垂径定理与圆心角

9.垂径定理与圆心角

垂径定理

知识点梳理

【知识点一】垂径定理

1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。 4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。

【知识点二】垂径定理的逆定理

1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

典例分析

【题型一】利用垂径定理进行计算

【例1】 如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为 D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.

【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是 0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.

【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标

【例1】如图,以点 P为圆心的圆弧与x轴交于 A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点 A的 坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______

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【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点 P的坐标为_________

【题型三】应用垂径定理等分弧

【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？

【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。

【题型四】垂径定理的实际应用

【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一 段新管道.如图 ,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?

【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m

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【题型五】利用垂径定理求最值

【例1】如图3-3-15 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦価上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

【变式1】如图,在⊙O中,AB 是⊙O的直径,AB= 8 cm,AC=CD=BD,M是AB上一动点,CM十DM的最小值为______cm

【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题

【例1】已知点 A,B,C都在⊙O上,且 AB=AC,圆心O到BC的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB的长.

【变式1】已知⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦,AB= 8 cm,且AB丄CD,垂足为点 M,则 AC的长为( ). A.25cm B.45cm C.25cm或45cm D.23cm或43cm

【变式2】已知,⊙O的半径是5,AB, CD为⊙O的两条弦,且 AB∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD间的距离。

【题型六】与圆的性质有关的定值问题

【例1】 已知⊙O的直径AB= 15 cm,有一条长为9 cm的动弦CD在弧AMB上滑动(点C与点A,点D与点B均不重合) ,且EC丄CD 与 AB 交E点,FD丄CD与AB交子点F. （1）求证:AE=BF

（2）在动弦CD滑动的过程中,四边形CDFE的面积是否为定值?若是,请给出证明,并求出这个定值；若不是,请说明理由

【变式1】 如图,AB是半径为 R的平圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中 C,D,E在AB上,F,N在半圆上。求证:两个正方形的面积之和为一定值.

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圆心角

知识点梳理

【知识点一】圆心角定理

1.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心 2.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角

3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

【知识点二】圆心角与它所对弧的度数关系

1.1圆心角所对的弧叫做1的弧，n圆心角所对的弧叫做n的弧 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等

3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。

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【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等

典例分析

【题型一】利用圆心角的关系说明弧的关系

【例1】 如图,在⊙O中,D,E分别是半径OA ,OB上的点,且AD=BE,C为AB上的一点,且CD= CE,那么AC=BC吗?为什么?

【变式1】 如图,在⊙O中,AB为直径，CO⊥AB，D为CO的中点，DE∥AB，求证：EC2EA

【题型二】利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明

【例1】如图,⊙O的弦 AB, CD相交于点 P,P0平分∠APD.求证:AB=CD

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【变式1】小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在图中，若∠AOB=2∠COD，则

AB2CD，AB=2CD，你同意吗？说明理由。

【题型三】与圆心角有关的实际问题

【例1】已知来庄、李庄分别位于直径为300 m的半圆弧上的三等分点的位置,现在要在河(半圆弧所在圆的直径所在的直线)修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最少需要多少米水管。

【变式1】某村想在村口建如图形状的门, 已知AB的度数为120°,立柱AC高2m.若要使高3 m，宽2m的集装箱货车能通过该门.问：AB的半径应大于于多少？

【题型四】弧、弦之间的关系与垂径定理的综合应用

【例1】如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连结PA，PB。求证：PA=PB

【变式1】如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，D为OA的中点，过点D作BC∥MN（1）求证：四边形ABOC为菱形；（2）求∠MNB的度数。

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