 5.集合 S  {a, b, c, d , e} ，包含{a, b} 的 S 的子集共有（

）

A.2 个

B.3 个 C.5 个 D.8 个

）

变式 1：已知非空集合 M  {1,2,3,4,5} ，且若 a  M ，则 6  a  M ，那么集合 M 的个数为（

A.5 个

B.6 个 C.7 个 D.8 个

变式 2：设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k  A ，如果 k  1 A ，且 k  1 A ，那么称 k 是 A

第 46 页共 92 页

的一个“孤立元”.给定 S  {1,2,3,4,5,6,7,8} ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”

的集合共有_________个.

知识点三、集合的基本运算

【内容概述】

1、集合间的运算

集合 A 和集合 B 的交集可表示为________；

集合 A 和集合 B 的并集可表示为________；

若 U 为全集，集合 A 的补集可表示为________.

2、集合间的逻辑运算

（1）设U 为全集.

交集： A  B  A, A  B  B, A  B  U , A  A  A, A     ；

并集： A  B  B, A  B  A, A  B  U , A  A  A, A    A ；

补集： C (C A)  A, C U  , C   U , A  (C A)  , A  (C A)  U

（2）设有限集合 A， card ( A)  n(n  N *) ，则

①A 的子集个数是________；

②A 的真子集个数是________；

③A 的非空子集个数是________；

④A 的非空真子集个数是________.

（3）设有限集合 A、B、C，则

① card ( A  B)  card ( A)  card ( B)  card ( A  B) ；

② card ( A  B  C )  card ( A)  card ( B)  card (C )  card ( A  B)  card ( B  C )

- card ( A  C )  card ( A  B  C ) ；

③ A  B  A  A  B, A  B  B  A  B ；

④ (C A)  (C B)  C ( A  B) ；

U U

⑤ (C A)  (C B)  C ( A  B) .

【典型例题】

第 47 页共 92 页

例 6.设集合 M  {x | x 2  x  6  0}, N  {x |1  x  3} ，则 M  N =_____________.

变式 1：已知集合 A  {x  R | 3x  2  0}, B  {x | ( x  1)( x  3)  0} ，则 A  B  _________.

变式 2：设集合 M  {1,0,1}, N  {x | x 2  x} ，则 M  N  _______________.

例 7.设集合U  {1,2,3,4,5,6}, M  {1,2,4} ，则 C M  ________________.

变式 1：设集合 A  {x |1  x  4}, B  {x | x 2  2 x  3  0} ，则 A  (C B) =_____________.

变式 2：设集合 A  {4,5,7,9}, B  {3,4,7,8,9} ，全集U  A  B ，则集合 C ( A  B) 中的元素共有 _____________个.

例 8.某试验班有 21 个学生参加数学竞赛，17 个学生参加物理竞赛，10 个学生参加化学竞赛，他们

之间既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有 12 人，既参加数学竞赛有参加化学竞赛的有 6 人，既参加

物理竞赛又参加化学竞赛的有 5 人，三科都参加的有 2 人.现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，

问需要预订多少张火车票？

变式 1：某班有 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______.

变式 2：某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知

参加数学、物理、化学小组的分别有 26 人、15 人、13 人，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同

时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有__________人.

知识点四、集合的综合问题

【典型例题】

例 9.设 A  {x | x 2  4 x  0}, B  {x | x 2  2(a  1) x  a 2  1  0}.

（1）若 A  B  B ，求 a 的值；（2）若 A  B  B ，求 a 的值.

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变式 1：已知集合 A  {1,1}, B  {x | x 2  2ax  b  0} ，若 A  B  B   ，求实数 a, b 的值.

课下作业

1.已知集合 A  {1,3, m}, B  {1, m}, A  B  A ，则 m  _______________.

2.已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 N  C M   ，则 M  N =_______________.

3.满足 M  {a , a , a , a } ，且 M  {a , a , a }  {a , a } 的集合 M 的个数是______.

4.已知全集 U  A  B 中有 m 个元素， (C A)  (C B) 中有 n 个元素.若 A  B 非空，则 A  B 的元素个数为（

）

A.mn

B.m  n C.n  m D.m  n

5、设集合 A  {x || x  a | 1, x  R} ， B  {x |1  x  5, x  R} .若 A  B   ，则实数 a 的取值范围是(

)

A.{a | 0  a  6} B.{a | a  2, 或a  4} C.{a | a  0, 或a  6} D.{a | 2  a  4}

第 8 讲

函数的概念与定义域

1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用

教学目标

2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域

1．函数的定义的理解；

重点、难点

2．求简单函数的定义域

1.了解函数的概念；

考点及考试要求

2.理解函数的三种表示方法；

第 49 页共 92 页

3.了解简单的分段函数

教学内容

知识点一、区间的概念

【内容概述】

设 a, b  R, 且a  b

区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意：

1、区间的左端点必须小于右端点，有时我们将 b - a 成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我

们仍然用集合来表示，如a  ；

2、注意开区间 (a, b) 与点 (a, b) 在具体情景中的区别.若表示点 (a, b) 的集合应为  a(, b)；

3、用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；

4、对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；

5、要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆.

【典型例题】

例 1.把下列数集用区间表示：

（1）{x | x  1} ；（2）{x | x  0} ；（3）{x | 1  x  1} ；（4）{x | 0  x  1或2  x  4}

知识点二、函数的定义【内容概述】

一般地，设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 的任意一个数

x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么就称 f : A  B 为从集合 A 到集合 B 的一个

第 50 页共 92 页

函数，记作 y  f ( x) ， x  A .

其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 值相对应的 y 值叫做函数值，

函数值的集合{ f ( x) | x  A} 叫做函数的值域.

显然：{ f ( x) | x  A}  B

【典型例题】

例 2.下列式子能否确定 y 是 x 的函数？（1） x 2  y 2  4 ；

（2） x  1  y  1  1 ；（3） y  x  2  1  x

变式 1：判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数.

○1

A  R, B  {x | x  0}, f : x  y | x |

A  Z , B  Z , f : x  y  x 2 A  Z , B  Z , f : x  y  x

○2

○3

○4

A  {x | 1  x  1}, B  {0}, f : x  y  0

知识点三、函数的三要素

【内容概述】

1.函数的定义域

函数的定义域是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使解析式有

意义的或使实际问题有意义的 x 的取值范围.

2.求函数定义域的一般法则：

（1）若 f ( x) 为整式，则其定义域为实数集 R ；

(2)若 f ( x) 为分式，则其定义域是使分母不为 0 的实数的集合；

（3）若 f ( x) 为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合；

（4）若 f ( x) 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数

的集合，即交集；

（5） f ( x)  x 0 的定义域是{x | x  0}；

第 51 页共 92 页

由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.

【典型例题】

例 3.求下列函数的定义域，结果用区间表示.

（1） y  x  2 

x 2  x  6

；

（2） y 

( x  1)0 | x |  x

；

（3） y  5  x  x  5 

x 2  9

例 4.已知四组函数：

（1） f ( x)  x, g ( x) 

x 2 ；（2） f ( x)  x, g ( x)  3 x3 ；

（4） f ( x)  x 2  2 x, g (t )  t 2  2t

（3） f (n)  2n  1(n  N ), g (n)  2n  1(n  N ) ；

其中表示同一函数的是________________.

变式 1：下列各组式子是否为同一函数？为什么？

（1） f ( x) | x |, g (t )  t 2 ；

（2） y  x 2 , y  ( x )2 ；

（3） y  1  x  1  x , y  1  x 2 ；

（4） y  (3  x)2 , y  x  3

例 5.高为 h ，底面半径为 R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为 a 的速度灌水.试求水面高 y 用时

间 t 表示的函数式，并求其定义域.

例 6.已知函数 y 

ax  4ax  3

ax  1

的定义域为 R，求实数 a 的取值范围.

第 52 页共 92 页

例 7.设 M  {x | 0  x  2}, N  { y | 0  y  2} ，下图中的四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N

的函数关系的有（

）

知识点四、抽象函数的定义域【拓展】

【内容概述】

（1）函数 f ( x) 的定义域是指 x 的取值范围；

（2）函数 f ( g ( x)) 的定义域是指 x 的取值范围，而不是 g ( x) 的取值范围；

（3）已知 f ( g ( x)) 的定义域为 B，求 f ( x) 的定义域，其实质是已知 f ( g ( x)) 中 x 的取值范围

为 B，求出 g ( x) 的范围（值域），此范围就是 f ( x) 的定义域.

【典型例题】

例 8.已知函数 f ( x) 的定义域为[0,9] ，求 f (2 x  1) 的定义域.

变式 1：已知函数 f ( x) 的定义域为[5,13] ，求 f ( x 2 ) 的定义域.

变式 2：已知函数 f ( x) 的定义域为[3,3] ，求 f (2 x 2  1) 的定义域.

第 53 页共 92 页

例 9.已知函数 f ( x) 的定义域为[ ,5] ， g ( x)  f ( x  1)  f ( x  1) 求 g ( x) 的定义域.

1 1

变式 1：已知函数 f ( x) 的定义域为[ ,4] ， g ( x)  f ( x)  f ( ) 求 g ( x) 的定义域.

3 x

变式 2：已知函数 f ( x) 的定义域为[1,4] ， g ( x)  f ( x)  f ( x 2) 求 g ( x) 的定义域.

知识点五、检验图形是否为函数图像的方法

【内容概述】

要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的 x 轴部分上的任意一个 x 是否都有唯一的 y 与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少有一个x 值，存在两个或两个以上的 y 与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点，作 x 轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.

除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着 x 轴上的所有实数）、值域（图形正对 y 轴上的所有实数）是否一致.

【典型例题】

例 10.设 M  {x | 2  x  2}, N  { y | 0  y  2} ，函数 f ( x) 的定义域为 M ，值域为 N ，则

f ( x) 的图象可以是（

）

B C D

第 54 页共 92 页

课下作业

1.下列各组函数表示相等函数的是（

）

 x,x04、 f ( x)   与 g ( x) | x |  x,,  0

2 x 2  x

5、 f ( x)  2 x  1 与 g ( x) 

6、 f ( x) | x 2  1| 与 g (t )  (t 2  1)2

7、 f ( x) 

x 2 与 g ( x)  x

x  1

的定义域为_______________. x

2.函数 y 

3.函数 f ( x) 

x 2  2ax  a 2  1 的定义域为 A，若 2  A ，则 a 的取值范围是____.

4.已知函数 y  f ( x) 的定义域为[1,4] ，求函数 y  f ( x 2 ) 的定义域.

5.已知 f ( x) 的定义域为 (0,2] ，求函数 f (2 x  1)  f ( x 2 ) 的定义域.

第 9 讲

求函数的值域

1。掌握求函数值域的基本方法，并能够熟练的应用

教学目标

2．能够对函数的图形进行平移、对称变换，并能够画出函数图像的草图

1．求函数值域的方法；

重点、难点

2．图象变换的应用

1.了解一些简单的函数值域；

考点及考试要求

2.理解函数图象的变换

教学内容

知识框架

第 55 页共 92 页

1.求函数的值域；

2.图象变换

知识点一、求函数的值域

【内容概述】

函数的值域是对应法则 f 对自变量 x 在定义域内取值时相应的函数值的集合.

求函数的值域问题，可依据函数的对应规律，运用不同的数学方法去求解.常用的方法有：观

察法、配方法、判别式法、换元法、分离常数法等。

求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上述

常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法.总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

【典型例题—1】观察法：

【观察法】：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本初等函数的值域，或利用函数图象的“最高点”

和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法。

例 1.求函数 y  2 x  1, x {1,2,3,4,5}的值域.

变式:求函数 y  x  1的值域.

【典型例题—2】配方法：

【配方法】：

对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函

数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法。

例 2.求函数 y  5  4 x  x 2 的值域.

变式 1:求函数 y  4  3  2 x  x 2 的值域.

第 56 页共 92 页

(x0)的值域.变式 2：求函数 y 

1  2 x  3x 2

【典型例题—3】判别式法：

【判别式法】：

将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，长用于一些“分式”函数、

“无理”函数等，使用此方法要特别注意自变量的取值范围.

2 x 2  4 x  7

例 3.求函数 y  的值域.

x 2  2 x  3

22x32x变式：求函数 y  的值域. x 2  x  1

【典型例题—4】换元法：

【换元法】：

对于某些无理函数或其它函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法

求值域.

例 4.求函数 y  x  1  2x 的值域.

第 57 页共 92 页

变式：求函数 y  5x  1  3x 的值域.

【典型例题—5】分离常数法：

【分离常数法】：

cx  d

将形如 y  （ a  0 ）的函数分离常数，变形过程为：

ax  b

c bc bc (ax  b)  d  d  a，cacx  d a   

ax  b ax  b a ax  b bc

d 

a 的取值范围，从而确定函数值域.

再结合 x 的范围确定

ax  b

例 5.求函数 y  的值域.

x  1

3x  1

变式 1：求函数 y  的值域.

x  2

1  x 2

变式 2：求函数 y  的值域.

1  x 2

知识点二、函数图象的变换

【内容概述】

第 58 页共 92 页

 yf(xa)① y  f ( x)    y  f ( x)  b

 y  f ( x)  yf(x)② y  f ( x)    y   f ( x) 

| f ( x) |

③ y  f ( x)  

 f (| x |)

【典型例题】

例 6.画出函数 y  x 2  8 | x | 7 的草图.

变式：画出函数 f ( x)  x 2  6 | x | 7 的草图.

例 7.对于 m 不同的取值范围，讨论方程 x 2  4 | x | 5  m 的实根的个数.

变式 1：对于函数 f ( x)  x 2  7 | x | 10 与函数 f ( x)  m ，当两函数有 3 个交点时 m 的取值范围.

变式 2：对于 m 不同的取值范围，讨论方程| x 2  4 | x | 5 | m 的实根的个数.

第 59 页共 92 页

课下作业

1.函数 y  2x  4 1  x 的值域是

yx24x7,x0,3

2.二次函数的值域为 .

x  1

f ( x) 

2 x  1 的值域为____________. 3.函数

x 2  8x  15

y  2

x  x  6 的值域是________________________.

4.函数

2  x  f ( x)  3x m ，使得函数的定义域和值域都是[1, m](m  1) ？ 22 ，是否存在实数 5.已知函数

若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.

6.对于 m 不同的取值范围，讨论方程 x 2  2 | x | 3  m 的实根的个数.

第 10 讲

函数的解析式

1、掌握作函数图像的两种基本方法，学会用函数的图象解决相关问题

教学目标

2、掌握常见函数解析式的求法，并能够熟练的应用 3、了解映射的概念，并能掌握函数与映射的联系与区别

重点、难点考点及考试要求

函数解析式是求法

1、了解分段函数；

2、能求一些简单函数的解析式

教学内容

知识框架

1.函数的三种表示方法；

2.分段函数； 3.映射； 4.函数解析式的求法

知识点一、函数的三种表示方法

【典型例题】

第 60 页共 92 页

例 1.作出函数 y  x ( x [0,16]) 的图象.

例 2.已知函数 f ( x), g ( x) 分别由下表给出：

f ( x)

1 3 1

g ( x)

3 2 1

则 f ( g (1)) =__________，满足 f ( g ( x))  g ( f ( x)) 的 x 的值是_______________.

【概括】

1、函数的图象的作法：列表、描点、连线

2、函数的三种表示方法的优缺点比较

优点

解析法

缺点联系

解析法、图象法、列表法各有优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数

1、简明、全面地概括了变不够形象、直观、具体，而且并量间的关系. 不是所有的函数都能用解析式来 2、通过解析式可以求出表示

任意一个自变量所对应的

函数值

列

表法

不需要计算机就可以直接看出与自变量的值对应的函数值

只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系

图象法

能形象直观地表示出函数的变化情况

只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大

知识点二、分段函数

【内容概述】

第 61 页共 92 页

1.分段函数的定义

一般地，在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数.

2。分段函数的理解

（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；

1,2  x  0, y 

（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的，例如  x,0  x  3, ，其“段”是不

等长的.

（3）画分段函数的图形时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，用实心点表示；若端点不包括在内，则用空心点表示.

（4）写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏；

（5）处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值范围属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系；

（6）分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域时分别在每段上求出最大（小）值，然后取各段中的最大（小）值.

3.分段函数的图形

分段函数的图象由几个不同的部分组成，作分段函数的图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出.

【典型例题】

例 3.画出下列函数的图象:

2  2 | x | 1 ；（1） y  x

 x 2  2 x, x  0,

（2） y  .

2 x  2 x, x  0

变式 1：作出下列函数的图象并求出其值域.

 1

 ,0  x  1, ；（1） y   x

 x, x  1;

（2） y  x 2  2 x, x  [2,2] ； (3) y | x  1|

第 62 页共 92 页

 x  1, x  2 x 22x,2  x  2 ，变式 2：已知函数 f ( x)    2 x  1, x  2 

（1）求 f (5), f ( 3), f ( f ( )) 的值；

（2）若 f (a)  3 ，求实数 a 的值；

（3）若 f (m)  m ，求实数 m 的取值范围.

知识点三、映射

【内容概述】

1.对映射的理解

（1）映射 f : A  B ，其中 A，B 是两个非空集合，而函数 y  f ( x)( x  A) 为非空的实数集.

其值域也是实数组成的集合，由此看来，函数是数集到数集的映射.

(2)在映射中，集合 A 的“任一元素”在 B 中都有“唯一”的对应元素，不会出现“一对多”的情况.

(3)对 A 中不同的元素，在 B 中可以有相同的元素与其对应，因此这种对应关系可以是“一对一” 和“多对一”.允许 B 中的元素在 A 中没有元素与之对应.

(4)在映射中， f 具有方向性，从 A 到 B 的映射和从 B 到 A 的映射一般是不同的.

2.映射与函数的关系

①函数是特殊的映射，特殊性在于函数是从非空数集到非数集的映射；

②映射是在函数近代定义（集合与对应的观点定义的）基础上引申、拓展的；

③函数一定是映射，而映射不一定是函数.

【典型例题】

第 63 页共 92 页

例 4.设 M  {1,2,3}, N  {e, g , h} ，如下选项是从 M 到 N 的四种对应方式，其中是从 M 到 N 的映射

的是（

）

变式：已知 A  {a, b, c}, B  {1,0,1} ，映射 f : A  B 满足 f (a)  f (b)  f (c) ，求映射 f : A  B

的个数.

知识点四、求函数的解析式的方法

【内容概述】

由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围.

求函数解析式的常用方法有：代入法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法或消元法、分段函数求解析式等。

【典型例题—1】代入法：

例 5.已知 f ( x)  x 2  1 ，求 f (2 x  1) 的解析式.

变式：已知 f ( x)  2 x 2  3x  4 ，求 f (3x  2) 的解析式.

【典型例题—2】配凑法：

【配凑法】

第 64 页共 92 页

原函数的表达式为 f (t )  g ( x) ， t 是关于 x 的式子，要求 f ( x) 的解析式，这时要把 g ( x) 通过

变形、整理，使其变为只含有 t 与常数的式子，然后将 t 换成 x ，即可得到 f ( x) 的解析式，这种方

法叫做配凑法.

1 1

例 6.已知 f ( x  )  x 2  2，求 f ( x) 的解析式.

x x

变式：已知 f ( x  1)  x 2  3x  2 ，求 f ( x) ；

【典型例题—3】换元法：

【换元法】

解题时，把某个式子看做一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使问题简化，这种方法

叫做换元法.

例 7.已知函数 f ( x  1)  x  2 x ，求函数 f ( x) 的解析式.

1  x 1  x 2

)  变式：已知 f ( ，则 f ( x) 的解析式为_________________.

1  x 1  x 2

【典型例题—4】待定系数法：

【待定系数法】

第 65 页共 92 页

有些问题中，常用字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求确定这些系数，从而

使问题得以解决，这种方法叫做待定系数法.

例 8.如果 f ( f ( x))  2 x  1 ，那么一次函数 f ( x) =_________________.

变式 1：已知 f ( x) 是一次函数，且 f ( f ( x))  4 x  1 ，求 f ( x) .

变式 2：已知 f ( x) 是二次函数，且满足 f (0)  1, f ( x  1)  f ( x)  2 x ，求 f ( x) .

【典型例题—5】解方程组法或消元法：

【解方程组法或消元法】

在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两

个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一

个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.

例 9.已知 3 f ( x)  f ( )  x 2，求 f ( x) 的解析式.

变式：已知 f ( x)  2 f ( )  x( x  0) ，求 f ( x) .

例 10.设 f ( x) 是 R 上的函数，且满足 f (0)  1，并且对任意实数 x, y ，

第 66 页共 92 页

都有 f ( x  y)  f ( x)  y(2 x  y  1) ，求 f ( x) 的解析式.

【典型例题—6】分段函数求解析式：

 1

 , x  0 ，求f(x1).

例 11.已知函数 f ( x)   x

x 2, x  0

 x

ax  0 1f x 0  x  3 a  0且a  1 图像经过点 Q 8,6 .

变式：已知函数

2  a x  3

x-5

（1）求 a 的值，并在直线坐标系中画出函数 f x  的大致图像；

（2）设 q t   f t  1 f t t  R ，求函数 q t  的解析式.

课后作业

1.已知 f ( x  1)  x 2，则 f ( x) 的解析式为______________.

2.设集合 A  {a, b} , B  {0,1} ,则从 A 到 B 的映射共有________个.

1 1

，则 f ( x) 的解析式为_______________. 3.已知 f ( ) 

x x  1

第 67 页共 92 页

x 2  1, x  1  24.设函数 f ( x)  ，则 f ( f (3)) =_____________.

, x  1

 x

1 3

2 f ( x)  f ( )  2，则f(x)的最小值是__________.5.已知函数 f ( x) 满足 x x

6. 当 x [1, t ] 时，函数 f ( x) | x  2 |  | 5  x | 的值域为 [3,9] ，则实数 t 的取值范围是

________________.

第 11 讲

函数的表示方法及值域综合复习

掌握函数的表示方法、三要素；

教学目标

掌握分段函数及表示，掌握值域的求法。

函数解析式的求法，

重点、难点

掌握函数值域的求解方法

函数的表示方法，三要素，分段函数，函数的值域是函数的基础，在高中

考点及考试要求

数学中占有重要的位置。考试中重点考察。

教学内容

题型一：三要素

函数的三要素（定义域，值域，对应法则）是判断两个函数是否为同一函数的重要依据

【典型例题】

例 1. 判断下列函数是否为同一函数。

（1） f ( x) 

x 2 ， g ( x)  3 x 3 ；

1 g(x)x  0, | x | ，（2） f ( x)  

x  1 x  0;

第 68 页共 92 页

（3） f ( x)  2 n 1 x 2 n 1 ， g ( x)  （ 2 n 1 x ）2n－1（n∈N*）；（4） f ( x)  x2  2 x  1 ， g (t )  t 2  2t  1 。

题型二：求函数的解析式

求解函数的解析的方法：换元法，配凑法，待定系数法，解方程组法等

【典型例题】

1 x

，求 f ( x) 的解析式. 例 2.（1）已 f ( ) 

x 1  x

1 1

（2）已知 f ( x  )  x3  3，求 f ( x) ；

x x

（3）已知 f ( x) 是一次函数，且满足3f (x1)2f (x1) 2x17，求 f ( x) ；

（4）已知 f ( x) 满足 2 f ( x)  f ( )  3x ，求 f ( x) 。

题型三：求函数的定义域

函数的定义域是指使得函数有意义的自变量的取值范围。

【典型例题】

例 3．（1）已知 f x  

x ，则 f x  2 的定义域是。

。

（2）已知函数 y  f x 的定义域为 2,4 ，则 f x  2 的定义域是

第 69 页共 92 页

（3） f ( x) 

2 x  x2

 (2  3x)0 的定义域是。

2 x  1

（4）已知函数 f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：

(1) f ( x2 )  23 ；

f ( x)

(2) y  。

2x 1

例 4. 已知函数 f ( x) 

3 3x  1

ax 2  ax  3

的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（）

A． a 

B． 12  a  0 C． 12  a  0

D． a 

题型四：函数的值域

【典型例题—1】观察法：

（用非负数的性质，如： x2  0 ； x  0 ； x  0( x  0) 等）

例 5. 求下列函数的值域： y  3x2  2

变式: 求下列函数值域：

（1） y  3x  2 x [1,2]

（2） y  1  x2

x {2, 1,0,1,2}

（3） y  3  1

1, x  0 0,

（4） y   x  0

 1, x  0

第 70 页共 92 页

【典型例题—2】配方法：

常可转化为二次函数型 F ( x)  a f 2( x)  bf ( x)  c ，配成完全平方式，根据变量的取值范围，

然后利用二次函数的特征来求最值；

例 6．已知函数 y  x2  2 x  3 ，分别求它在下列区间上的值域。

（1） x  R ；

（2） x  [0, ) ；（3） x  [2, 2] ；（4） x [1,2] ．

变式：已知函数 y  3x2  12 x  13 ，求它在下列各区间上的值域：

（1） [1,1]；

（2） [1,4] ；（3） (1,3]．

例 7. 求函数 y  2   x 2  4 x ( x  0, 4) 的值域。

变式 1：求函数 y  的值域.

2 x2  4 x  3

变式 2：当 x  (0,2] 时，函数 f ( x)  ax 2  4(a  1) x  3 在 x  2 时取得最大值，则 a 的取值范围

是

变式 3：（1）求 y  x 2  2ax  3, x  [2, 4] 最小值。（-----动轴定区间）

第 71 页共 92 页

（2）求 y  x 2  2 x  3, x  [t, t  2] 的最小值（-----定轴动区间）

【典型例题—3】换元法：

（代数换元法），通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。

例 8. 求函数 y  2 x  3  13  4 x 的值域。

变式：求函数 y  2 x  4 1  x 的值域.

【典型例题—4】分离常数法：

（部分分式法），对分子 . 分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成

y  k  f ( x) ( k为常数)的形式来求值域．

x 2  x

例 9. 求函数 y  的值域。

x 2  x  1

5x4

变式：求函数 y  的值域。

x  1

第 72 页共 92 页

cxdc

说明：形如 y  (c  0, bc  ad ) 的值域为{ y | y  } ．

ax  b a

【典型例题—5】逆求法（反表示法）：

通过反解，用 y 来表示 x ，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取值范围；常

ax  b

用来解，型如： y  , x  (m, n)

cx  d 2 x

例 10. 求函数 y  的值域。

x  1

1  x 2

变式：函数 y=

1  x 2

的值域是（）

A.［－1，1］

B.（－1，1］ C.［－1，1） D.（－1，1）

题型五：分段函数

分段函数主要考的是求值与解不等式

 x ( x  0)

，则 f [ f (2)] = 例题 11. 已知函数 f ( x )  

 x 2 ( x  0)

 x 2  1, 0  x  2

 3x1,2x4,则f1f5变式 1：已知函数 f  x    

11, x  4 

 x  2 ( x  1)  x 2(1x2)，若f(a)3,则a=变式 2：已知函数 f ( x)  

 2 x ( x  2) 

。

课后作业

x  3, x  20



, 则f 18  1. 若 f x  

f  f x  5 , x  20    

2．给出五组函数：

(x3)(x5)

① y  ， y  x  5 ； ② y  x  1 x  1 ， y  ( x  1)(x  1) ；

2 1 1 2 x  3

③ f ( x)  x ， g ( x) 

x 2 ；

④ f ( x)  x ， F ( x)  3 x 3 ；

⑤ f ( x)  ( 2 x  5) 2 ， f ( x)  2 x  5 。

第 73 页共 92 页

各组中的两个函数是同一函数的有_________(写出序号即可)

3．求下列值域：（1） y 

3x  2 3

；（2） y   ；

x  2 x

（3） y  ；（4） y   x2  4x  3 ；

x2  2 x  2

4．已知 f (  1)  2x ，求 f ( x) ；

5．设 x ,x 为方程 4x2－4mx  m  2  0 的两个实根，当 m  _____时， x 2  x 2 有最小值_______。

6 ．已知函数  (x)  f (x)  g(x) ，其中 f ( x) 是 x 的正比例函数， g ( x) 是 x 的反比例函数，

( )  16, (1)  8 ．

（1）求(x) 的解析式，并指出定义域；

（2）求(x) 的值域

第 74 页共 92 页

第 12 讲

函数的单调性（1）

掌握函数单调性的定义以及函数的单调区间求法,

教学目标

理解函数单调性的应用.

重点:函数单调性的定义与运用.

重点、难点

难点:函数单调性的一应用.

考点及考试要求

函数的单调性是解决其他问题的一基本工具,在考试中重点考察.

教学内容

知识框架

1、函数单调性的定义判断及证明

2、求函数的单调区间 3、应用单调性比较大小

知识点一：函数的单调性的定义

【内容概述】

1.增减函数的定义：对于给定区间上的函数 f ( x ) ；

① 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x ，x ，当 x  x 时，都有 f (x )  f (x ) ，那么

就说 f ( x) 在这个区间上是增函数；

2 1 2 1 2

② 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x ，x ，当 x  x 时，都有 f (x )  f (x ) ，那么

就说 f ( x) 在这个区间上是减函数。

2 1 2 1 2

2．用定义证明函数的单调性的步骤：

① 在相应区间内任取自变量 x  x ；

② 比较 f ( x ) 与 f ( x ) 的大小：作差(作商)——变形——判断符号(与 1 的大小)；

③ 根据定义下结论，注明区间。

说明：在这里要掌握一些变形的技巧，如分解因式，配方，分子(分母)有理化，均值不等式放缩等。

第 75 页共 92 页

【典型例题—1】具体函数的单调性的判断与证明：

例 1.求证函数 y  x3  x 在 R 上是增函数。

变式 1：求证：函数 f ( x)   x 在定义域上是减函数.

x  2

变式 2：判断函数 f ( x)  在 (,0) 上的单调性并加以证明.

x  1

例 2. 指出 f ( x)  2 x 2  4 x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。

变式：求 f ( x)  x2  x  12 的单调区间

【典型例题—2】含参数函数的单调性判断与证明：

例 3.求证函数 f ( x)  x  (a  0) 在 (0, a ) 上是减函数，在 ( a , ) 上是增函数。

变式：讨论 f ( x)  (1  x  1,a  0) 的单调性

x 2  1

知识点二、求函数的单调区间

【内容概述】

第 76 页共 92 页

1．函数的单调区间：

如果函数 y  f (x) 在某个区间上是增函数(或减函数)，就说 f ( x) 在这一区间上具有(严格的)

单调性，这一区间叫做 f ( x) 的单调区间。 2.复合函数单调性：

复合函数 f [ g ( x)] 的单调性与构成它的函数 u  g ( x) ，y  f (u) 的单调性密切相关，其规律如

下表：

函数 y  f (u) u  g ( x) y  f [ g ( x)]

单调性

增增减减增减增减增减减增

说明：

（1）① 函数的单调性是函数的局部性质，是相对于区间而言的。

② 函数的定义域不一定是函数的单调区间，但函数的单调区间必是定义域的子区间。

（2）复合函数 y  f [ g ( x)] 的单调规律是“同则增，异则减”，

即： f (u) 与 g ( x) 若具有相同的单调性则 f [ g ( x)] 必为增函数；若具有不同的单调性则

f [ g ( x)] 必为减函数。

讨论复合函数单调性的步骤：

① 求出复合函数的定义域；

② 把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；

③ 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；

④ 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。

（3）当一个函数的增区间（或减区间）有多个时，不能并起来，只能用逗号隔开。

【典型例题—1】求简单函数的单调区间

例 4.函数 y  的单调减区间是

1  x

。函数 y  的单调区间是

1  x

。

变式：函数 f ( x)  x | x  2 | 的单调增区间为

。函数 y | x2  2 x  3 | 的减区间为

【典型例题—2】求复合函数的单调区间

例 5. 函数 y   x2  2x  3 的递减区间是变式： y  x2  2x 的递增区间是

。

例 6. 函数 f ( x) 的增区间是 (4,7) ，则 y  f ( x  3) 的递增区间是（

）

第 77 页共 92 页

A、 (2,3)

B、 (1,10) C、 (1,7) D、 (4,10)

区间是

。

变式（选做）：函数 f ( x) 的增区间是 (2,6) ，则 y  f (2  x) 的递

知识点三、应用函数的单调性比较大小

【内容概述】

1、若函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数， a, b  D ，且 f (a)  f (b) ，则 a  b ；

2、若函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数， a, b  D ，且 f (a)  f (b) ，则 a  b ；

3、若函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数， a, b  D ，且 f (a)  f (b) ，则 a  b ；

4、若函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数， a, b  D ，且 f (a)  f (b) ，则 a  b 。

【典型例题】比较大小

例 7．已知函数 f ( x)  x2  bx  c ,对于任意实数 t 都有 f (2  t )  f (2  t ) ,比较 f (1), f (2), f (4)

的大小。

 与 f (2，变式 : 已知函数 f x 在区间 0  上是减函数，那么 f a  a  1 ) 的大小关系

为。

例 8．已知函数 f ( x) 在 R 上是增函数，若 a  b  0 ，则（）

A． f (a)  f (b)  f (a)  f (b) B． f (a)  f (b)  f (a)  f (b) C． f (a)  f (a)  f (b)  f (b) D． f (a)  f (a)  f (b)  f (b)

变式: 设 (a, b),( c, d ) 都是函数 f ( x) 的单调增区间，且 x  (a, b), x  (c, d ), x  x ，则 f ( x ) 与

f ( x ) 的大小关系是（

）

B、 f ( x )  f ( x )

A、 f ( x )  f ( x )

C、 f ( x )  f ( x )

D、不能确定

课后作业

1、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（

）

A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1

C．y=

D．y=2x2＋x＋1

2．函数 f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则 y=f(x＋5)的递增区间是

A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)

（）

第 78 页共 92 页

3．已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间 (,5) 上单调递减，对任意实数 t，都有 f (5  t )  f (5  t ) ，

那么下列式子一定成立的是（）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1) C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

4. 讨论函数 f ( x)  1  x2 在区间 [1,1]上的单调性，并证明你的结论

第 13 讲

函数的单调性（2）

掌握函数单调性的定义以及函数的单调区间求法

教学目标

理解函数单调性的应用.

重点:函数单调性的定义与运用.

重点、难点

难点:函数单调性的一应用.

考点及考试要求

函数的单调性是解决其他问题的一基本工具,在考试中重点考察.

教学内容

知识框架

1．应用函数单调性求函数的值域

2、已知函数单调性求参数的取值范围

3、应用函数单调性解不等式

知识点一：应用函数单调性求函数的值域

连续函数 f ( x) 在闭区间 D 上单调，则函数 f ( x) 在区间的端点处取得最值，可直接写出函

数在相应区间的值域。开区间上可作相应的处理。

【典型例题】

例 1.已知 x [0,1] ，则函数 y  2 x  2  1  x 的最大值为_______，最小值为_______。

第 79 页共 92 页

变式 1：函数 y  x  2  6  x 的值域为。

变式 2：函数 y  x  2 1  x  2 的值域为

。

知识点二：已知函数单调性求参数的取值范围

根据函数在相应的区间上的单调性，可以列出相关的不等式，解出不等式即可。

【典型例题】

例 2.（1）已知函数 f x   x2  2 a 1x  2 在区间 (, 4] 上是减函数，则实数 a 的取值范围

是

（2）已知函数 f x   x2  2 a 1x  2 的递减区间是 (, 4] ，则实数 a 的取值集合是

1 2

变式 1：已知 f ( x)  ax  2 x(a  0) ，在 [2,4] 上是单调函数，求 a 的范围．

1 2

变式 2：已知 f ( x)  ax  2 x(a  0) ，在 [2,4] 上不是单调函数，求 a 的范围．

变式 3：如果函数 f ( x)  x 2  (a  1) x  5 在区间 ( ,1) 上是增函数，那么 f (2) 的取值范围是

。

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变式 4：已知函数 f x   2x2  mx  3 ，当 x  2,  时是增函数，当 x  , 2 时是减函数，

则 f 1 等于

。

ax  1

在区间（ 2，例 3. 函数 f ( x)   ）上是增函数，那么 a 的取值范围是。

x  2

变式：若函数 f ( x)   x 2  2ax 与 g ( x)  在区间[1,2] 上都是减函数，则 a 的取值范

x  1

围是

。

知识点三：应用函数单调性解不等式

已知函数的单调性求参数的范围的实质与已知函数的单调性比较大小一致。

【典型例题】

x 2  4 x  6, x  0

例 4. 设函数 f ( x)   ，则不等式 f ( x)  f (1) 的解集是

x  6, x  0

。

 x2  4 x x  0

变式：已知函数 f ( x)   ，若 f (2  a 2 )  f (a) ，则实数 a 的取值范围是

2x  0 4 x  x

。

例 5.设 f ( x) 是 R 上的单调递减函数,且 f (m2 )  f (m) ,则实数 m 的取值范围为 (

)

A． (0, )

B． (, 1) C． (, 1) (0, ) D． (1,0)

变式 1：已知 f ( x) 是定义在 [1,1]上的增函数，且 f ( x－1)  f ( x 2－1) ，求 x 的取值范围。

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变式 2：已知 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且 f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数 m 的取值范

围．

例 6.设 f ( x) 是定义在 (0, ) 上的增函数， f (2)  1 ，且 f ( xy)  f ( x)  f ( y) ，求满足不等式

f ( x)  f ( x  3)  2 的 x 的取值范围.

变式：函数 f ( x) 对任意的 a, b  R ,都有 f (a  b)  f (a)  f (b) 1 ,并且当 x  0 时， f ( x)  1 .

（1）求证： f ( x) 是 R 上的增函数；

（2）若 f (4)  5 ,解不等式 f (3m2  m  2)  3 .

课后作业

1、函数 f ( x) 

 x  2 在区间 [3, ) 上的最大值是。

x  2

。

2、若函数 y  (m  1) x 2  mx  3( x  R) 的图象关于 y 轴对称，则它的单调递增区间为

3、已知函数 y  2 x 2  4(a  3) x  3 在区间（-  ，-3）上是减函数，在 (3,) 上是增函数则 a 

_________。

4 、定义在 R 上的函数满足：当 x  0 时， f ( x)  1, f (0)  0 ，对于任意实数 x, y , 都有

f ( x  y)  f ( x)  f ( y) 。

（1）当 x  0 时，求证 0  f ( x)  1 ；

（2）求证： f ( x) 是 R 上的减函数；

（3）解不等式： f ( x  4)  fx2  2 x 1





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第 14 讲

函数的奇偶性

掌握函数的奇偶性的定义，学会判断具体函数的奇偶性；

教学目标

掌握奇偶性在函数图像对称方面的应用

判断函数的奇偶性先判断函数的定义域是否对称；

重点、难点

奇偶性在图像对称方面的应用

考点及考试要求

函数奇偶性是判断图像对称的一重要依据，在函数性质中处于重要地位。

教学内容

【内容概述】

1. 函数奇偶性的定义

（1）如果对于函数 f ( x) 定义域内任意一个 x ，都有 f ( x)  f ( x) ，则函数 f ( x) 就叫做偶函数；

（2）如果对于函数 f ( x) 定义域内任意一个 x，都有 f (x)   f (x) ，则函数 f ( x) 就叫做奇函数；

（3）如果函数 f ( x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x) 具有奇偶性。

2. 具有奇偶性的函数图象特点

一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函

数是奇函数；偶函数的图象关于 y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个

函数是偶函数。

【典型例题—1】概念应用

例 1.已知函数 f ( x)  ax 2  bx  3a  b 为偶函数，其定义域为[2a,1  a] ,则函数的值域为

。

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变式：已知函数 f ( x) 为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f ( x)  0 的所有实根之和

为

。

【典型例题—2】判断奇偶性

例 2. 下列函数是否具有奇偶性.

(1) f ( x)  3x3  5x

(2) f ( x)  3x 2  | x | 1

(3) f ( x)  2  x2  x2  2 ;

(4) f ( x) 

| x  2 | 2

1  x2

 x2  2 x  3 x  0

(5) f ( x)  

 x2  2 x  3 x  0

（6） f ( x)  ( x 1)

1  x 1  x

例 3．已知函数 y  f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是

① y  f | x | ;② y  f  x  ;③ y  x· f x ;④ y  f x  x .

【典型例题—3】利用奇偶性求值

例 4. 若函数 f ( x)  ax3  bx  7 ,有 f (5)  3 ,则 f (5) 

。

变式 1： f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的奇函数，且 F x   3 f x  5g x  2 ,若 F (a)  b ,则

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F (a) 

。

变式 2：（2011 年高考福建理）对于函数 f ( x)  ax3  bx  c a, b  R, c  Z ,选取 a, b, c 的一组值

计算 f (1)和 f (1) ,所得出的正确结果一定不可能是（．．．．．

）

D.1 和 2

A.4 和 6

B.3 和 1 C.2 和 4

例 5.（2010 年高考山东）设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x  0 时， f ( x)  2 x  2 x  b ( b 为

常数)，则 f (1) 

。

变式：设 f ( x) ( x  R )是奇函数， f ( x  2)  f ( x)  f (2) ，且 f (1)  ，则 f (5) = 。

【典型例题—4】求函数解析式

例 6. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，当 x  0 时, f ( x)  x2  2 x ,则 x  0 时 f ( x) 的解析式

为

。

变式 1：已知函数 f ( x) 是奇函数，且当 x  0 时， f ( x)  x3  2 x 2  1 ，求 f ( x) 在 R 上的表达式。

x  a

变式 2：若函数 f ( x)  在 [1,1]上是奇函数,试确定 f ( x) 的解析式

x 2  bx  1

例 7. 设函数 f ( x) 是偶函数， g ( x) 是奇函数，且 f ( x)  g ( x)  ,求 f ( x), g ( x)

x  3

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变式： f ( x) 和 g ( x) 的定义域都是非零实数， f ( x) ， g ( x) 分别是偶函数与奇函数，且

f(x)2f ( x)  g ( x)  x  x  1 ，求的取值范围。 g ( x)

【典型例题—5】函数的奇偶性与单调性综合应用

例 8. 奇函数 f ( x) 在定义域 (1,1)上是减函数，且 f (a)  f (a 2 )  0 ,求实数 a 的取值范围。

变式 1：设定义在[2,2] 上的偶函数 f ( x) 在区间[0,2] 上单调递减，若 f (1 m)  f (m) ，求实数 m

的取值范围．

ax  b 1 2

变式 2：设函数 f ( x)  是定义在 (1,1)上的奇函数，且 f ( )  ，

1  x2 2 5

（1）确定函数 f ( x) 的解析式；

（2）用定义证明 f ( x) 在 (1,1)上是增函数；

（3）解不等式 f (t  1)  f (t )  0 。

【典型例题—6】抽象函数的奇偶性

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例 9. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x  y)  f ( x  y)  2 f ( x) f ( y) ，且 f (0)  0 ，试证 f ( x) 是偶函数．

变式: 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y ，恒有 f ( x)  f ( y)  f ( x  y) ，且当 x  0 时，

f ( x)  0 ，又 f (1)  2 ．

（1）求证： f ( x ) 为奇函数；

（2）求证： f ( x ) 在 R 上是减函数；

（3）求 f ( x ) 在 [3,6] 上的最大值与最小值．

课后作业

1. 若奇函数 f ( x) 在区间 [3 , 5] 上是增函数，且最大值是 6，那么 f ( x) 在区间[5 ,  3] 上是（

）

（A）增函数，最小值为  6

（B）增函数，最大值为  6 （D）减函数，最大值为 6

．

（C）减函数，最小值为  6

2. 已知函数 f ( x)  ax 7  6 x5  cx3  dx  8 ，且 f (5)  15 ，则 f (5) 

3. 函数 f ( x) 在 R 上为奇函数，且 x  0 时， f ( x) 

x  1 ，则当 x  0 ， f ( x) 

4. 若 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数， f ( x) 是奇函数， g ( x) 是偶函数，且

f ( x)  g ( x) 

x2  x  1

，求 f ( x) 的表达式．

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第 15 讲

数学必修一第一章

)

测试卷

一．选择题 (每小题 3 分，共 30 分)



1．若 A  x | 0  x 2 , B  x |1  x  2，则 A  B  (Ax | x  0Bx | x  2C0  x  2

D x | 0  x  2

2．下列四组函数，表示同一函数的是（

）

（A）f (x)＝ x 2 , g(x)＝x

x 2

（B） f (x)＝x, g(x)＝

（C）f (x)＝ x 2  4 , g(x)＝ x  2 x  2

x  1

x1

（D）f (x)＝|x＋1|, g(x)＝  x  1 x  1

3．如果集合 A={ x | ax 2 ＋ 2 x ＋ 1=0} 中只有一个元素，则 a 的值是（

）

A．0

B．0 或 1 C．1 D．不能确定

4．在映射 f : A  B中， A  B  {( x, y) | x, y  R} ，且 f : ( x, y)  ( x  y, x  y) ，则与 A 中的元

素 (1,2) 对应的 B 中的元素为（

）

（C） (1,3)

（D） (3,1)

）

（A） (3,1)

（B） (1,3)

5. 如果奇函数 f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在区间 [-7,-3] 上是（

（A）增函数且最大值为－5

（B）增函数且最小值为－5 （D）减函数且最大值为－5

)

（C）减函数且最小值为－5

6．如图，阴影部分表示的集合是 (

（A）B∩[CU (A∪C)]

（B）(A∪B)∪(B∪C) （D）[CU (A∩C)]∪B

（C）(A∪C)∩( CUB)

7．函数 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x  0 时， f (x)  x 1，则当 x  0 时， f ( x) 的表达式为

（）

A．  x  1

B．  x  1 C． x  1 D． x  1

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．函数 y= 1  x 2  9

81  x

是( )

A．奇函数

B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶数

9．下列各图中，可表示函数 y= f (x)的图象的只可能是 (

)

10.设函数 f ( x)( x  R) 为奇函数， f (1)  1

2 , f ( x  2)  f ( x)  f (2), 则 f (5)  （

）

A．0 B．1

C．

5 2D．5

二．填空题（每题 4 分，共 16 分）

11．设集合 A={ x  3  x  2 },B={x 2k  1  x  2k  1},且 A  B，则实数 k 的取值范围是

12．已知 f ( x)  x5  ax3  bx  8 ,若 f (2)  10 ,则 f (2)  ________________

13．函数 f ( x)  x 2  2(a  1)x  2 在 (, 4] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是______

14．若函数 f ( x) 的定义域为[-3， f ( x) 的定义域为。

1] ，则函数 g ( x)  f ( x) 三．解答题（共 54 分）

15．(本题满分 8 分) 已知集合 A  {x | a  x  a  3}, B  {x | x  1或x  5}．

(1) 若 A B＝ ，求 a 的取值范围； (2) 若 A B  B ，求 a 的取值范围．

16．（本题满分 8 分）已知 f ( x)  

 3 x3  2 x  2 ( x  1) ,求ff0的值. x3  x3  



( x  1)

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17．（本题满分 8 分）已知函数 f ( x) 

px 2  2 5

是奇函数，且 f (2)   .

q  3x 3

（1）求函数 f ( x) 的解析式；（2）判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性，并加以证明.

18．（本题满分 10 分）定义在 R 上的函数 f ( x) ，对任意的 x, y  R ，有

f ( x  y)  f ( x  y)  2 f ( x) f ( y) ，且 f (0)  0 。

(1) 求证： f (0)  1 ；

（2）求证： f ( x) 是偶函数。

x

19．（题满分 10 分）若 f ( x) 是定义在 0, 上的增函数，且 f    f x  f  y  本

 y 

(1) 求 f 1 的值；  1  2(2) 若 f 6  1，解不等式 f x  3 f  

 x 

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20．）已知 ≤ a ≤1，若函数 f x   ax2  2x  1 在区间[1， 3]上的最大值为 M a  ，本题满分 10 分（

最小值为 N a  ，令 g a   M a  N a ．

（1）求 g a 的函数表达式；

（2）判断函数 g a 在区间 [ ,1] 上的单调性，并求出 g a 的最小值 .

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