让学生做主

——正切函数的图象和性质教学案例的实践与认识

温州中学 孔 娣

2005年3月31日，市直高一校本教研活动在温州三中举行，我作为青年教师代表之一上了一节公开课，内容是“正切函数的图象和性质(第一课时)”。本文围绕这节课的教学设计实践过程以及教学反思过程，谈谈探究式教学的课堂教学设计和本节课的教学反思。 一、教学设计过程

1．教学设计思路

由于学生在本节课之前刚学习了正余弦函数的图像和性质，我想以此为基础让学生自主探究正切函数的图像和性质，尽量以学生为主体，发挥学生的主动性。因此采取了如下的教学设计思路：

教学方法：探究式教学——“变教学为诱思，以诱达思促发展”。在教学中，要让学生在学习过程中实现自主学习、合作学习和探究学习，教师充当引导者的角色，引导、帮助学生检视和反思自我，明了要学习什么和获得什么；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的意义；帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价。

教学手段：多媒体辅助教学———采用PowerPoint幻灯片，几何画板和实物投影仪辅助教学，这样可以减少板书时间，利用幻灯片中一些有意思的小动画营造轻松活泼的课堂氛围，利用几何画板作图增强学生对图形形成的直观理解，利用实物投影仪展示学生作品。

教学思路：问题开路温故知新师生讨论动手做图一起评价发现问题获得性质性质运用课外拓展。

2．教学设计内容

I．课题：正切函数的图象和性质（1）

II．教学目标：①．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；

②．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； ③．掌握正切函数的性质。

III．教学重、难点：①．正切函数图象的作法；

②．正切函数的性质。

IV．教学过程：

（一）情境设置（问题开路）：

前面我们研究了正余弦函数的图像和性质，这节课开始研究正切函数的图像和性质。问怎样作正切函数的图像？（启发问题）做函数图像的常用方法？描点连线。如何找点？找点的横纵坐标写出特殊点的横纵坐标，发现直接描点不精确。有什么方法精确找点？

（二）温故知新（问题导学）：

问题：(1)正弦曲线是怎样画的？（学生回答，利用多媒体演示回顾）

（2）如何作一个角的正切线？（学生回忆，教师演示，注意特殊角情形） 问：现在你能否作出正切函数的图像？（发给学生每人一张准备好的有直角坐标系和单位圆的纸，让学生快速动手作图） （三）评价成果，正确作图：

教师巡视，待大部分学生完成作图后，教师有目的的收上学生的各种作品，利用实物投影仪展示学生作品，对其进行评价，就学生暴露的问题进行讨论，寻找原因。 就学生作图出现的问题一起讨论正确作图步骤：

1

(1)学生作图错误：在x教师问：为什么错？ 学生：在x2处有图像。

2处函数没意义。

教师问：那函数在什么范围内有意义？即正切函数ytanx的定义域是什么？

x|xk,kz 学生：2（2）．发现学生作了一段图像。

教师：为什么函数图像只作了一段? 学生：根据周期性可得其他图像。

教师：正切函数是不是周期函数？那么它的最小正周期是什么？

， 学生(讨论)：根据诱导公式tanxtanxxR,且xk,kz2∴是ytanxxR,且xk教师：

,kz的一个周期。 2（3）．如何作ytanx，x作法：①在直角坐标系y轴左侧画单位圆； ②把单位圆右半圆8等分且分别作正切线； ③找横坐标（将x轴上

是不是正切函数的最小正周期？证明从略，下面作出正切函数图象来判断。 ,的图象？ 222到

这一段分成82等分）；

④找纵坐标（平移正切线）； ⑤连线

教师问：能否选择作ytanx，x0,的图象？ 学生甲：不可以，因为在在x学生乙：可以；

2

2处会出现断点。

教师问：为什么没选择作0,范围内图像？ 学生乙：x2处函数无意义，图像不连续，作图不方便。

(4)．教师：如何作ytanx，xR且x2k,kZ的图象？

学生：根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展。 （教师用投影仪投出图像并讲解）

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanxxR，且

x

2kkz的图象，称“正切曲线”。

y

3   22O 2 3 x2说明：（1）由图象观察出，正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是； （2）与正余弦图像作比较发现正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线

xk2kZ（渐近线）所隔开的无穷多支曲线组成的。

（3）画正余弦函数在长度为一个周期的闭区间上的简图方法——五点作图法；画正切函数在长度为一个周期的闭区间上的简图方法——两线（渐近线）一点（零值点）法，方便实用作图。

（四）．正切函数的性质

教师：根据正余弦函数的性质，你想知道正切函数的什么性质？ （ 引导学生观察正切曲线，共同获得） （1）定义域：x|x（2）值域：R

3

k,kz； 2观察：当x小于k 当x大于2kz且xk时，tanx；

22kkz且x2k时，tanx。

（3）周期性：（最小正周期）T；

（4）奇偶性：由tanxtanx知，正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称； （5）单调性——

学生：正切函数在每个周期内单调递增。 教师：那么在(0,)内单调递增？反例：怎样正确描述正切函数的单调性？ 学生：（思考讨论）在每个开区间4331。应该，但是tan1tan444k,kkz内，函数单调递增。

22教师： 正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？

学生：不是，正切函数在整个定义域上不具有单调性，它的定义域不连续，不能说它在整

个定义域内是增函数，只能说它在每个单调区间内是增函数。

师生：（教师幻灯片展示，学生一起填写）正余弦函数与正切函数性质作对比表格。 （五）性质应用： 例1．求函数ytanx答案：定义域为xx的定义域和值域。 4k,kZ；值域为R． 41变式一：求函数y的定义域和值域。

tanx4xkkk42xx(kZ)答案： 4242xk4定义域为xx4k,kZ；值域为(,0)(0,)． 2变式二：求函数ytanx1的定义域和值域。

4

4

由此图像观察出在此区间满足tanx1,的图象，

22的x的范围为x<，结合周期性，可知xR,且xk,kz上满足tanx1的

422（x）x的集合为x|kxk,kZ，把看作

442解：法一：先画出ytanx，x角整体，则有x|k4的定义域为x|kxk,kZ；值域为[0,)。

41317)与tan() 454x+k,kZ，所以函数2法二：亦可利用单位圆求解。

例2：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）tan138与tan143（2）tan(备用练习：课本P72练习2，3 （六）．小结：1．作正切曲线的方法及图象特征； 2．正切函数的性质； （七）．课外拓展（课后作业）：

以正切函数的图像和性质为基础，结合已掌握的相关知识，请你探究余切函数的图像和性质。 3．教学设计意图

本节课主要通过学生自主探究正切函数图像，然后由图像得性质来实现教学目标，下面对每一部分的设计意图作以阐释。

“情境设置”由问题开路，通过问题情景的创设，激发学生的求知欲。“（启发问题）做函数图像的常用方法？”为“怎样作正切函数的图像？”这一主要问题找到出路，然后逐步引导，先找特殊点再找点的横纵坐标，横坐标为用弧度表示的角，纵坐标为对应角的正切值。但直接描点不精确怎么办？于是引出下文。

“温故知新”用问题导学，通过回顾正弦曲线的画法诱发学生得出利用等分单位圆平移正切线得到对应点的横纵坐标，然后精确描点。要利用正切线，必须知道怎样画正切线，于是回顾正切线画法。

“学生做图，教师评价”，鼓励学生完成富有挑战性的任务，体验成功的经验，激发学习的兴趣和自信心。让学生自己尝试画图，利用已有知识将自己的想法通过作图实践。对画正确的学生给与表扬赞赏，对于画图有错误的学生给与鼓励。在学生做图中暴露一些问题，而这些做图错误可以成为分析新知识的良好契机，寻找出错原因，找出正确作图方法。

“获得性质”，让学生观察所得图像，结合正余弦函数性质，得到正切函数性质。此处着重分析正切函数的单调性问题。

“性质运用”，让学生学以致用。 “备用练习”，增大课堂容量的伸缩性，便于教师掌控时间。

“课堂小结”是将本节课的主要内容、主要思想进行总结、提炼、升华，从而对知识有一个整体的把握；

“课外拓展（课后作业）” ，适当拓展学生的知识领域，在知识运用中深化认识。 二、教学反思过程

5

1．教学前反思

由于我要开课的学生来自一所普通中学的较差的班级，因此，我在备课时主要考虑如何调动学生的积极性，发挥学生的主动性。组内同事听我介绍了教学设计思路和教学设计意图后也发表了一些看法，现总结如下：

(1)从这节课的教学设计来说，体现了笔者较新的教学理念，备这节课时下了一定功夫，有自己的想法和对这节课的个人理解；

（2）多媒体辅助教学要运用得当，其演示过程不能完全代替学生的思考过程； (3)担心学生基础较差，学生回答不出时老师会代劳，课堂上的启发教学不能得以很好的施展。

2．教学中反思

本节课在教学实施过程中，总体来说，与课前的教学设计并无太大偏差，但也有一些“临机应变”：

（1）在上课铃声响起时，由于我不熟悉三中的作息时间安排，错把眼保健操铃声当作上课铃声，喊完起立后本以为开始上课学生却开始做眼保健操，当时我很尴尬，等学生做完操后，我说“现在是真的要上课了”，一句话使学生笑了起来，从而拉近了我与学生的距离，使课堂氛围轻松一下。

(2) 学生作图出现了许多我始料不及的问题。例如有人作的是正弦函数的图像，展示后大家哄笑，于是我说“看来这位同学很喜欢正弦函数啊，对正切函数一时还难以接受。”比较幽默地给予了评价。有人作图不是用平滑曲线连接的，展示后学生在下面说“差不多，就是难看了一点，意思是对的。”我说“评价得挺到位啊。”与学生能自然地交流，课堂氛围很融洽。

(3) 介绍完利用“两线一点”画正切函数的简图后，为了方便学生理解，让大家画

ytan(x4)的简图，理解如何找渐近线和零值点。

（4）由于时间限制，例1中变式一没讲直接到变式二，例2没讲作为课后练习。 3．教学后反思 （一）听课教师反思

这节课后，几所中学的听课老师立即对本节课进行了点评：

（1）教学理念新，采用探究式教学，让学生主动学习，研究性学习的色彩比较浓； （2）课堂氛围很活跃，能让学生亲自体会知识的产生过程，诱使学生讲出自己的想法。师生互动很好，这种互动并没有只停留在表面，而是思维上的互动，学生是“真”的融入到了本节课的教学当中；

（3）多媒体的使用比较得当，让学生亲自体会了作图的过程后再利用几何画板作图，加深理解，实物投影仪能将学生的作品真实完全地展现，使学生有评价的依据。但是幻灯片上一些小动画太多，过于花俏，容易分散学生的注意力； (4)教学流程较为顺畅，美中不足是例题较少；

（5）言语幽默，与学生交流自然，能及时捕捉学生的信息，并能利用信息反馈。 （6）例题直接到变式跳跃太大，题目设置的难度梯度太大；

6

（7）课后延伸很好，能让学生课后利用所学进行进一步探究； （8）板书不美观，解题步骤不严谨，书写过程不严密。 （二）学生反思

这节课后，就上课学生进行了抽样调查，得到了一些反馈看法：

（1）这节课学习兴趣较高，很快的融入到了课堂里面，并且能够全神贯注的投入到学习氛围中；

(2)能够以学生为主体，按照学生的思路进行课堂安排； (3)教师温和幽默，重视学生的理解感受； (4)课件太花俏。 （三）自我反思

教师，尤其是像我这样工作只有两年的青年教师，在教学后及时进行总结、反思是十分必要和重要的，下面谈谈我个人的想法：

（1）这节课，我觉得整体进行得较为顺利，课堂气氛很活跃，和学生进行了自然愉悦的交流，无论是学生课堂上的反应还是下课后的反映，都让我很满意；

（2）课下有老师说这种探究性课适合在我们温州中学这种重点高中开展，而像温州三中这种学生基础不是很好的普通中学要多练多做习题，灌输解题技巧，向高考奋进。而我个人认为无论基础好的学生还是差的学生，激发起学习兴趣是很重要的，让学生有成功的体验，培养兴趣和自信心，真正理解透彻了知识产生过程那么解题时就会自己运用。学生进行探究、科学研究的结果并不特别重要，重要的是在探究的过程中，培养学生获取知识的方法和能力，以适应现代社会的需要和发展。

(3)上课让学生做主，顺着他们的想法进行课堂安排，正确的地方学生会有成功的体验，错误的地方师生一起寻找原因可以得出函数性质。

(4)做幻灯片时只考虑吸引学生，但过犹不及，部分学生会被一些好玩的小动画分散注意力； (5)平时解题只注重分析思路而忽略了板书过程，解题过程不严密。

后记：本文把课堂教学实录完整的记录下来，旨在从教学实践过程以及教学反思过程这两方面来与大家共勉。本节公开课使我受益匪浅，使我更加体会到要采用探究式教学就要重视学生的发现学习、探究学习、研究学习。正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”。

7