班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设集合，
，则
=（ ） A．
B．
C．
2.已知命题：
，
，则
是（ ）
A． B． C．
D．
3.已知等比数列的公比为2，则
=（ ）
A．
B．
C．
4. 在中，
为
的中点，设
，则
（ ） A．
B．
C．
5.已知函数，则函数
的增区间为（ ）
A． B． C． D．
6.“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7.已知
的值如表所示，若呈线性相关，且回归直线方程为
，则
（ 2 3 4 5 4 6 A． B． C．
D．
8.在中，
，则边
的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．
D．
D．
）
D．7
9.动点A．
满足，点B．
为，为原点，
C．
，则的最大值是（ ）
D．
10.过抛物线（ ） A．
的焦点
作直线交抛物线于
，若线段
与
的长度分别为
，则
的最小值为
B．
C．
D．
11.已知函数
的定义域内任意的自变量都有（其中
关系为（ ）
A．
B．
是函数
的导函数），设
，且对任意的
，则
，都有
的大小
C．
D．
二、填空题
1.若抛物线
的准线经过双曲线
的一个焦点，则
．
2.曲线在点处的切线方程为 ．
3.某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如右表，则大约有 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：
非统计专业 统计专业 男 15 10 女 5 20 4.已知函数概率为 ．
，若，是从集合
中任取两个不同的数，则使函数
有极值点的
0．025 0．010 0．005 0．001 5．024 6．635 7．879 10．828
三、解答题
1.已知等差数列（1）求数列（2）记
的前项和为的通项公式； ，
，且．
的前项和为，求 ．
，且直线：
与圆
2.已知圆经过点相交于
（1）求圆的方程． （2）若的周长为18，求的值． 3.在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小； （2）求函数
的值域．
．
4.某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是
，外语考核合格的概率是
，若每一次考试
是否合格互不影响。
（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率。
5.已知椭圆
过点
，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
6.已知函数（1）求函数（2）若存在
，的极大值；
满足
恒有两个交点，且？若存在，
，求实数的取值范围．
重庆高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.设集合A．
，
，则
=（ ） C．
B．
D．
【答案】D 【解析】因为，【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．
2.已知命题：，，则是（ ） A．C．
，所以
；故选D．
B．D．
【答案】D
【解析】命题：，【考点】全称命题的否定．
的否定是“
”；故选D．
3.已知等比数列A．
的公比为2，则
B．
=（ ）
C．
D．
【答案】C
【解析】由等比数列的通项公式，得【考点】等比数列． 4. 在中，为A．
；故选C．
的中点，设
B．
，则
（ ） C．
D．
【答案】A
【解析】由平面向量加法的平行四边形法则，得【考点】平面向量加法的平行四边形法则．
5.已知函数，则函数A．B．C．D．
；故选A．
的增区间为（ ）
【答案】C 【解析】因为令
的定义域为
，且
，所以，得
或
，即函数
；
的增区间
为；故选C．
【考点】导数与函数的单调性．
【易错点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，属于基础题；在利用导数求函数的单调区间时，通过导函数的符号确定函数的单调区间，其易错点有三处：一是忽视函数的定义域的限制（如：本题中，
的定义域为），二是将单调区间错误写出集合或不等式的形式，三是两个单调区间
之间加并集符号． 6.“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】因为条件；故选B．
【考点】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定． 7.已知
的值如表所示，若2 3 4 ，所以“
”是“
”的充分不必要
呈线性相关，且回归直线方程为，则
（ ）
A．
5 4 6 C．
D．
B．
【答案】B
【解析】由表格，得【考点】线性回归直线． 8.在A．
中，
，则边
B．3
的长为（ ）
C．
，且该回归直线过样本中心点
，所以
，解得
；故选B．
D．7
【答案】A
【解析】由三角形的面积公式，得
，解得
，即
【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理． 9.动点A．
满足
，点B．
为
，
为原点，
C．
，则的最大值是（ ） ；由余弦定理，得
；故选A．
D．
【答案】D 【解析】由
（如图所示），当直线大；由图象，得当直线
过点，得
，将
化为
，作出可行域和目标函数基准直线在轴上的截距
；故选
减小，即增
向右下方平移时，直线
时，取到最大值
D．
【考点】1．平面向量的数量积；2．简单的线性规划．
10.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若线段（ ） A．
与的长度分别为，则的最小值为
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设过焦点的直线方程为
，且与抛物线相交于
，
，联立
，得
，即，且
（当且仅当
，，则
时取等号）；故选C．
【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．基本不等式．
【易错点睛】本题考查过抛物线焦点的弦、焦半径公式以及基本不等式的应用，属于难题；在求抛物线的点到焦点的距离时，要注意抛物线的标准方程的形式，以免出现错误；如：是抛物线上的点，则
；
上的点，则
11.已知函数
的定义域内任意的自变量都有（其中
关系为（ ）
A．
B．
是函数
的导函数），设
，且对任意的
，则
，都有
的大小
是抛物线；
是抛物线
上的点，则
上的点，则
；
是抛物线．
C．
D．
【答案】A 【解析】因为函数直线
对称，对任意的
，即
的定义域内任意的自变量都有
，都有，即
在
成立，即上单调递增，则在
，所以函数
的图象关于成立，即
单调递减，且
；因为，所以，即，即
，即；故选A．
【考点】1．函数的对称性；2．导数与函数的单调性．
【易错点睛】本题考查函数的对称性、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较大小，属于难题；本题的易错点是在由函数则函数
满足
的一个周期为
．
判定函数，则函数
的图象关于直线的图象关于直线
对称时出现错误，要区分下列结论：若对称；若函数
满足
，
二、填空题
1.若抛物线【答案】
的准线
．
经过双曲线
的一个焦点
，，所以
，
的准线经过双曲线
的一个焦点，则
．
【解析】因为抛物线即
；故填
【考点】1．抛物线的准线；2．双曲线的焦点．
2.曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为
，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为
，即；故填．
【考点】导数的几何意义．
3.某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如右表，则大约有 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：
非统计专业 统计专业 男 15 10 女 5 20 【答案】
，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专
0．025 0．010 0．005 0．001 5．024 6．635 7．879 10．828 【解析】由列联表，可得：
业与性别有关系；故填． 【考点】独立性检验的应用．
【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善比较
列联表；第二步，根据公式
，计算
的值；第三步，利用临界值表，
与临界值的大小关系，作出统计判断．
，若，是从集合
中任取两个不同的数，则使函数
有极值点的
4.已知函数概率为 ． 【答案】 【解析】因为
，所以
有两个不等实根，所以
；若函数，即
的有；故填．
有极值点，则；从集合
中任取两个不同
的数，共有公式，得使函数
个实数对，其中满足共4个实数对；由古典概型的概率
有极值点的概率为
【考点】1．导数与函数的极值；2．古典概型．
【易错点睛】本题以古典概型为载体考查函数的极值，属于中档题；在处理函数的极值问题时，要注意“可导函数
是函数在处有极值的充分条件，不是充要条件”，如：本题中，若函数
有极值点，则
有实根”．
有两个不等实根，而不是“
三、解答题
1.已知等差数列（1）求数列
的前项和为的通项公式；
，且
．
（2）记【答案】（1）
，的前项和为；（2）的首项为
，求．
．
【解析】（1）先设求解；（2）先求出则
（2）易知：
，公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式得到关于
的首项为，得
，公差为，
的方程组进行
，再利用等比数列的求和公式进行求解．
试题解析：（1）根据已知条件，先设
，则有
【考点】1．等差数列；2．等比数列．
2.已知圆经过点相交于
（1）求圆的方程． （2）若的周长为18，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将三点坐标代入圆的一般方程，得到关于的周长得到弦
的长度，再利用
，且直线：与圆
的方程组进行求解；（2）先由等腰三角形
和圆心到直线的距离进行求解．
试题解析：（1）解：由题意得：则圆方程为弦则
的长度为8，则或
．
，
，
【考点】1．圆的一般方程；2．圆的弦长公式． 3.在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小； （2）求函数【答案】（1）
；（2）
．
的值域．
．
【解析】（1）先由正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式进行求解；（2）先利用
进行消元，再利用两角差的正弦公式、配角公式进行恒等变形，再利用三角函数的单调性进行求解．
试题解析：（1）即：因为因为则因为即函数
，所以
， 的值域是
．
，所以，所以
，则，
，
【考点】1．正弦定理；2．三角恒等变形；3．三角函数的性质．
【易错点睛】本题考查正弦定理的应用、三角恒等变形以及三角函数的图象与性质，属于中档题；本题易在三角恒等变形后，利用角
的范围，求函数
的值域时出现错误，部分同学误任务“在端点和的图象和单调性进行求解（在
处的函数
值就是值域的端点值，不能正确结合时取得最大值）．
4.某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核。每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入
下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试
是否合格互不影响。
（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．
（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率。 【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式进行求解；（2）利用独立事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式进行求解． 试题解析：（1）正面： ①两个项目都不补考能通过概率：②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：③两个项目都要补考才能通过的概率：（或）反面：被淘汰的概率：（2）恰好补考一次记为
，则
，，
【考点】1．独立事件同时发生的概率；2．互斥事件有一个发生的概率．
5.已知椭圆
过点
，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）
；（2）
．
恒有两个交点，且？若存在，
【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质和点在椭圆上得到关于的方程组进行求解；（2）设出圆的方程和直线的方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系以及数量积为0和圆心到直线的距离等于半径进行求解． 试题解析：（1）由题意得：椭圆
的方程为
…5分
，由
得:
，
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：当直线，令，∵∴因为直线当直线
与圆相切， ∴
的斜率不存在时，也适合，∴
，∴
，所以存在圆
． 满足题意．
．
的斜率存在时，设直线方程为
，则有：
．
综上所述，存在圆心在原点的圆
【考点】1．椭圆的标准方程；2．圆的标准方程；3．直线与圆的位置关系；4．直线与椭圆的位置关系．
【易错点睛】本题考查圆的标准方程、椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系，属于中档题；在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步要根据题意设出直线的方程，而易忽视“直线斜率不存在”的情形导致错误，如本题中，当直线
6.已知函数
，
的斜率不存在时，也适合
．
（1）求函数（2）若存在的极大值；
满足
，求实数的取值范围． ．
上的最大值为
，最
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）求导，利用导函数的符号变换进行求解；（2）将问题转化为“若在小值为，则”，求导，讨论与1的大小关系研究函数的单调性和最值． 试题解析：（Ⅰ）当当所以（Ⅱ）因为设①当②当③当递增 ，所以调递减，故
在时，时，时，在
且，而
上的最大值为
，，
，
时，时，
，所以，所以
所以，最小值为在在
，则
，所以
即
，即，得，，由（Ⅰ）知
，
在区间在区间
上为减函数， 上为增函数，
上单调递减，由上单调递增，所以，，即
在
，得 ，
在在．
上单调递减，在且
上单调
上单
，所以无解，综上所述，
【考点】利用导数研究函数的单调性、极值、最值．
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