最新中考数学 幂的运算易错压轴解答题(含答案)

一、幂的运算易错压轴解答题 1．阅读材料，根据材料回答：

例如1：（－2）3×33＝（－2）×（－2）×（－2）×3×3×3 ＝[（－2）×3]×[（－2）×3]×[（－2）×3] ＝[（－2）×3]3＝（－6）3＝－216. 例如2：

86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125

＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125） ＝（8×0.125）6＝1.

（1）仿照上面材料的计算方法计算：

；

（2）由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）an·bn＝________； （3）用（2）的规律计算：－0.42018× 2．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．

（1）填空：32a＝________；3b+c的值为________； （2）求32a3b的值．

﹣

×

.

3．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形

（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可) （2）请利用(1)中的等式解答下列问题:

①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值 ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值 4．阅读下列材料，并解决后面的问题．

材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为an ， 如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n），如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）． （1）计算以下各对数的值：log24=________；log216=________；log2=________．

（2）通过观察（2）中三数4、16、之间满足怎样的关系式？log24、log216、log2之间又满足怎样的关系式？

（3）由（2）题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN=________（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），

（4）根据幂的运算法则：am•an=am+n以及对数的定义证明（3）中的结论． 5．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac=b，那么（a，b）=c． 例如：因为23=8，所以（2，8）=3． （1）根据上述规定，填空：

（3，27）=________，（5，1）=________，（2， ）=________．

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ， 4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：

设（3n ， 4n）=x，则（3n）x=4n ， 即（3x）n=4n 所以3x=4，即（3，4）=x， 所以（3n ， 4n）=（3，4）．

请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20） 6．综合题 （1）填空：21﹣20=2

（________）

， 22﹣21=2

（________）

， 23﹣22=2

（________）

…

（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）运用上述规律计算：20﹣21﹣22﹣…﹣22017+22018。

7．若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）若2×2x=8，求x的值； （2）若（9x）2=38 ， 求x的值． 8．综合题

（1）已知x =

（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.

9．综合题。

（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值； （2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值． 10．计算

（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）1

﹣

，y = ，求

（n为正整数）的值；

（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4 （3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1） （4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4 ．

11．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an ， 如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．

（1）计算下列各对数的值：log24=________；log216=________；log2=________． （2）观察（1）中三数4、16、之间满足怎样的关系式，log24、log216、log2之间又满足怎样的关系式；

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义说明上述结论． 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题．

材料：一般地，n个相同因数相乘， 对数，记为log

（即

=3）

（即

记为an ， 如23=8，此时3叫做以2为底8的

一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为

）．如34=81，4叫做以3为底81的对数，记为

问题：

（1）计算以下各对数的值：

=________ ；

=________ ；

．

=________ ．

（2）观察（Ⅰ）中三数4、16、之间满足怎样的关系？满足怎样的关系？

、

、

之间又

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

+

=________ （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）

（4）根据幂的运算法则am•an=am+n以及对数的含义证明上述结论．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、幂的运算易错压轴解答题

1．（1）解： （2）(ab)n

（3）解：－0.42018× × (32)2019 =52

【解析】【解答】解：（2）根据题意可得： ； 故答案为： ； 【分析】（ 解

析

：

（

1

）

解

：

（2）

（3）解：－0.42018×

×

【解析】【解答】解：（2）根据题意可得： ；

故答案为：

；

【分析】（1）根据积的乘方法则的逆用计算即可求解； （2）根据题意找到规律即可；

（3）逆用积的乘方法则及同底数幂的乘法法则的逆用计算即可求解.

2．（1）16；40

（2）解：32a−3b＝32a÷33b ＝（3a）2÷（3b）3 ＝42÷53 ＝ 16125 ．

【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•解析： （1）16；40 （2）解：32a−3b＝32a÷33b ＝（3a）2÷（3b）3

＝42÷53 ＝

．

＋

【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3bc＝3b•3c＝5×8＝40；

【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则进而计算得出答案．

3．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 且a+b+c=11， ab+bc+ac=38 ∴a

解析： （1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac （2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 且a+b+c=11， ab+bc+ac=38 ∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac) =112-2×38 =45

②∵2x×4y÷8z= 2x×22y÷23z=2-2 ∴2x+2y-3z=2-2 ∴x+2y-3z=-2

∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz) ∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz) ∴2xy-3xz-6yz=-20

【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。 （2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。

4．（1）2；4；6 （2）解：由题意可得，

4×16=，log24、log216、log2之间满足的关系式是log24+log216=log2

（3）logaMN （4）证明：设l

解析： （1）2；4；6

（2）解：由题意可得，

4×16=，log24、log216、log2之间满足的关系式是log24+log216=log2 （3）logaMN

（4）证明：设logaM=m，logaN=n， ∴M=am ， N=an ， ∴MN=am+n ， ∴logaM+logaN=logaMN．

【解析】【解答】解：（1）log24=log222=2，log216=log224=4，log2=log226=6， 故答案为：2，4，6；（3）猜想的结论是：logaM+logaN=logaMN， 故答案为：logaMN；

【分析】（1）根据题意可以得到题目中所求式子的值； （2）根据题目中的式子可以求得它们之间的关系； （3）根据题意可以猜想出相应的结论；

（4）根据同底数幂的乘法和对数的性质可以解答本题．

5．（1）3；0；﹣2

（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20， ∴（3，20）=x+y，

∴（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【

解析： （1）3；0；﹣2

（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20， ∴（3，20）=x+y，

∴（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【解析】【解答】解：（1）∵33=27， ∴（3，27）=3； ∵50=1， ∴（5，1）=0； ∵22= ，

﹣

∴（2， ）=﹣2； 故答案为：3，0，﹣2．

【分析】（1）根据定义的新运算，可得出对应的c的值。

（2）根据小明的新发现，利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求证。

6．（1）0；1；2

（2）解：2n-2n-1=2n-1(21-20)=2n-1

（3）解：原式=20﹣（21+22+…+22017）+22018 设 ：S=21+22+…+22017,则2S=22

解析： （1）0；1；2 （2）解：2n-2n-1=2n-1(21-20)=2n-1

（3）解：原式=20﹣（21+22+…+22017）+22018 设 ：S=21+22+…+22017,则2S=22+23…+22018 S=2S-S=22+23…+22018-(21+22+…+22017)=22018-21 ∴原式=20-22018+21+22018=3

【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则的逆用及乘法分配律的逆用即可得出答案；

（2）通过观察，每一个减法算式的被减数及减数都是幂的形式，底数都是2，被减数的指数与式子的序号一致，减数的指数比被减数的指数小1；计算的结果也是幂的形式，底数是2，指数比序号小1，利用发现的规律即可得出答案；

（3）首先将原式变形为20﹣（21+22+…+22017）+22018然后设 ：S=21+22+…+22017,则2S=22+23…+22018S=2S-S=22+23…+22018-(21+22+…+22017)=22018-21再代入原式即可得出答案。

，

，，

7．（1）解：原方程等价于 2x+1=23 ， x+1=3， 解得x=2；

（2）解：原方程等价于 34x=38 ， 4x=8， 解得x=2．

【解析】【分析】（1）根据am=an（

解析： （1）解：原方程等价于 2x+1=23 ， x+1=3， 解得x=2；

（2）解：原方程等价于 34x=38 ， 4x=8， 解得x=2．

【解析】【分析】（1）根据am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，可得答案；（2）根据am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n，可得答案．

8．（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- 15 ）2n=25［（-5）×（- 15 ）］2n=25

（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n. 验证：（2n+1)2-（2n

解析： （1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- ）2n=25［（-5）×（- ）］2n=25 （2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.

验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n

【解析】【分析】（1）将x、y的值代入代数式，得出（-5）2×（-5）2n×（- 1 5 ）2n ， 再利用同底数幂的乘法法则及积的乘方法则计算即可。

（2）根据各个算式可知，左边为两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数，根据此规律，即可得出第n个等式为（2n+1)2-（2n-1)2=8n；再将等式的左边化简即可得证。

9．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5， ∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10

（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900 【解析】【分析】

解析： （1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5， ∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10

（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900

【解析】【分析】（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y=ax•ay=25，根据ax=5可得ay=5，代入即可求解；（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）

2•（10β）2 ， 即可求解．

10．（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ 13 ）﹣1 =1﹣8+1﹣3 =﹣9

（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4 =﹣a6﹣6a6 =﹣7a6

（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（

解析： （1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）1

﹣

=1﹣8+1﹣3 =﹣9

（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4 =﹣a6﹣6a6 =﹣7a6

（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1） =3x﹣2x+2﹣3x﹣3 =﹣2x﹣1

（4）解：（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4 =m8+m8+m8 =3m8

【解析】【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及结合零指数幂的性质和负整数指数幂的性质化简求出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简求出答案；（3）直接利用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案；（4）直接利用幂的乘方运算法则化简求出答案．

11．（1）2；4；6 （2）解：∵4×16=， ∴log24+log216=log2

（3）解：logaM+logaN=logaMN （4）解：设M=am ， N=an ， ∵

解析： （1）2；4；6 （2）解：∵4×16=， ∴log24+log216=log2 （3）解：logaM+logaN=logaMN （4）解：设M=am ， N=an ， ∵

=m， =m+n，

∴ ∴

+ +

= =

， =n，

【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log2=6， 故答案为：2；4；6；

【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，之间满足的关系式为：log24+log216=log2．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M=am ， N=an ， 再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对

数的含义证明结论．

12．（1）2；4；6

（2）解：4×16=，log24+log216=log2；

（3）logaMN

（4）证明：设logaM=m，logaN=n，

则M=am ， N=an ，

解析： （1）2；4；6 （2）解：4×16=，（3）logaMN

（4）证明：设logaM=m，logaN=n， 则M=am ， N=an ， ∴MN=am•an=am+n ， ∴logaMN=logaam+n=m+n， 故logaN+logaM=logaMN．

【解析】解：（1）∵4=22 ， 16=24 ， =26 ， ∴

=2；

=4； +

=6． =

；

+

=

；

（2）4×16=，

（3）logaN+logaM=logaMN． (4)证明：logaM=m，logaN=n， 则M=am ， N=an ， ∴MN=am•an=am+n ， ∴logaMN=logaam+n=m+n， 故logaN+logaM=logaMN．

【分析】（1）根据对数的定义，把求对数写成底数的幂即可求解； （2）根据（1）的计算结果即可写出结论；

（3）利用对数的定义以及幂的运算法则am•an=am+n即可证明．