近似模型方法在复杂结构优化设计问题中的应用 姜 超 邵志良 （上海汽车集团股份有限公司技术中心，上海２０１８０４） 【摘要】 介绍近似模型方法应用于复杂结构优化设计问题时的基本流程，并详细介绍此种方法的关键 步骤包括参数化建模的具体实施过程以及试验设计方法和样本数据拟合方法的合理选取等，从而为这种实用且 高效的优化设计方法应用于解决复杂结构优化设计问题铺平道路。 【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｅｄ ｉｎ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｃｏｍ． ｐｌｅｘ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｃｈｉｅｆ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｍｅｔｈｏｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ，ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｆｔｔｉｎｇ ｏｆ ｄａｔａ ｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｍａｉｎｌｙ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｉｎｓｔｕｒｃｔｉｏｎ ｏｎ ｈｏｗ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｍｏｄｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｓｏｍｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｔｒｕｃ— ｔ１】ｒｅ． 【主题词】近似模型参数化零部件 间搜索分析工具，大大降低计算成本。于是，近似 ０ 引言 模型方法在工程优化设计领域的研究和应用越来 越多 。 现代制造领域存在着许多结构非常复杂的零 部件，在应用仿真软件中自带的优化模块对其进 １ 近似模型在优化设计问题中的应 行优化时，需要反复调用模拟计算子程序，并且模 用流程 型越复杂，所需的模拟计算量也越大，因而仅仅靠 采用高速计算机是行不通的。另外，由于复杂结 图１详细给出了近似模型在优化问题中的基 构模型边界条件的不确定性，往往导致其在有限 本应用流程口Ｊ，主要包括：（１）对复杂结构进行三 元计算过程中不收敛。这些也是直接采用有限元 维参数化建模，选择试验设计方法并布置样本点， 软件对复杂结构进行优化设计的难点所在。近年 通过仿真分析在样本点上产生设计变量和设计目 来，解决此类问题的一个十分有效的方法是采用 标对应的样本数据。（２）选择某种方法，用模型函 近似模型来替代计算量巨大的高逼近度模型，但 数拟合样本数据，建立近似模型。选择不同的方 这会影响优化问题的求解精度。 法或者模型，就相应产生各种不同的近似模型方 所谓近似模型是指计算量小、计算结果与仿 法。通常所采用的几种近似模型方法是：响应面 真程序相近的分析模型。近似模型的建立不仅有 方法、Ｋｒｉｇｉｎｇ方法和神经网络技术。（３）对所构建 利于洞察设计变量和设计目标之间的关系，而且 的近似模型进行优化并对优化结果进行评估。 用近似模型来取代计算费时的评估目标函数的计 １．１参数化建模 算分析程序，可以为工程优化设计提供快速的空 近似模型的构建势必需要多个样本点的结 收稿日期：２０１０—０６—０２ ・４４・ 上海汽车２０１０．０９ 图１ 近似模型在优化设计中的基本应用流程 果，而每一个样本点都是不同的三维模型，如果对 每个样本点都进行三维建模的话，工作量会非常 大。因此，对于一些复杂的结构应用近似模型优 化方法，参数化建模则是第一步，并且也是非常重 要的一步。Ｐｒｏ／Ｅｎｇｉｎｅｅｒ具有全参数化、全相关和 基于特征的实体建模等特点，是基于特征的实体 造型软件，其零件的设计过程就是特征的积累过 程，因而应用Ｐｒｏ／Ｅｎｇｉｎｅｅｒ三维软件进行参数化建 模非常方便。 下面以Ｖ８发动机曲轴为例（如图２所示）具 体介绍Ｐｒｏ／Ｅｎｇｉｎｅｅｒ进行参数化建模的过程。 图２ Ｖ８发动机曲线 首先，对所需参数化的尺寸进行提取。对于 Ｖ８发动机曲轴来说，结构设计时的关键尺寸主要 有曲柄半径、主轴径长度和直径、连杆轴颈长度和 直径５个尺寸。 上海汽车２０１０．０９ 其次，建立布局图。在Ｐｒｏ／Ｅｎｇｉｎｅｅｒ中可以通 过布局图（Ｌａｙｏｕｔ）建立概念设计草图。Ｌａｙｏｕｔ是 二维草图，它能使用户定义一个装配体的基本功 能要求、基本结构和全局参数及参数之间的顺序 依赖关系，其零部件可以是一个概念上的方块图 形或参数草图。然后在布局图窗口中对所需参数 化的尺寸进行设定。对于本例中的曲轴来说需设 定上述的５个尺寸作为参数。 第三，设定参数与零件尺寸之间的关系。在 曲轴零件的实体特征中可以找到各个内部标识尺 寸，参数化过程就是将人为命名的设计参数同这 些内部标识尺寸建立关系，于是通过控制外部参 数就使得特征的尺寸发生变化。依次建立所有外 部参数与零件内部标识尺寸之间的关系，并将零 件声明到布局图 Ｊ。 ‘这样就完成了对曲轴零件关键尺寸的参数 化。在布局图参数表中修改参数值，则模型的相 关尺寸也随之改变，图３即为曲轴主轴径长度参 数增加３０ ｍｍ后的零件驱动示意图。图４为某型 号Ｖ８发动机整机结构参数化之后，Ｖ型夹角由 ９０。改变为６０。的示意图。 图３参数化驱动的曲线 图４ Ｖ型夹角由９０。变为６０ ・４５・ １．２试验设计方法 １．３．１ 响应面方法（ＲＳＭ） 近似模型的构造依赖于设计空间的采样，即 在设计空间中一定数量的不同位置上进行采样， 并进行计算机模拟试验，来获得目标函数的响应 数据。试验设计中研究试验数据的获取方法，是 近似模型方法的基础，在很大程度上决定了优化 上世纪９０年代，Ｃ．Ｇ．Ｂｕｃｈｅｒ等先后提出了用 二次多项式来近似确定极限状态方程的响应面 法，此方法的基本思想先假定一个包括一些未知 参数的功能函数与基本变量之间的解析表达式， 后用插值的方法来确定表达式中的未知参数 Ｊ。 多项式响应面法计算量小，基本上能反映设计空 计算的成本和准确性。一般试验设计要求试验次 数尽可能少，尽可能全面反映设计空间特性。在 试验设计理论中，设计变量被称为因素，每个因素 在设计范围内的若干个可能的取值称为水平。常 用的试验设计方法有析因设计、中心组合设计、正 交设计、均匀设计、拉丁超立方设计等。 正交试验设计方法是目前较为流行、效果较 好的方法。统计学家设计了一系列表格来实现 正交设计，称为正交设计表。正交设计建立在正 交拉丁方理论与群论的基础上，是根据正交性准 则来挑选试验点，使得这些点能够反映试验范围 内各因素和试验指标之间的关系。正交设计安 排的试验数目至少为水平数ｋ 。对于单因素或 两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分 析都比较简单。但在实际工作中，常常需要同时 考察３个或３个以上的试验因素，若进行全面试 验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限 制而难于实施。正交试验设计就是安排多因素 试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计 方法。 已有的研究结果表明，在样本点数和建模方 法都相同的情况下，样本点在参数空间中分布得 越均匀，近似模型重构精度就越高。在强调分布 均匀性的试验设计中，当前最流行的当属拉丁超 立方设计（ＬＨＳ）。传统的试验设计抽样，由经验 发现往往存在堆积点的问题，即试验组合没有布 满整个空间，所得模型也将不能代表整个参数变 化区域，而拉丁超立方设计则是一种充满空间的 设计方法，使输入组合相对均匀地填满整个试验 区间，并且每个试验变量水平只使用一次，从而使 得样本点不仅数量少而且更加均匀。拉丁超立方 设计是针对Ｋｒｉｇｉｎｇ模型最主流的仿真试验设计 类型。 １．３样本数据拟合方法 ・４６・ 间的非线性，具有较好的实用效果。但对于一些 非线性程度较高的复杂结构，二次多项式形式的 响应面法很难真实地反映其极限状态曲面的非线 性程度，这样就会造成计算精度上的误差。若使 用高阶的多项式模型，由于待定系数多，从而需要 更多的采样点，导致计算效率的下降。 １．３．２神经网络技术 神经网络（ＮＮ）是由大量神经元互连形成的 复杂网络系统，它可通过对样本数据的学习来不 断适应环境，对高度非线性问题具有很强的映射 能力。最常用的神经网络是后向传播神经网络 （ＢＰＮＮ）和径向基神经网络（ＲＢＦＮＮ）。ＢＰＮＮ在 训练过程中对所有权值和阀值进行修正，因此它 是一种全局近似神经网络。ＲＢＦＮＮ则具有较强的 局部逼近能力。但神经网络的应用一般需要较多 的样本数据，计算量大 Ｊ。 １．３．３ Ｋｒｉｇｉｎｇ方法 Ｋｒｉｇｉｎｇ模型是结合了工程学、地质学、数学、 统计学等的函数近似方法，在过去的几十年中， Ｋｒｉｇｉｎｇ技术在许多领域得以应用。作为一种半参 数化的插值技术，其目的就是通过部分已知的信 息去模拟某一点的未知信息。传统的模拟技术大 都为参数化的模拟（如响应面法），使用参数化的 非线性模型，首先必须选择一个适合的数学模型 （如二次多项式），其次模型确立之后必须确定其 待定系数。而半参数化的Ｋｒｉｇｉｎｇ模型并不需要 建立一个特定的数学模型，相对于参数化模型而 言，Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的应用就更加的灵活和方便。 Ｋｒｉｇｉｎｇ是一种更具“统计性”的近似技术，其有效 性并不依赖于随机误差的存在，也就是说已知信 息中是否包含噪声信息不会影响Ｋｒｉｇｉｎｇ模拟的 有效性程度 。 Ｋｒｉｇｉｎｇ模型具有相当的灵活性，可对样本数 上海汽车２０１０．０９ 据进行无差拟合，但计算量较大。Ｋｒｉｇｉｎｇ模型表 述为： Ｙ（ ）＝ ）＋ （ ） （１） 激励与响应之间的函数关系，从而为应用近似模 型方法对复杂结构进行优化设计提供了方便可行 的工具。 式中：ｙ（ｘ）为待定响应 （ ）为关于 的多项 式未知函数，一般取常数 ；ｚ（ ）为均值为零、方差 为ｏｒ 、协方差非零的统计实现，ｚ（ ）的协方差矩阵 ２ 结语 为如下表示形式： Ｃｏｖ［ｚ（ ‘ ），＝（ ‘ ］＝ｏｒ Ｒ［ ‘“，Ｘ‘ （２） 式中：ｉ＝１…ｎ ； ＝１… ；ｎ 为已知的响应样 本数据的数目； 为样本点相关矩阵，它是沿对角 线对称的。相关函数Ｒ可以选择，最常用的 Ｇａｕｓｓｉａｎ型相关函数为： Ｒ（ ‘， ）＝Ｊ ｌｅｘｐ（一０ ｌ 一 ｌ ） （Ｓ） 对于输入 ，响应值，，（ ）的预测估计值夕可用 下式计算： ， ＝ ＋ｒ（ｘ）Ｒ （Ｙ－ｆｆ１） （４） 此处Ｙ是长度为ｎ 的列向量，包含所有样本 数据的响应值。当ｆ（ ）为常数时，厂长度为ｎ 的 单位列向量。其中ｒ为输入 与各样本点｛ ，ｘ … ｝的相关向量。ｒ和 的基本元素为相关函数 （ ， ）。 方差的估计值 由』Ｂ和Ｙ给出： ｚ： （５） ｎ 式中： 为Ｋｒｉｇｉｎｇ模型拟合参数，可用极大 似然估计方法计算获得。即在０ ＞０时使下式最 大： 一 ｌｉｍ （６） ’∞ 和 是 的函数，任意一个 的值都能 生成一个插值模型，最终的ｋｒｉｇｉｎｇ模型是求解式 （６）的无约束非线性最优问题得到的。 相比于其它传统的插值技术，Ｋｒｉｇｉｎｇ模型有 两方面的优点：（１）Ｋｒｉｇｉｎｇ模型以已知信息的动态 构造为基础，即只使用估计点附近的某些信息，而 不是所有的信息对未知信息进行模拟。（２）Ｋｒｉｇ— ｉｎｇ同时具有局部和全局的统计特性，这个性质使 得Ｋｒｉｇｉｎｇ可以分析已知信息的趋势、动态 。由 此可见ｋｒｉｇｉｎｇ模拟技术能够更为准确合理地构建 上海汽车２０１０．０９ 参数化建模、试验设计方法以及模型拟合方 法的应用是近似模型方法中比较关键的步骤，对 复杂结构优化设计工作的效率性乃至可行性起着 决定性的作用。至于样本评估、模型检验、误差分 析等问题虽然已有比较成熟的方法，但需要具体 问题具体分析。近似模型建立以后，就可以应用 ＭＡＴＬＡＢ等数学工具对此数学模型进行优化分 析，从而完成复杂结构问题的优化设计工作。 试验设计的近似模型方法具有目标函数评估 次数少、不需要事先知道目标性能和优化变量间 确定的函数关系式、全局寻优能力强的特点。此 外，使用近似模型方法所建立的模型计算量小，且 能保证较高的计算精度，因此完全可以应用于复 杂结构的优化设计。目前，近似模型方法已在航 空航天领域气动外形设计方面取得了显著的成 就，相信随着近似模型方法的不断完善，以及其在 汽车领域的逐步推广，必将会为复杂结构优化设 计领域带来一次跨越式的发展。 参考文献 １刘克龙，姚卫星，穆雪峰．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ代理模型的结构形 状优化方法研究［Ｊ］．计算力学学报，２００６，（３）． ２席光，王志恒，王尚锦．叶轮机械气动优化设计中的近似 模型方法及其应用［Ｊ］．西安交通大学学报，２００７，（２）． ３毛君，陈洪月，谢苗．基于Ｐｒｏ／Ｅ的自顶向下的设计过程 ［Ａ］．机械研究与应用，２００７，（８）． ４李兴斯．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ方法的结构可靠性分析及优化技术 ［Ｄ］．大连：大连理工大学，２００５． ５吴先宇，罗世彬，陈小前，王振国．基于替代模型的高超声 速进气道优化［Ｊ］．弹箭与制导学报，２０ｏ８，（１）． ６张崎，李兴斯．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ模型的结构可靠性分析［Ｊ］． 计算力学学报，２００６，（２）． ７郭谆钦，王承文．现代设计方法在机械优化设计中的应用 ［Ｊ］．机电产品开发与创新，２００７，（２）． ・４７・
