概率高考题理科

1某种有奖销售的饮料，瓶盖印有“奖励一瓶”或“购买”字样，购买一瓶若其瓶盖印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1．甲、乙、丙6三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ

解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P(A)P(B)P(C)1,6

1525P(ABC)P(A)P(B)P(C)()2.66216

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是

25 216 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。

15P(k)C34()k()3k,k0,1,2,3. 66所以中奖人数的分布列为



0 1 2

5 723

1 216

25125

7221612525511E0123

21672722162.P

2如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为．

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（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

）解：

记A1表示事件，电流能通过T1,I1,2,3,4. A表示事件：T1,T2,T3中至少有一个能通过电流， B表示事件：电流能在M与N之间通过。 （I）AA1A2A3,A1,A2,A3相互独立，

P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(1p)3.

又P(A)1P()10.9990.001, 故(1p)20.001,p0.9.

（III）由于电流能通过各元件的概率都是，且电流能通过各元件相互独立。

故~B(4,0.9)

E40.93.6.

3 设进入某商场的每一位顾客购买甲商品的概率，购买乙商品的概率为，且顾客购买甲商品与购买乙商品相互独立，每位顾客间购买商品也相互独立．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）设是进入商场的3位顾客至少购买甲、乙商品中一种的人数，求的分布列及期望．

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解：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏了． （Ⅰ）P0.5(10.6)(10.5)0.60.20.30.5 （Ⅱ）P1(10.5)(10.6)0.8 （Ⅲ）可取0，1，2，3．

P(0)C30(10.8)30.008

1P(1)C3(10.8)20.80.096

3P(2)C32(10.8)0.820.384 P(3)C30.830.512 的分布列为  0 1 2 3 P ~B(3,0.8) E30.82.4

4为振兴旅游业，省2009年面向国发行总量为2000万的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到名胜旅游，其中

1324是省外游客，其余是省游客。在省外游客中有3持金卡，在省游客中有3持银卡。

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II）在该团的省游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 Word 文档

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解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省游客有9人，其中6人持银卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

P(B)P(A1)P(A2)

12111C9C21C9C6C2133CC3636 927 34170

36 85

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人

36的概率是85。

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3

312C3C6C13P(0)3P(1)33C914 C984,

213C6C315C615P(2)3P(3)3C921， C928，

所以的分布列为

 P 0 184 1 314 2 1528 3 521 所以

E013155123284142821，

5厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批 Word 文档

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产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E，并求该商家拒收这批产品的概率.

解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有PA1PA10.240.9984 （Ⅱ）可能的取值为0,1,2

211C17C32C3C17511363 P02，P12，P22

C20190C20190C20190

 P 0 136 1901 51 1902 3 190E0136513312 19019019010记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

P1PB113627 1909527 95所以商家拒收这批产品的概率为

6一接待中心有A、B、C、D四部热线，已知某一时刻A、B占线的概率均 Word 文档

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为，C、D占线的概率均为，各部是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

解：P(ξ=0)=×=.

11 P(ξ=1)=C2 ××+C2 ×××=

11C2 P(ξ=2)= C22 ××+C2×××+C22 ××=. 112C2 P(ξ=3)= C22C2×××+C2××=

P(ξ=4)= ×=

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

ξ P 0 1 2 3 4 所以Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.

7某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

（I）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；

（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。 ．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3． 22

CC43189

P(ξ＝0)＝·＝＝ 2210050CC55

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12211CCCC·C4343212

P(ξ＝1)＝·＋·＝ 222225CCCC555511122C·CCC4324215

P(ξ＝2)＝·＋·＝ 222250CCCC5555

C12C421

P(ξ＝3)＝·＝．

2225CC55

Cξ的分布列为

ξ P 0 9 501 12 252 15 503 1 25数学期望为Eξ＝． (Ⅱ)所求的概率为

15117

p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝

502550

8 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96． A：

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列

解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， S

A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则A0，A1互斥，且AA0A1，故

F

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C

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P(A)P(A0A1)

P(A0)P(A1)

(1p)2C12p(1p)

1p2

于是0.961p2．

解得p10.2，p20.2（舍去）． （2）的可能取值为01，，2．

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故

2C80316． P(0)2C100495

1C116080C20． P(1)2C100495

C219． P(2)220C100495所以的分布列为

 P 0 316 4951 160 4952 19 4959购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度至少支付赔偿金10 000元的概率为10.99910．

（Ⅰ）求一投保人在一年度出险的概率p；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000 Word 文档

4 .

人中出险的人数为，则~B(104，p)．

（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A发生当且仅当0，

P(A)1P(A)1P(0)1(1p)10，

4又P(A)10.99910，故p0.001．

（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000，

盈利 10000a(1000050000)，

盈利的期望为 E10000a10000E50000，

103)知，E10000103， 由~B(104，4E104a104E5104104a1041041035104．

E0104a1041051040a105≥0a≥15（元）．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

10 如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已

知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.

某商家按上述投球式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则

分别设为1，2，3等奖.

（I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机

变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布 列及数学期望Eξ.

（II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，

记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，

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求P（η=2）.

（Ⅰ）解：由题意得的分布列为



50% 70% 90%

7 16

33

8163373则E50%70%90%.

168164P

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为

9) 16991701则P(2)C12()2(1).

16164096339. 16816由题意得B(3, Word 文档