高考数学试卷

黄冈中学2010届高考模拟试卷 数学（理科）（二）

命题人：潘际栋 审题人：王宪生 校对人：潘际栋

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、下列不等式中，若将“>”换成“≥”后不等式的解集不发生改变的是（ ）

A． B．|x2－4x＋4|>4

C． D．

2、已知不等式|x－m|<1成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

3、设复数，(a，b∈R)，那么点P(a，b)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

1

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4、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知状是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

，则△ABC的形

5、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x＋1)≤f(x)＋1，f(x＋5)≥f(x)＋5，则f(6)的值是（ ）

A．6 B．5 C．7 D．不能确定

6、已知x，y满足且目标函数z=2x＋y的最大值为7，最小值为1，则=（ ）

A．－2 B．2 C．1 D．－1

7、定义：一个没有重复数字的n位正整数(n≥3，n∈N*)，各数位上的数字从左到右依次成等差数列，称这个数为期望数，则由1，2，3，4，5，6，7构成的三位数中期望数出现的概率为（ ）

A． B．

C． D．

8、椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为（ ）

A．（5，0），（－5，0）

B．

2

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C．

D．（0，－3），（0，3）

9、取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12

个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a2；⑤体积为．以上结论正确的是（ ）

A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③④⑤

10、定义区间(c，d)，[c，d)，(c，d]，[c，d]的长度均为d－c，其中d>c，已知实数a>b，则满足

的x构成的区间长度之和为（ ）

A．1 B．a－b C．a＋b D．2

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)

11、已知f(x)=|x＋3|＋|x－7|的最小值为m，则展开式中的常数项是__________．

12、设x，y，z是正实数，满足xy＋z=(x＋z)(y＋z)，则xyz的最大值是__________．

13、已知函数f(x)是区间[－1，＋∞）上的连续函数，当x≠0时，，则f(0)等于__________．

14、已知曲线方程f(x)=sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m=0都不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围为__________．

3

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15、如图所示，已知∠AOB=1rad，点A1，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为____秒．

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16、(本小题满分12分)

已知函数f(x)=[2sin(x＋)＋sinx]cosx－sin2x．

（1）若函数y=f(x)的图像关于直线x=a(a>0)对称，求a的最小值；

（2）若存在

17、(本小题满分12分)

，使mf(x0)－2=0成立，求实数m的取值范围．

甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1，2，…，n(n≥2)的n个黑球，从甲、

乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为．

(1)求n的值；

(2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

18、(本小题满分12分)

4

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如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD＝120°，AD=AB=a，若PA=λa(λ>0)．

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)当时，求点A到平面PDC的距离；

(3)当λ为何值时，点A在平面PBD的射影G恰好是△PBD的重心? 19、(本小题满分12分)

若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)≥kx＋b和g(x)≤kx＋b，则称直线l：y=kx＋b为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)=x2，(x)=2elnx(其中e为自然对数的底数)． (1)求F(x)=h(x)－

(x)的极值；

(2)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线?若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

20、(本小题满分13分)

设椭圆方程为左准线l的距离为d．

(a>b>0)，PQ是过椭圆左焦点F且与x轴不垂直的弦，PQ的中点M到

（1）证明：

为定值；

5

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（2）若，b=1，在左准线上求点R，使△PQR为等边三角形．

21、(本小题满分14分)

已知数列{an}中的相邻两项a2k1，a2k是关于x的方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k=0的两个根，且a2k

－

－

1

≤a2k(k=1，2，3，…)．

(1)求a1，a3，a5，a7；

(2)求数列{an}的前2n项的和S2n；

提示：

1、利用排除法，易知选C.

2、由|x－m|<1，可得m－1故，经检验两端点处均符合要求，

故.

6

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3、 4、

，故在第一象限.

设D为BC中点，故，即有AD⊥BC，故AB=AC，△ABC为等腰三角形.

5、f(x＋5)≤f(x＋4)＋1≤f(x＋3)＋2≤…≤f(x)＋5，又f(x＋5)≥f(x)＋5， 故f(x＋5)=f(x)＋5，则f(6)=f(1)＋5=6.

6、结合图像，最大值在ax＋by＋c=0与x＋y=4的交点处取得，最小值在ax＋by＋c=0与x=1的

交点处取得，联立方程组，解得，故直线ax＋by＋c=0过点

（3，1），（1，－1），所以，可得，

故.

7、公差为1或－1时，有10个；公差为2或－2时，有6个；公差为3或－3时，有2个；则概

率.

8、设两焦点为F1，F2，则号，此时P为短轴端点.

，当且仅当|PF1|=|PF2|时取等

9、每条棱的中点都是一个顶点，共12个，①正确；一个顶点出发的截面有3条棱，所以共有8×3=24条棱，②正确；一个顶点出发的截面为1个侧面，故共有8个，③错误；表面积

，④错误；

7

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体积，⑤正确.故正确的命题是①②⑤.

10、不等式化简为，

设x1，x2为方程

，故区间长度之和为

注：本题也可以利用特殊值法，这样更为简单. 答案：

的两根，且x1.

11、210 12、

13、 14、a>0或a<－1

15、65 提示：

11、，则m=10，

故展开式通项，令r=6，可得常数项T7=210.

12、由xy＋z=(x＋z)(y＋z)，可得xy＋z=xy＋z(x＋y)＋z2，化简得x＋y＋z=1.

则.

8

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13、

14、，

根据题意，有，所以－1＋2a>－1或1＋2a<－1，解得a>0或a<－1.

15、到达A10点时，所走的实线段共长10个单位，圆弧共长1＋2＋3＋…＋10=位，故共需要(10＋55)÷1=65秒.

个单

9

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18、解法一：(1)设AC，BD交于O，根据题意AC⊥BD，而PA⊥BD因此，平面PBD⊥平面PAC． (2)因为DC⊥AD，PA⊥DC

DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD．

BD⊥平面PAC，因为BD

平面PBD，

过A向PD作垂线AH，垂足为H，则AH⊥平面PCD， ∴AH就是点A到平面PDC的距离．

由PD·AH=PA·AD．

(3)连接OP，重心G在OP上，且PG=2GO，连接AG，

由题意知，AG⊥平面PBD，因此，PA2=PG·PO=PO2．

．

解法二：设AC，BD交于点O，以O为原点，以CA所在的直线为x轴，以DB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．

10

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(1)根据题意知O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，D(0，，0)，P(，0，λ

a)，C(，0，0)，平面PAC的法向量为=(0，，0)，

设平面PBD的法向量为n=(x，y，z)，

则n·=0，n·=0，则n=(－2λ，0，1)，

又n·=(－2λ，0，1)·(0，，0)=0，

所以n⊥，故平面PBD⊥平面PAC．

(2)设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则m·=0，m·=0，

11

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19、（1）∵F(x)=h(x)－(x)=x2－2elnx(x>0)，

当.

∵当0当x>时，F′(x)>0，此时函数F(x)递增．

∴当x=时，F(x)取极小值，其极小值为0．

(2)解法一：由(1)可知函数h(x)和离直线，则该直线过这个公共点．

(x)的图像在x=处有公共点，因此若存在h(x)和(x)的隔

设隔离直线的斜率为k，则直线方程为y－e=k(x－)，即y=kx＋e－，

由h(x)≥kx＋e－(x∈R)，可得x2－kx－e＋≥0当x∈R时恒成立．

∵△=(k－)2，∴由△≤0，得k=．

下面证明在x>0时恒成立．

12

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解法二：由(1)可知当x>0时，h(x)≥(x)(当且仅当x=时取等号)．

若存在h(x)和恒成立，

(x)的隔离直线，则存在实常数k和b，使得h(x)≥kx＋b(x∈R)和(x)≤kx＋b(x>0)

令x=，则e≥＋b且e≤＋b，

∴＋b=e，即b=e－．后面解题步骤同解法一．

21、（1）方程x2－(3k＋2k)x＋3k·2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k， 当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4； 当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8；当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．

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