2020年厦门市高一上期末市质检模拟试题1

数学试题

满分为150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x+2）＜0}，B＝{x|log2（x+1）≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ） A．（﹣2，1）

B．[﹣1，0]∪[1，2） C．（﹣2，﹣1]∪[0，1] D．（0，1） 2．函数A．（0，2）

的定义域是（ ） B．[0，2]

C．（2，+∞） D．（0，+∞）

3．sin160°cos10°+cos20°sin170°＝（ ） A．

B．

C．

D．

4．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

5．化简2lg5+lg4﹣5A．0 6．已知向量A．7．A．4

的结果为（ ） B．2

，且

B．＝＝（ ） B．2

C．﹣2

D．﹣4

C．C．4

，则（ ）

D．

D．6

8．关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（

，π）单调递增

③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ B．②④

C．①④

D．①③

二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．设[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[﹣3.7]＝﹣4．给出以下命题正确的是（ ） A．若x1≤x2，则[x1]≤[x2]

B．[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2015]＝4938

，1）∪（

，π]

C．若x≥0，则可由[2sinx]＝[]解得x的范围为[

D．函数f（x）＝

2

，则函数[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为{0，﹣1}

10．已知函数f（x）＝2cos2x﹣2，下列命题中的真命题有（ ） A．∃β∈R，f（x+β）为奇函数 B．∃α∈（0，

），f（x）＝f（x+2α）对x∈R恒成立

C．∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值为D．∀x1，x2∈R，若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）

三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．

11．已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，则A∩B的子集个数为 ． 12．如图为y＝Asin（ωx+φ）（A＜0，ω＞0，13．若函数y＝sin（ωx﹣

）（ω＞0）在（0，

的图象的一段，其解析式为： ． ）上恰有

一个最大值，则ω的取值范围是 ．

14．已知函数f（x）＝x+，g（x）＝（）+m．若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣1，1]使f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是 ．

15．已知函数f（x）在R上连续，对任意x∈R都有f（﹣3﹣x）＝f（1+x）；在（﹣∞，﹣1）中任意取两个不相等的实数x1，x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立；若f（2a﹣1）＜f（3a﹣2），则实数a的取值范围是 ．

16．已知f（x）＝2|x﹣1|，记f1（x）＝f（x），f2（x）＝f（f1（x）），……，fn+1（x）＝f（fn

（x）），……若对于任意的n∈N，|fn（x0）|≤2恒成立，则实数x0的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 17．（本小题满分10分） 已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜图象关于点（

）中心对称，且过点（

）．

）的最小正周期为π，函数的

*

2

x

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若方程2f（x）﹣a+1＝0在x∈[0，

]上有解，求实数a的取值范围．

18．（本小题满分12分） 已知函数f（x）＝x+．

（Ⅰ）证明：函数f（x）是奇函数；

（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并用定义证明； （Ⅲ）若对∀x∈[2，4]，都有x+≤m恒成立，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在△OAB中，A是边BC的中点，

．

（1）用和表示向量（2）若

，

；

，DC和OA交于点E，设

，

，求实数λ的值．

20．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，点A（交于点P．

（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标； （Ⅱ）当

＝﹣时，求α的值．

|＝|

|成立？若存在，求出点M的横坐标；若），B（

），锐角α的终边与单位圆O

（Ⅲ）在轴上是否存在定点M，使得|不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记录发现，该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足P（x）＝1+（k为正的常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示：

x（天） Q（x）（件） 10 110 20 120 25 125 30 120 已知第2哦天的日销售量为126百元． （Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）给出以下三种函数模型： ①Q（x）＝a•b； ②Q（x）＝a•logbx； ③Q（x）＝a|x﹣25|+b．

请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；

（Ⅲ）求该服装的日销收入f（x）（1≤x≤30，x∈N）（百元）的最小值．

*

x

22．（本小题满分12分）

已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）＝{y|y＝f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．

（1）分别判断函数f（x）＝2017+log2017x，由； （2）函数

的定义域为D＝[a，b]，且存在反函数y＝f（x），若函数f

﹣1

﹣1

x

在（0，1）上是否封闭，说明理

（x）在D上封闭，且函数f（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围； （3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）⊊D，其中fn+1（x）＝f（fn（x））（n∈N），f1（x）＝f（x），证明：存在D的真子集，Dn⊊Dn

﹣1

*

⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i＝1，2，3，…，n）上封闭．

2020年厦门市高一年期末考试模拟1

数学试题参

一．选择题（共8小题）

1．【解答】解：已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}， B＝{x|log2（x+1）≤1}＝{x|﹣1＜x≤1}，

B∩（∁UA）＝{x|﹣1＜x≤1}∩{x|x≤﹣2或x≥0}＝{x|0≤x≤1}， A∩（∁UB）＝{x|﹣2＜x＜0}∩{x|x≤﹣1或x＞1}＝{x|﹣2＜x≤﹣1}，

所以阴影部分对应的集合为[B∩（∁UA）]∪[A∩（∁UB）]＝{x|0≤x≤1}∪{x|﹣2＜x≤﹣1}， 故选：C．

2．【解答】解：要使函数有意义，则

，

得得x＞2，

即函数的定义域为（2，+∞）， 故选：C．

3．【解答】解：sin160°cos10°+cos20°sin170°＝sin20°cos10°+cos20°sin10° ＝sin（20°+10°）＝sin30°＝， 故选：D．

4．【解答】解：∵f（x）＝∴f（﹣x）＝

＝﹣

，x∈[﹣π，π]，

＝﹣f（x），

∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A； 又f（

）＝

，因此排除B，C；

故选：D．

5．【解答】解：原式＝2lg5+2lg2﹣2＝2（lg5+lg2）﹣2＝0． 故选：A． 6．【解答】解：向量

，且

＝﹣4

，

可得即为3

﹣＝4（

+4．

﹣，

），

＝﹣+

即＝﹣故选：D．

7．【解答】解：＝

＝

＝

＝＝

＝

＝

＝﹣4

故选：D．

8．【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确， 当x∈（

，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，

则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，

当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx， 由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，

由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3

个零点，故③错误，

当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确， 故正确是①④， 故选：C．

二．多选题（共2小题）

9．【解答】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴对任意的实数x1≤x2，有[x1]≤[x2]，∴A正确；

∵lg1＝0，lg10＝1，lg100＝2，lg1000＝3，∴[lg1]＝[lg2]＝[lg3]＝[lg4]＝…＝[lg9]＝0， [lg10]＝[lg11]＝…＝[lg99]＝1，[lg100]＝[lg102]＝…＝[lg999]＝2，[lg1000]＝[lg1001]＝…＝[lg2015]＝3，

∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]＝9×0+90×1+900×2+1016×3＝4938，∴B正确； 当x＝误； 函数f（x）＝

﹣＝

﹣∈（﹣，），

时，[2sinx]＝1，[]＝0，∴x的取值范围不是[

，1）∪（

，π]，∴C错

同理，f（﹣x）∈（﹣，），

当f（x）∈（﹣，0）时，f（﹣x）∈（0，），∴[f（x）]＝﹣1，[f（﹣x）]＝0， ∴[f（x）]+[f（﹣x）]＝﹣1，

同理当f（﹣x）∈（﹣，0）时，f（x）∈（0，），∴[f（x）]＝0，[f（﹣x）]＝﹣1， ∴[f（x）]+[f（﹣x）]＝﹣1，

当f（x）＝0时，f（﹣x）＝0，∴[f（x）]＝0，[f（﹣x）]＝0， ∴[f（x）]+[f（﹣x）]＝0，

综上，y＝[f（x）]+[f（﹣x）]＝{﹣1，0}，∴D正确． 故选：ABD．

10．【解答】解：由题意，f（x）＝2cos2x﹣2＝cos4x﹣1； ∵f（x）＝cos4x﹣1的图象如图所示；

函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位， 它不会是奇函数的，故A错误；

2

f（x）＝f（x+2α），∴cos4x﹣1＝cos（4x+8α）﹣1， ∴8α＝2kπ，∴α＝又α∈（0，

，k∈Z；

或

时，

），∴取α＝

∴f（x）＝f（x+2α）对x∈R恒成立，B正确； |f（x1）﹣f（x2）|＝|cos4x1﹣cos4x2|＝2时， |x1﹣x2|的最小值为＝当f（x1）＝f（x2）＝0时， x1﹣x2＝kT＝k•故选：BC．

＝

（k∈Z），∴D错误； ＝

，∴C正确；

三．填空题（共6小题）

11．【解答】解：∵A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}， ∴A∩B＝{﹣2，0，1}，

∴A∩B的子集个数为：2＝8个． 故答案为：8．

12．【解答】解：由函数的图象可知，A＝﹣所求解析式为y＝﹣点（|φ|＜

sin（2x+φ）

sin（2×

+φ） ，T＝

＝π，ω＝

＝2

3

，0）在图象上，0＝﹣由此求得φ＝

sin（2x+

∴所求解析式为y＝﹣故答案为：y＝﹣

）

sin（2x+）．

13．【解答】解：∵x∈（0，∴y＝sin（ωx﹣

），ω＞0，∴﹣

＝；

）上恰有一个最大值，

，即x＝

， ；

）的第一个最大值出现在ωx﹣

＝

，即x＝

第二个最大值出现在ωx﹣∵函数y＝sin（ωx﹣∴

∴5＜ω≤17．

）（ω＞0）在（0，，∴

，

∴ω的取值范围是（5，17]． 故答案为：（5，17]．

14．【解答】解：x∈[1，2]时，f（x）＝x+，f′（x）＝2x﹣为递增函数，f（x）min＝f（1）＝1+2＝3，

g（x）＝（）+m在[﹣1，1]上是递减函数，∴g（x）min＝（）+m＝+m， ∴∀x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣1，1]使f（x1）≥g（x2）等价于3≥+m，解得m≤． 故答案为：m≤．

15．【解答】解：由f（﹣3﹣x）＝f（1+x）可知函数f（x）关于直线x＝﹣1对称； 在（﹣∞，﹣1）中任意取两个不相等的实数x1，x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立；

可知函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，由对称性可知函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递增，

不妨设f（x）＝（x+1），则由f（2a﹣1）＜f（3a﹣2）可得4a＜（3a﹣1）， 整理得5a﹣6a+1＞0，即（a﹣1）（5a﹣1）＞0， 解得

或a＞1，所以实数a的取值范围是

．

．

2

2

2

2

x

1

2

＝≥0，∴f（x）

故答案为：

16．【解答】解：f（x）＝2|x﹣1|的对称轴为x＝1，且f（x）在（﹣∞，1）递减，（1，+∞）递增，

可得x＝1时，取得最小值0，由n＝1时，|f1（x0）|≤2恒成立，可取0≤x0≤1；

当n＝2时，f2（x）＝f（f1（x））＝2|2|x﹣1|﹣1|，即有f2（0）＝f2（1）＝f2（2）＝2， f2（x）的零点为，，可取0≤x0≤，满足题意；

当n＝3时，可得f3（0）＝f3（）＝f2（1）＝f2（）＝f3（2）＝2， f3（x）的零点为，，，，可取0≤x0≤，满足题意；

当n＝4时，可得f4（0）＝f4（）＝f4（）＝f4（）＝f4（1）＝f4（）＝f4（）＝f4（）＝f4（2）＝2，

f4（x）的零点为，，，，，…，

归纳可得当0≤x0≤故答案为：[0，

]．

时，|fn（x0）|≤2恒成立．

，

，

，可取0≤x0≤，满足题意；

四．解答题（共6小题）

17．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的最小正周期为T＝由ω＞0，得ω＝2； 由函数f（x）的图象关于点（∴2×又|φ|＜

+φ＝kπ，φ＝﹣，∴φ＝﹣

； ），

）＝1，解得A＝2，

）；

）中心对称，

＝π，

+kπ，k∈Z；

又f（x）过点（∴Asin（2×

﹣

∴函数f（x）＝2sin（2x﹣

（II）方程2f（x）﹣a+1＝0， ∴a＝4sin（2x﹣又x∈[0，∴sin（2x﹣

）+1；

∈[﹣

，

]，

]，∴2x﹣

）∈[﹣，1]，

∴4sin（2x﹣）+1∈[﹣1，5]，

∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．

18．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}， ∀x∈{x|x≠0}，都有﹣x∈{x|x≠0}，

且f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣（x+）＝﹣f（x）， 所以，函数f（x）为奇函数；

（Ⅱ）判断：f（x）在区间（2，+∞）上单调递增． 证明：∀x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2， 有f（x1）﹣f（x2）＝（x1+＝（x1﹣x2）+（

﹣

）

）﹣（x2+

）

＝

（x1x2﹣4）

∵2＜x1＜x2，

∴x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，x1﹣x2＜0， ∴

（x1x2﹣4）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数f（x）在区间[2，4]上是增函数， 所以f（x）max＝f（4）＝5，

因为对∀x∈[2，4]，都有x+≤m恒成立， 所以f（x）max≤m， 即m≥5． 19．【解答】解：（1）

＝（2）设则

＝＝μ

＝+2（＝2μ﹣

＝）＝2，

＝（2+2μ）﹣（1+

），

＝﹣

＝2﹣

＝2．

＝2﹣；

＝2﹣+2μ﹣

又＝λ，

∴，

解得λ＝．

20．【解答】解：（ I）P（cosα，sinα）．…2分 （

II

）

，

因为，所以

．…6分

，即，

因为α为锐角，所以（Ⅲ） 法一： 设M（m，0）， 则

，

，

因为|所以

|＝||，所以

对任意

， 成立，

所以，所以m＝﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分

法二：设M（m，0）， 则

，

因为|所以

|＝|

|，

，即m﹣2mcosα﹣4cosα﹣4＝0，（m+2）[（m﹣2）

2

，

﹣2cosα]＝0，

因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα＝0不能总成立， 所以m+2＝0，即m＝﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分． 21．【解答】解：（1）依题意有：f（20）＝P（2）•Q（20）， 即（1+

）×120＝126，所以k＝1． …（2分）

（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调， 故只能选③Q（x）＝a|x﹣25|+b．…（4分）

从表中任意取两组值代入可求得：Q（x）＝﹣|x﹣25|+125＝125﹣|x﹣25|． …（6分） （3）∵Q（x）＝125﹣|x﹣25|＝

，

∴f（x）＝．…（8分）

①当1≤x＜25时，x+在[1，10]上是减函数，在[10，25）上是增函数，

所以，当x＝10时，f（x）min＝121（百元）． …（10分） ②当25≤x≤30时，

﹣x为减函数，

所以，当x＝30时，f（x）min＝124（百元）． …（11分） 综上所述：当x＝10时，f（x）min＝121（百元）．

22．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），

所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分） t＝x+1∈（1，2）

g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分） （2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D． 函数f（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D）， 得到：D＝f（D）．…（2分）则f（a）＝a，f（b）＝b

，

在D＝[a，b]单调递增． 在[﹣1，+∞）两不等实根．

﹣1

，

故，解得．

另解：令故解得

2

在[﹣1，+∞）两不等实根．

k+1＝t﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根， ．

（3）如果f（D）＝D，则fn（D）＝D，与题干矛盾． 因此f（D）⊊D，取D1＝f（D），则D1＝f（D），则D1⊊D．

接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D﹣D1， 则p是唯一的使得f（x）＝f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）． 考虑到p∈D﹣D1，即D1⊆D，

因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D﹣{p}）＝f（D）﹣{f（p）}＝D1﹣{f（p）}⊊D1 这样就有了f（D1）⊊D1．

接着令Dn+1＝f（Dn），并重复上述论证证明Dn+1⊊Dn．