导数及其应用学生版

考纲导读 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.

2. 熟记八个基本导数公式(c,xm(m为有理数)，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．知识网导数的概念导数导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值高考导航 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.

第一课时 导数概念与运算

【学习目标】

1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；

2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算； 【考纲要求】

导数为B级要求 【自主学习】

1．导数的概念：函数y＝与自变量的增量Δ

x的比

f(x)的导数f(x)，就是当

Δx0时，函数的增量Δy

yx的 ，即f(x)＝ ＝ ．

2．导函数：函数y＝f(x)在区间(a, b)内 的导数都存在，就说f(x)在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做f(x)的 ，记作f(x)或yx，函数f(x)的导函数f(x)在xx0时的函数值 ，就是f(x)在

x0处的导数.

3．导数的几何意义：设函数y＝

f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函

数所表示曲线在相应点M(x0,y0)处的 .

4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式

(C)＝ ； (xn)＝ ；(n∈Q) ＝ ， (cosx)＝ (sinx)(ex)＝ ， (ax)＝ (lnx)＝ ， (logax)＝

(2) 导数的四则运算

(uv)(uv)＝ [Cf(x)]＝ )＝ (v0) ＝ ，(uv

【基础自测】

1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为 .

yx2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f(x)= . 3.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围



是0,，则点P横坐标的取值范围为 . 414.曲线在y=x3x25在x=1处的切线的方程为 . 35.设曲线yeax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .

第二课时 导数在函数中的应用

【学习目标】

1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；

2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B级 【自主学习】 1． 函数的单调性

⑴ 函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f(x)＞0，则f(x)为 ；若f(x)＜0，

则f(x)为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有

f(x)0，则f(x) .

注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.

(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

① 确定函数f(x)的 ；

② 求f(x)，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数

f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小

f(x)的定义区间分成若干个小区间；

到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数

④ 确定f(x)在各小开区间内的 ，根据f(x)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性.

2．可导函数的极值

⑴ 极值的概念：设函数

f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 （或 ），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值．称x0为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数f(x)； ② 求方程

f(x)＝0

的 ；

f(x)＝0

③ 检验f(x)在方程的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧

附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为

f(x)在这个根处取得 .

负，右侧为正，那么函数y＝3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y＝f(x)是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝函数y＝

f(x)在(a ,b )内有导数，则

f(x)在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值

与最小值．

(2) 求最值可分两步进行： ① 求y＝② 将y＝

f(x)在(a ,b )内的 值；

f(x)的各 值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最

小的一个为最小值. (3) 若函数y＝

f(x)在[a ,b ]上单调递增，则f(a)为函数的 ，f(b)为函

数的 ；若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递减，则f(a)为函数的 ，

f(b)为函数的 . [典型例析]

例1已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，

2时，y=f(x）有极值. 3（1）求a,b,c

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

例2已知f(x)=ex-ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

若x=

第三课时 导数的综合运用

【学习目标】

1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；

2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。

【高考要求】B级

【自主学习】

1、曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为___________ 2若函数f(x)=x-ax+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为 .

3

2

3使函数f(x)=x+2cosx在［0，

2］上取最大值的x为 .