第九讲因式分解(添拆项与最值)

第八讲 因式分解（添拆项与最值）

2

例 5 题目：分解因式： x﹣120x+3456．

知识点回首：

剖析：因为常数项数值较大，则常采纳将

x2﹣ 120x 变形为差的平方的形式进

1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变成几个整式的积的形式。

2、因式分解的方法：

（ 1）提公因式法，即 ma+mb+mc=m(a+b+c)；

2 2

（ 2）运用公式法，平方差公式：

b a

b ；

a

ba

2

2

2

2

2

2

完整平方公式：

a

2ab b = a

b 和 a

2ab b

a b

（ 3）十字相乘法：关于二次三项式

x

2

Px q ，若能找到两个数 a 、 b ，使 a b p,

a b q, 则就有 x2

Px q x2

( a b) x ab ( x a)( x b) ．

注：若 q 为正，则 a， b 同号；若 q 为负，则 a， b 异号；

立方和差公式：

典型例题：

例 1（ 1）计算 2998 2+2998× 4+4=

。

（ 2）若 x2 4x 4 的值为 0，则 3x 2

12x 5 的值是 ________。

例 2：分解因式：

2

2

a2( x- y)+9 b2 ( y- x)

2a

x 8axy

8a y

4

例 3：已知 a – b = 1

， a2

b2

25 求 ab 和 a+b 的值。

例 4 代数式 2x2+4x+5 有最

值，是 ；﹣ x2+3x 有最

值，是

（ 1） x2﹣140x+4875

（2）4x2﹣4x﹣ 575．

三、加强训练：

1、已知 x+y=6， xy=4，则 x2 y+xy2 的值为 .

2

、分解因式： 2

2

3

2 2 2

(2 a- b) -( a +b)

-3

ma+6ma-3 ma a ( m- n)+ b ( n- m)

m4 16n4 （8） 16a 4 72a 2 b2 81b4

4、已知： a=2999， b=2995，求

2

2

2

5 5 6

a

ab b

a b 的值。

5、利用因式分解计算

11

1

11

11

1

...... 11

2 2

32

42

5 2 n 2

6、已知 a 为随意整数，且 a

13 2 a2 的值总能够被 n 整除 (n 为自然数，且 n 不等7、已知 x(x-1)-( x2

y )=-2, x 2 y 2

xy 的值。

2

8、

第九讲因式分解(添拆项与最值)

把以下各式分解因式：

第九讲因式分解(添拆项与最值)

（ 1） 4x3﹣ 31x+15；

（ 2） 2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣ a4﹣b4﹣c4；

11、已知 2008= ，此中 x， y 为正整数，求 x+y 的最大值和最小值．

（ 3） x5 +x+1；

（ 4） x3 +5x2 +3x﹣9；

2 2 2

12、阅读理解： 关于二次三项式 x +2ax+a 能够直接用公式法分解为 （ x+a） 的形就不可以直接用公式法了，我们能够在二次三项

x2+2ax﹣ 3a2 中先加上一项 a2，使其式

（ 5） 2a4﹣ a3﹣6a2

﹣a+2；

（6）﹣ 2x5n﹣

1yn +4x3n﹣

1yn +2﹣2xn﹣

1 yn+4 ；

（ 7） x3 ﹣8y3﹣z3﹣6xyz；

（8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣ 2ab；

（ 9） a5﹣a3b2+a2b3﹣b5

；

（10）6x4+7x3﹣36x2﹣7x+6．

9、计算

．

2

2

2

2

2

2

使整个式子的值不变．于是有

22

22x +2ax﹣3a =x +2ax﹣ 3a +a ﹣ a

2

2

=x +2ax+a ﹣ a ﹣ 3a =（ x+a） ﹣（ 2a） =（ x+3a）（ x﹣ a）．

（ 1）请用上述方法求出 x2﹣ 4xy+3y2=0（知足 xy≠ 0，且 x≠ y）中 y 与 x 的关系式．

（ 2）利用上述关系式求

的值．

2

2

2

13、关于形如 x +2ax+a 这样的二次三项式，能够用公式法将它分解成（ x+a） 的形式

就不可以直接运用公式了．

小红是这样想的：在二次三项式

x2+2ax﹣ 3a2 中先加上一项 a2，使它与 x2 +2xa 的和成

个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2=（ x2+2ax+a2）﹣ a2﹣ 3a2=（x+a）2﹣4a2=（ x+a） 2﹣（ 2a） 2=（ x+3a）

像这样，先添一适合项，使式中出现完整平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法

参照小红思虑问题的方法，达成以下问题．

（ 1）利用 “配方法 ”对整式 a2﹣ 6a+8 进行因式分解；

（ 2）利用 “配方法 ”求出 x2﹣ 2x﹣ 3 的最小值．