2020-2021学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期期末考试数学试题

高一数学

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间

120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.） ．．．．．．．．．．．．

1．如图，ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中OCOA2OB，则以下说法正确的是（ ） A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等边三角形

2．已知直线l1：2x+(a+5)y－8＝0，l2：(a+3)x+4y+3a－5＝0平行，则实数a的值为（ ） A．﹣1或﹣7

B．﹣7

C．﹣1

D．

13 33. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（ ） A．圆锥

B．圆柱

C．三棱锥

D．正方体

4．已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（ ） A．一定异面 B．一定相交

C．不可能平行 D．不可能相交

5．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ） A．平面ADC⊥平面BCD C．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ABD⊥平面ABC

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( ) A．30°

B．45° C．60° D．90°

7．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是4501350，则实数m的取值范围是（ ） A．0＜m≤2 C．2≤m＜4

B．0＜m＜4

D．0＜m＜2或2＜m＜4

8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（ ） A．若α∥β，则m⊥α C．若l⊥m，则l∥β

B．若α∥β，则l⊥m D．若m∥α，则α⊥β

9．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （ ） A．只有唯一值

B．有两个不同的值

C．有三个不同的值 D．无穷多个值

10．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（ ）

A．73,5， 3B．73,5

C．33,5 D．13,5 311．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，若阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积等于50π，则鳖臑C1﹣ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（ ）

A．5

B．41 D．8

C．5212．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）

A．2 B．1 C．

8 3D．

4 3第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） ．．．．．．．．．

13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为 ． 14．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2

的距离为________．

15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2 ，其余各棱长都为1， 则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________．

16．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5． 18．（本小题满分12分）

在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下 底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．

19．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E,F分别为线段DD1,BD的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；

(2)四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16，求异面直线EF与BC所成的角的大小．

20．（本小题满分12分）

在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的角平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

21．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥PC；

(2)在棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？若存在描述F的位置并证明，若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点． （1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1； （2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．

兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题

高一数学

命题人:陈小豹 审题人：刘雪峰

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间

120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.） ．．．．．．．．．．．．

1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是（ ）

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等边三角形 答案 C

2．已知直线l1：2x+(a+5)y－8＝0，l2：(a+3)x+4y+3a－5＝0平行，则实数a的值为（A．﹣1或﹣7 B．﹣7

C．﹣1

D．

答案 B

3. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（A．圆锥 B．圆柱

C．三棱锥

D．正方体

答案 B

4．已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（ ） A．一定异面 B．一定相交

C．不可能平行 D．不可能相交

答案 C

5．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ） A．平面ADC⊥平面BCD

B．平面ABC⊥平面BCD

） ） C．平面ABD⊥平面ADC 答案 A

D．平面ABD⊥平面ABC

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( ) A.30° 答案 C

B.45° C.60° D.90°

7．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是值范围是（ ） A．0＜m≤2 C．2≤m＜4 答案 B

B．0＜m＜4

，则实数m的取

D．0＜m＜2或2＜m＜4

8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（ ） A．若α∥β，则m⊥α C．若l⊥m，则l∥β 答案C

9．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （ ） A．只有唯一值

B．有两个不同的值

B．若α∥β，则l⊥m D．若m∥α，则α⊥β

C．有三个不同的值 D．无穷多个值

答案 C

10．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（ ） A．答案 A

11．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，若阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积等于50π，则鳖臑C1﹣ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（ ） A．5 答案 C

12．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ） A．2 答案 D

B．1

C．

D．

B．

C．

D．8

，

B．

，5

C．

，

D．

，5

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） ．．．．．．．．．13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为 2 . 答案 2.

14．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________.

答案

3 215．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为2 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

答案

3 316．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

答案

12

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

18．（本小题满分10分） 根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.

解 (1)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y

12－a＝1，

又直线过点(－3，4)，

从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0.

由点线距离公式，得|10－5k|k＋15，解得k＝3

2＝4.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 22．（本小题满分12分）

在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．

【解答】解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后， 所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体； 则该组合体的表面积为 S组合体＝S圆锥侧+S圆柱侧+S半球 ＝π×3×3

+2π×3×3+×4π×32

＝（9+36）π；

组合体的体积为

V组合体＝V圆锥+V圆柱﹣V半球

＝×π×32×3+π×32×3﹣××π×33

＝18π．

23．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E,F分别为线段DD1,BD的中点.

(1)求证：EF∥平面ABC1D1；

(2)四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16， 求异面直线EF与BC所成的角的大小.

证明：（1）连接BD1，在DD1B中，E,F分别为线段DD1,BD的中点，∴EF为中位线，

∴

EF∥D1B，而D1B面ABC1D1，EF面ABC1D1，

∴EF∥平面ABC1D1.………………6分

（2）由（1）知EF∥D1B，故D1BC即为异面直线EF与BC所成的角. ∵四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为16， ∴四棱柱ABCDA1B1C1D1的外接球的半径R2，

12a442AAa21设，则，解得a22，

在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，∵BC平面CDD1C1，CD1平面CDD1C1， ∴BCCD1，在RTD1C1C中，BC2,CD123,D1CBC，

∴

tanD1BCD1C3,D1BC60BC，

∴异面直线EF与BC所成的角为60.………………12分

24．（本小题满分12分）

在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的角平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

x－2y＋1＝0，x＝－1，

解：由方程组得

y＝0，y＝0.

所以点A的坐标为(－1,0)．

所以直线AB的斜率kAB＝1，又x轴是∠BAC的角平分线，

所以kAC＝－1，

则AC边所在直线的方程为y＝－(x＋1)． ① 又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， 故直线BC的斜率kBC＝－2， 所以BC边所在的直线方程为 y－2＝－2(x－1)． ②

x＝5，

由①②得

y＝－6，

即点C的坐标为(5，－6)．

25．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． （1）求证：BD⊥PC；

（2）在棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？若存在，求出PF的位置，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，BD⫋平面ABCD， 所以PA⊥BD，又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD， 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC， 所以BD⊥PC；

（2）当F为PB中点时，CF∥平面PAE

理由如下：设AB的中点为M，连接MF，MC，CF， M，F分别是AB，PB的中点，MF∥PA，

又AM∥EC，AM＝CE，即四边形AMCE是平行四边形 所以MC∥AE，

又MF∩MC＝M，PA∩PE＝A， 所以平面MFC∥平面PAE，

CF平面MFC， 所以CF∥平面PAE．

22．（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1

＝6，M是棱CC1的中点．

（1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1； （2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点． ∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， ∴CC1⊥AC．

又M为CC1中点，AC＝CC1＝6， ∴

．

同理可得，

∴MO⊥AB1． 连接MB，同理可得

，

∴MO⊥A1B．

又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B⊂平面ABB1A1， ∴MO⊥平面ABB1A1， 又MO⊂平面AB1M， ∴平面AB1M⊥平面ABB1A1． （2）解：易得A1O⊥AB1， 由（1）平面AB1M⊥平面ABB1A，

平面AB1M∩平面ABB1A1＝AB1，A1O⊂平面ABB1A1， ∴A1O⊥平面AB1M．

∴∠A1MO即为A1M与平面AB1M所成的角． 在Rt△AA1B1中，

，

在Rt△A1OM中，．

所以A1M与平面AB1M所成角的正弦值为

．