多元微积分A(下) 期末复习题解答

复习题2

一、填空题（每小题4分，共20分）

1. 设曲线L:x2y24 ，则曲线积分(xy1)x2y2dsLL8．

2．若在全平面上曲线积分（axysinx)dx(x2cosy)dy与路径无关，则常数

a 2 .

3．向量场Fexsiny,excosy,xylnz的散度 divFxyz．

4．设球面：x2y2z2R2的质量面密度(x,y,z)x2y2z2，则球面构件的质量为

4R3．

14xxn5. 幂级数n1在收敛区间上的和函数s(x)（4,4）n04 二、单项选择题（每小题3分，共18分）

．

1．设有向曲线L为yx，从点(1,1)到点(0,0)，则f(x,y)dx（ B ）.

LA . C.

10f(x,x)dx; B. f(y2,y)dy;

D.

0110f(x,x)dx; 2yf(y2,y)dy.

012．设曲面质量分布均匀，且曲面的面积A3，曲面的质心是(2,1,0)，则ydS（ A ）．

A . 3; B. 2; C. 0; D. 1.

3．设曲面为z1（0x1,0y1）的上侧，则（ D ）. A . C.

zdxdy1; B. zdydz1;

zdzdx1; D. zdxdy1.

多元微积分 A （下） 补考试卷解答 第 1 页 共 6页

4. 下列正项级数中收敛的是（ B ）.

n5n3nA. ; B. ; nn4n02n1C. n11n;

D.

n1. 2n1n5. 幂级数n1(1)nnx（ C ）. nA. 在x1，x1处均发散; B. 在x1处收敛，在x1处发散; C. 在x1处发散，在x1处收敛; D. 在x1，x1处均收敛.

1x,x06． 设f(x)是以2为周期的函数，在一个周期内f(x) ，

0x1x,则f(x)的傅里叶级数在点x0处收敛于（ B ）.

A. 2;

三、（6分）设曲线L:y2x1（0x1）上任意一点处的质量密度为

B. 1; C. 0; D. 1.

(x,y)xy，求该曲线构件的质量M.

解： y2，ds5dx， （1分）

Mxyds （3分）

Lx(2x1)5dx （5分）

0175 （6分） 6

四、（6分）求质点在平面力场F(x,y)yi2xj作用下沿抛物线L：y1x2从

点(1,0)移动到点0,1所做的功W的值.

解： Wydx2xdy （2分）

L1x22x(2x)dx （4分）

10（15x2)dx （5分）

10多元微积分 A （下） 补考试卷解答 第 2 页 共 6页

2 （6分） 3

五、（7分）利用格林公式计算曲线积分(y2cosxy)dx(2ysinx3x1)dy，

L其中曲线L为x2y21的右半部分，从A(0,1)到B(0,1).

解： L1:x0，y从1到1， （1分）

Py2cosxy,QP2ycosx3,（2分） 2ycosx1, Q2ysinx3x1,xyLL1PdxQdy（DQP)dxdy2dxdy， （5分） xyD11又

L1PdxQdydy2 （6分）

所以(y2cosxy)dx(2ysinx3x1)dy2 （7分）

L

六、 （6分）利用对面积的曲面积分计算旋转抛物面：z1x2y2在xoy面上方部分的面积．

22解： z1x2y2，zx2x,zy2y,dS14x4ydxdy， （1分）

AdS （2分）

14x24y2dxdy （4分）

D  20d142d （5分）

01551 （6分） 6

七、（6分）利用高斯公式计算曲面积分

xydydzyzdzdxyzdxdy, 其中为

圆锥面zx2y2及平面z0，z1所围成的圆锥体的整个边界曲面的外侧． 解： Pxy,Qyz,Ryz，

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xydydzyzdzdxyzdxdy(PQR)dvzdv （3分） xyz  20ddzdz （5分）

0114 （6分）

(x3)n八、（6分）求幂级数的收敛区间. n(n1)5n0解： anan11n11，， （2分） limlimnan5(n2)(n1)5n5n1 R5 （4分）

收敛区间为x35，即（2,8） （6分）

九、（7分）判别交错级数(1)nsinn11 是否收敛? 如果收敛，通过推导，指出n是绝对收敛还是条件收敛. 解： unsin10，limun0，un 单调递减，

nn由莱布尼茨申敛法知，交错级数(1)nsinn11收敛。 （3分） n111 又 (1)nsinsin~，

nnn1所以(1)nsin发散， （6分）

nn1故交错级数(1)nsinn11为条件收敛. （7分） n

xn十、( 7分 )求幂级数的和函数，并求数项级数 nn2n1多元微积分 A （下） 补考试卷解答 第 4 页 共 6页

(1)n1(1)n1111 n23nn1的和.

xn解： 设s(x)， nn1n2两边求导得 s(x)n1xn11（2x2）， （2分） n2x2x两边积分得s(x)s(0)ln(1) ，又s(0)0， （4分）

2(1)n1当x2时，收敛；当x2时，发散，

nn1nn1x所以 s(x)ln(1)， （2x2）， （6分）

2(1)n(1)n1(1)n111令x2，ln2 ，1ln2 （7分）

nn23nn1n1十一、（6分）将函数f(x)x展开为x的幂级数．

(1x)21解： ， （2分） xn （1x1）

1xn01n1两边求导得（1x1）， （4分） nx2(1x)n1xn 所以 （1x1） （6分） nx2(1x)n1

十二、（5分）证明数项级数cos(n!)绝对收敛． 2nn1多元微积分 A （下） 补考试卷解答 第 5 页 共 6页

证明：

cos(n!)1 （2分） n2n21cos(n!)因为2收敛，由比较审敛法知收敛， （4分） 2nnn1n1所以数项级数

cos(n!)绝对收敛． （5分） 2nn1

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