六年级奥数第21讲“不变量”解题

一、知识要点

一些分数的分子与分母被施行了加减变化,解答时关键要分析哪些量变了,哪些量没有变.抓住分子或分母,或分子、分母的差,或分子、分母的和等等不变量进行分析后,再转化并解答. 二、精讲精练

【例题1】将

437的分子与分母同时加上某数后得,求所加的这个数. 619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数,所以分数的分子与分母的差不变,仍是18,所

以,原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18,切分子是分母的 ,由此可求出新分数的分子和分母.” 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81 分子：81× ＝63 81-61＝20或63-43＝20

解法二： 的分母比分子多18, 的分母比分子多2,因为分数的与分母的差不变,所以将 的

分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍.

7

的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 94361

79

79

79

79

79

777×963

约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝

99×9819

所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20.

练习1： 1、分数

2、分数 的分子、分母同加上一个数后得 ,那么同加的这个数是多少？

3、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数,新的分数约分后是 ,那么减去的数是

1

972

的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是 ,那么减去的数是多少？ 1815

11335

587923

多少？

【例题2】将一个分数的分母减去2得 ,如果将它的分母加上1,则得 ,求这个分数. 解法一：因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2得 ”

可知,分母比分子的 倍还多2.由“分母加1得 ”可知,分母比分子的 倍少1,从而将原题转化成一个盈亏问题.

分子：（2+1）÷（ － ）=12 分母：12× -1＝17

解法二：两个新分数在未约分时,分子相同.

①将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3. ＝ ＝ , ＝ ②原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 答：这个分数为 . 练习2：

1、将一个分数的分母加上2得 ,分母加上3得 .原来的分数是多少？

34

2、将一个分数的分母加上3得 ,分母加上2得 .原来的分数是多少？

45

3、将一个分数的分母加上5得 ,分母加上4得 .原来的分数是多少？

4、将一个分数的分母减去9得 ,分母减去6得 .原来的分数是多少？

2

4523

45

2332

32

32

23461218451215

1217

7934

3749

5874

【例题3】在一个最简分数的分子上加一个数,这个分数就等于 .如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于 ,求原来的最简分数是多少.

解法一：两个新分数在未约分时,分母相同.将这两个分数化成分母相同的分数,即 = , = .根据题意,两个新分数分子的差应为2的倍数,所以分别想 和 的分子和分母再乘以2.所以

510201714 ＝ ＝ , ＝ ＝ 7142821428714

1014

714

57

1014

12

12

57

故原来的最简分数是 .

解法二：根据题意,两个新分数的和等于原分数的2倍.所以

（ + ）÷2＝ 答：原来的最简分数是 . 练习3：

1、一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于 .如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于 ,求这个分数.

2、一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于 .如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于 ,求这个分数.

【例题4】将一个分数的分母加3得 ,分母加5得 .原分数是多少？

解法一：两个新分数在未约分时,分子相同.将两个分数化成分子相同的分数,即 ＝ , ＝

212121

.根据题意,两个新分数的分母应相差2,而现在只相差1,所以分别将 和 的282728分子和分母再同乘以2.则 ＝ ＝ , ＝ ＝ .所以,原分数的分母是（－3＝）51.原分数是 .

42

51

79

2127

42

34

2128

4256

79

2127

34

79

34

13

67

12

58

1728

57

12

1728

1728

3

解法二：因为分子没有变,所以把分子看做单位“1”.分母加3后是分子的 ,分母加5后是

分子的 ,因此,原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42.原分数的分母是42÷7×9-3=51,原分数是 . 练习4：

1、一个分数,将它的分母加5得 ,加8得 ,原来的分数是多少？（用两种方法）

2、将一个分数的分母减去3,约分后得 ；若将它的分母减去5,则得 .原来的分数是多少？

（用两种方法做）

3、把一个分数的分母减去2,约分后等于 .如果给原分数的分母加上9,约分后等于 .求原

分数.

【例题5】有一个分数,如果分子加1,这个分数等于 ；如果分母加1,这个分数就等于 ,这个分数是多少？

根据“分子加1,这个分数等于 ”可知,分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于 ”可知,分母比分子的3倍少1.所以,这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3,分母是3×2+2=8.所以,这个分数是 .

练习5：

4

97

434397

4251

55

6778

3457

1213

12

13

38

1、一个分数,如果分子加3,这个分数等于 ,如果分母加上1,这个分数等于 ,这个分数是多少？

2、一个分数,如果分子加5,这个分数等于 ,如果分母减3,这个分数等于 ,这个分数是多少？

三、课后练习

35

1、 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ,那么加上的数是多少？ 197

2、将一个分数的分母加上2得 ,分母加上2得 .原来的分数是多少？

3、一个分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于 .如果在它的分子上减去同一个数,这个分数就等于 ,求这个分数.

4、一个分数,如果分子减1,这个分数等于 ；如果分母加11,这个分数等于 ,这个分数是多少？

5

1213

1213

3445

79

35

1213