结构力学笔记

结构力学笔记

结构力学的研究对象和任务

一结构力学的研究对象和任务

1.研究对象

以杆件结构为主要研究对象，根据力学原理研究在外力因素作用下结构的内力和变形，结构的强度、刚度、稳定性和动力反应，以及结构的几何组成规律。

2.具体任务

（1）讨论结构的组成规律和合理形式，以及结构计算简图的合理选择；

（2）讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度的验算；

（3）讨论结构的稳定性以及在动力荷载作用下的结构反应。

二、荷载

1.荷载定义：

荷载：主动作用在结构上的外力。自重、风、地震

广义荷载：外力、温度改变、支座沉降、制造误差、材料的收缩及松驰、地震作用、

风荷载

作用（效应）：引起结构受力或变形的外因。

进行结构计算前，确定荷载大小很关键：若估计过大，消耗材料，浪费；若估计过小，无法保证结构的安全。《建筑结构荷载规范》

2.荷载分类：

（1）按作用时间的久暂：

恒：（永久、长期）自重

活：（暂时，大小方向作用点随时间变化）人群、雪、风

可动：在结构上可能占有任意位置的活荷载

移动：一组相互平行、间距不变，且在结构上移动的活荷载（吊车、车辆在桥上移动）

按分布情况：集中荷载、分布荷载（特例：均布荷载）

（2）作用面积范围：

分布面积/结构尺寸的相对比值

（3）作用性质（对结构产生的动力效应）：

静力荷载：略去惯性力的影响，大小方向作用点不随时间变化或变化极为缓慢，无加速度。

动力荷载：使结构产生不容忽视的加速度，冲击、振动。

随时间变化迅速或在短时间内突然作用或突然消失

动力效应不大的动力荷载可以简化为静力荷载

（4）接触方式：

直接、间接，主次梁体系，绘图表示

（5）作用位置：

固定荷载、移动荷载

（6）按荷载规范：

主要荷载：指结构在正常使用条件下经常作用着的荷载，如结构自重、车辆荷载；

附加荷载：指不经常作用的荷载，如风压力、温度变化等；

特殊荷载：指特殊事故引起的或在特殊情况下才发生的荷载，如地震作用、因部分结构损坏引起的载荷等。

结构计算简图

一、计算简图

1.简化要点

（1）体系简化；

（2）杆件简化；

（3）结点简化；

（4）支座简化。

（5）材料简化。

（6）荷载简化。

2.结点类型

结点：杆件的汇交点，一般简化成以下三种形式：

（1）铰结点：各杆在连接区不能相对移动，但可绕该节点自由转动，即可以传递力，但不能传递力矩。(桁架结构)

（2）刚结点：各杆在连接区既不能相对移动，也不能相对转动(各杆轴线间夹角变形

前后一致)，即可以传递力，也可以传递力矩。如现浇钢筋混凝土结点。(刚架结构)

（3）组合结点：同时具有以上两种节点的特征。(组合结构)

单铰与复铰

单刚结点及复杂刚结点

3.支座类型

支座：结构与基础联结装置。支座将产生支座反力，因此在结构

计算中所选用的支座简图必须与支座的实际构造和变形相符合。通常有以下几种：

（1）活动铰支座(滚轴支座)：在支承部分有一个铰结构或类似于铰结构的装置。构件绕铰心转，并沿支承面移动。反力只有竖向力Y,

（2）(固定)铰支座：被支承的部分可以转动，但不能移动，能提供两个反力X、Y。支座反力通过铰点，但方向大小未定，一般处理方法将这种支座反力分解成互相垂直的支座反力，其方向任意选定，最后由计算结果的正负确定方向。（3）滑动支座(定向支座)：不能转动，不能沿垂直于支承面的方向移动，但可沿支承方向滑动，能提供反力矩M和一个反力，(不多见，常在对称法计算中及机动法研究影响线中用)

（4）固定支座：被支承的部分完全被固定，不发生任何移动或转动，能提供三个反力X、Y、M

以上为刚性支座：支座在外荷载作用下本身不产生变形；

弹性支座：实际工程中，支承部分有一定的弹性。在外荷载作用下支座产生变形，从而影响结构的内力和变形，其反力与结构支承端相应的位移成正比；

二、计算简图的分类

（1）梁

（2）刚架

（3）拱

（4）桁架

（5）组合结构

平面体系的机动分析

（1）几何不变体系：有斜撑的桁架（水平、竖向、力矩）

体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的应变，而能保持其几何形状不变，位置不变。

静定+超静定：多余联系+全部反力及内力的确定

（2）几何可变体系：四连杆机构（筛子）体系受到任意荷载作用后，即使不考虑材料的应变，其几何形状、位置可变。几何可变体系又有两种形式：

a.几何常变体系：原为几何可变体系，经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系。

b.几何瞬变体系：原为几何可变体系，经微小位移即转化为几何不变体系，它是可变体系的特殊情况。

（3）自由度

平面体系的自由度：用来确定物体或体系在平面中的位置时所需要的坐标个数（移动坐标和转动坐标）

一个点在平面内可以沿着x轴水平移动，也可以沿着y轴竖向移动，有两种的运动方式，所以，一个点在平面内有两个自由度。

一个刚片在平面内可以沿着x轴水平移动，也可以沿着y轴竖向移动，还可以转动，有三种的运动方式，所以，一个刚片有三个自由度。

自由度大于零，肯定几何可变。自由度小于等于零，不一定几何不变。

（4）计算自由度

1.计算自由度

a.取刚片为对象，结点和链杆为约束。

W = 3m - (2h+b+r)

式中：m—刚片总数；g—单刚结点个数；

h—单铰结点个数；b—单链杆根数;r—支座链杆数

b.取结点为对象，链杆为约束。

W = 2j-(b+r)

式中：j—结点总数；b—单链杆个数。

c.混合法

W = (3m+2j)-(3g+2h+b)

(5)约束

约束(也称联系)：指阻止或体系运动的装置。凡减少一个自由度的装置，称为一个联系(或约束)。

a.铰

铰也称为铰链，是用销钉将两个或多个物体连在一起的一种连接装置。将连接两个刚

片的铰称为单铰，连接两个以上刚片的铰称为复铰。

b.链杆

两端用铰与其他物体相连的杆件称为链杆。

c.刚性连接

刚性连接有刚结点和固定端支座。连接两个刚片的刚结点和固定端支座均相当于3个约束。作用与三个不平行也不交于一点的链杆相同，也与一个单铰和一个不通过铰的链杆相同。

①一根链杆（一活动铰支座）：一个约束；

②单铰（一固定铰支座）：两个约束，即相当于两根链杆作用；

有实铰、虚铰、瞬铰。

（瞬铰：两个链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用。

虚铰：有限远虚铰

无限远虚铰：两条平行直线形成的）

③刚结点（固定端支座）：一个刚性结合相当于三个约束。

④复铰：联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰；

⑤复合刚结点：（n-1）简单刚结点

必要约束：为保持体系几何不变必须具有的约束是必要约束。能对体系运动起作用，减少体系自由度的装置（条件），本身具有这种功能。

多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因而减少，则此约束称为多余约束。

只有必要约束对体系的自由度有影响，而多余约束则对体系的自由度没有影响。在工程结构中，多余约束是常见的，它使工程结构的受力更加合理。

(6)几何组成与静定性的关系

平面杆件体系：

几何不变体系：无多余约束是静定结构；

有多余约束是超静定结构。

多余约束不是固定不变的，在几何不变的前提下，可以任意选取，但不管如何选取，其多余约束数目不变。

几何可变体系：分常变体系和瞬变体系

常变体系--在任意荷载作用下，都不能维持平衡并会发生运动，因此常变体系没有静力学解答。

瞬变体系--在荷载作用下，反力和内力将是无穷大，或是不定式。

注意：几何可变体系不能作为结构使用。

几何结构体系基本组成规则

一、三个基本组成规则：（由铰结三角形开始）

三角形规律：如果三个铰不共线，则一个铰结三角形的形状是不变的，而且没有多余约束。

三刚片的联结方式（三刚片规则）：三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成几何不变体系，且无多余约束。

推论1：三刚片用六根链杆两两相联，若三个瞬铰的转动中心不在同一直线上，则组成几何不变体系，且无多余约束。两刚片之间的联结方式（二刚片规则）：两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，则组成几何不变体系，且无多余约束

推论2：两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相联，则组成几何不变体系，且无多余约束。

一个点和一个刚片之间联结方式（二元体规则）：一个刚片与一个结点用两根链杆直连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变体系，且无多余约束。

二元体：两根不共线链杆联结一个结点的装置为二元体；

推论2：在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体，不会改变原有体系的几何构造性质（由于增加一个点即增加了2个自由度，但是不两线的二链杆提供了2个约束）常应用于“桁架结构”

二、组成规则说明：

1.这些组成规律，主要有三点：

(1)三角形规律的理解：三个规律是相互勾通的。

(2)点、刚片的概念；

(3)约束的概念及各种约束的等效代换关系：由于两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用，因此上述规律中的每一个铰都可以用相应的两根链杆来替换。

2.三个组成规律分别对应于三种基本的几何组成方式。若把某一刚片看作基础，则：

说明了一个点的固定方式，

说明一个刚片的固定方式，

说明了二个刚片的固定方式。

3.不满足规则

三个规则说明了组成无多余联系的几何不变体系所需的最少联系。如在这些必要联系的基础上再增加联系，增加的联系为多余联系，成为超静定结构。如若刚片之间的联系少于三个规则所要求的数目，肯定几何可变。

两刚片之间用全交于一实铰的三链杆相连，几何可变。

两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连（延长线交于一点），几何瞬变。

两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连，瞬变体系。

两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连，可变体系。

三刚片用位于同一直线上的三个单铰（实铰或虚铰）两两相连，瞬变体系。

（内力、反力无穷大或不能确定）

4.虚铰在无限远处情况

(1)一个虚铰在无限远处：若三个刚片用两个实铰与一个无限远处虚铰相联结，若形成虚铰的二平行链杆不与两实铰边线

平行，则形成几何不变体；否则，为几何可变体。

(2)两虚铰在无限远处：若三刚片用三铰相联结中的两个虚铰在无限远处，当形成两个虚铰的四根链杆互不平行，则为几何不变体系；当四根链杆互相平行，为瞬变体系；若四链杆等长平行，为常变体系。

(3)三虚铰在无限远处：三刚片分别用三对任意方向的平行链杆相联，均为瞬变体系；若三对平行链杆各自等长，则为几何常变体系。

运用规则时还需注意：

（1）应用二元体的概念时，注意两链杆或刚片必须是铰联接，且另外两端也必须和体系或刚片铰联接。在使用减少二元体时，必须是从体系中单铰开始，即该铰只联接两个杆件或刚片去掉二元体；增加二元体时，二元体必须连接在同一刚片上。

（2）链杆可以作为刚片使用，刚片也可以作为链杆使用；体系中已经确定为几何不变的部分都可以看做是刚片。（3）做组成分析时，体系中的每一部分或每一约束（链杆、铰）都不可以遗漏或重复使用。有的体系可以用任何一个规律分析出结果，而有的只能用某一个规律分析。三刚片规律是通用的规律，对同一体系，可有多种分析途径，但结论是一致的。

（4）刚片必须内部是几何不变的部分，图中把EFGD取作刚片是错误的，因为它是几何可变的，不能看做刚片。（5）在得出结论时，不仅应写明体系的几何构造特性，还应写明有几个多余约束。

机动分析

一、分析方法

1. 从基础出发进行分析。即以基础为基本刚片，依次将某个部件(一个结点、一个刚片或两处刚片)按基本组成方式联结在基本刚片上，形成逐渐扩大的基本刚片，直至形成

整个体系。如多跨静定梁、

2. 从内部刚片出发进行分析。首先在体系内部选择一个或几个刚片作为基本刚片，再将周围的部件按基本组成方式进行联结，形成一个或几个扩大的刚片。最后，将这些扩大的基本刚片与地基联结，从而形成整个体系。

3.装配式、拆除式分析。

二、分析技巧

1.对于比较明显的能看作两个刚片或三个刚片构成的体系，直接利用规则进行分析。不能直接用规则的，先部分用规则，找几何不变部分，尽量扩大刚片的范围。最终归结为2刚片或三刚片，再用规则。

2.当体系上具有二元体时，可先依次去掉其上的二元体，再对其余部分进行几何组成分析；

3.当体系与基础用三支不互相平行链杆相联时，可以去掉这些支承链杆，只对体系本身进行分析；

4.当体系与基础用多于三支链杆相联时，则必须将基础视为刚片，以整个体系包括基础进行分析

5.注意虚铰的应用，两根链杆等价于一个单铰，使结构变得比较简洁。

6.对体系进行几何组成分析时，可利用等效代换的概念使问题得到简化：

联结两刚片的链杆可用其交点的虚铰代替：

一个几何不变部分可视为一个刚片；

复杂形状的链杆（如曲链杆、折链杆）可看作通过铰心的直链杆

静定结构内力分析

单跨静定梁

一、概述

1.单跨静定梁的结构形式：水平梁、斜梁及曲梁

简支梁、悬臂梁及伸臂梁。分析区别和应用

外力：恒、活、风、雪、地震+反力（和四种约束有关）

2.3个内力分量的规定：

轴力N(截面上应力沿杆轴切线方向的合力)：拉力＋，压力－

剪力Q(截面上应力沿杆轴法线方向的合力)：以绕截面邻近小段隔离体顺时针旋转为＋，反之为－

弯矩M(截面上应力对截面形心的力矩)：弯矩使杆件下部受拉时为正，上侧受拉时为

负

3.截面法、分离体、平衡方程：求指定截面的内力的基本方法。

将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力，取任一局部作为隔离体，作隔离体受力图（荷载、反力、内力组成平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的平衡条件可以确定所求截面的三个内力。平面一般力系平衡方程的三种形式。

注意：平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。

受力平衡条件：平面一般力系，平衡方程不同形式（正负号：同方向同符号）

轴力＝截面一边的所有外力沿杆轴切线方向的投影代数和；

剪力＝截面一边的所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；

弯矩＝截面一边的所有外力对截面形心的力矩代数和。

4.内力图：

定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。

内力方程式：内力与x（表示横截面位置的变量）之间的函数表达式。

均布荷载作用下：

(1)若,N=const.；若(均匀)，N图为斜直线；

(2)若，Q＝const.(水平线)；M=斜直线;

若，Q=斜直线，M＝二次抛物线；

(3) 当时(荷载向下)，则M图曲线向下凸。

若为集中荷载作用：

(1)作用，N图发生突变；

(2) 作用，Q发生突变，导致M图斜率改变，出现尖点；

(3)m作用，M发生突变，N、Q图无变化。

在绘制和校核内力图时十分有用。适用受弯构件。

二、分段叠加法作弯矩图

荷载叠加法（材料力学）：当结构上同时作用有许多荷载（外力、温度、支座沉降等）时，先分别作出各荷载单独作用下的M图，再将各个弯矩图在M值发生突变处，将各弯矩竖标相叠加（代数和），便得到各荷载共同作用下的M图。分段叠加法：对于结构中任意直杆区段，只要用截面法求出该段两端的截面弯矩竖标后，可先将两个竖标的顶点以虚线相联，并以此为基线，再将该段作为简支梁，作出简支梁在外荷载作用下（直杆区段上的荷载）的弯矩图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最后所得图线与直杆段的轴线之

间所包围的图形就是实际的弯矩图。适用于结构中任意某直杆区段的弯矩图叠加。

弯矩图的叠加，指纵坐标的叠加，而不是指图形的简单拼合。

三、归纳内力图的基本作法

(1) 外力（中间连接力对局部研究对象而言是外力）：根据结构整体或局部平衡求支座反力和中间连接力。(避免解联立方程。适当选取隔离体，由平衡方程求解支座和联结处的约束力)

(2)选定外力的不连续点为控制截面(控制截面：如支承点、集中荷载作用点、集中力偶作用点左右截面、分布荷载的起点及终点等)，求控制截面的内力值（采用截面法）；

(3)分段画弯矩图。采用内力图与荷载的关系。当控制截面间无荷载时，根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，根据控制截面的弯矩值作出直线图形后，再叠加上这一段按简支梁求出的弯矩图；

(4)分段画剪力图。根据控制截面的剪力竖标，无荷载区段，Q图连以水平线；均匀荷载区段，Q图连以斜直线；

(5)分段画轴力图。根据控制截面的轴力竖标，在无轴向外荷载区段，N图连以水平线；在有均匀轴向外荷载区段，N图连以斜直线；

(7)N、Q图也可以通过M图由杆件平衡作出。

多跨静定梁

一、定义：

由若干根梁用铰连接而成、用来跨越几个相连跨度的静定梁。桥梁、房屋建筑中木檩条。连续变形太长导致附加应力和内力，如路面变形缝。

常见的几种形式：

（1）无铰跨和两铰跨交替出现：

（2）除第一跨外，其余各跨皆有一铰

（3）前两种组合方式

二、几何组成特性：若附属部分被切断或撤除，整个基本部分仍为几何不变，反之，若基本部分被破坏，则其附属部分的几何不变性也连同遭到破坏。

受力特点：基本部分上所受到的荷载对附属部分没有影响，附属部分上作用的外荷载必然传递到基本部分。

主梁或基本部分：在竖向荷载作用下能维持平衡，直接将荷载传到地基。

次梁或附属部分：依靠基本部分的支承才可以承受荷载并保持平衡的部分基本部分：多级附属，相对性

三、多跨静定梁的内力计算计算：

原始解法：三个整体静力平衡条件＋在铰处截面弯矩为零，解联立方程求解。

从几何构造来看，组成的次序是先固定基本部分，后固定附属部分。因此，计算静定多跨梁时，先计算附属部分，再计算基本部分，将附属部分的支座反力反其指向，就是加于基本部分的荷载。这样，将多跨梁拆成单跨梁，避免解联立方程。

1.计算次序：计算次序与构造次序相反；

力的传递规律：主梁上外力只传给支座，不传给次梁；但次梁上外力传给主梁；

2.计算方法：分层法（对结构进行几何组成分析，分清基本部分和附属部分；先计算附属部分的反力和内力，再计算基本部分的反力和内力。）

3.计算步骤：

⑴几何组成分析：分清主次部分

⑵分层法：将附属部分的支座反力反向指其基本部分，就是加于基本部分的荷载；

⑶内力图：各单跨梁的内力图连在一起

静定平面刚架

一、刚架的应用和形式

平面杆件结构：梁、刚架、桁架、拱、组合结构

混合结构、钢筋混凝土结构、钢结构、木结构、新型材料结构

钢筋混凝土结构：框架、框架剪力墙、全剪力墙、筒体、巨型框架

结构是在发展的：梁（混合结构）的缺点（应力沿杆轴线方向不均匀，自重大）薄腹梁、变截面梁：发展到钢筋混凝土刚架

刚架的形式：

静定（单跨+多跨）+超静定（单跨+多跨）在建筑工程中应用十分广泛，单层厂房、工业和民用建筑如主楼、教学楼、图书馆。6～15层房屋建筑承重结构体系主要是刚架：悬臂刚架（小报栏）、三铰刚架、两铰、简支、无铰、多层多跨、封闭刚架、多跨静定，绘图表示。其中大多数刚架是超静定结构，但静定刚架是超静定刚架计算的基础。

平面刚架的定义：由轴线在同一平面内的若干梁柱主要用刚结点组成的结构。

静定刚架常见形式举例：

悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架、组合刚架

⑴变形：刚结点处，各杆端不能产生相对移动和转动，各杆所夹角度不变。

受力：刚结点能够承受和传递弯矩，使结构弯矩分布相对比较均匀，节省材料。

⑵几何组成：两铰三铰刚架和四铰体系变为结构加斜杆比较，组成几何不变体系所需的杆件数目较少，且多为直杆，故净空较大，施工方便。

⑶刚架的优点：梁柱形成一个刚性整体，增大了结构刚度并使内力分布比较均匀，节省材料，可以获得较大的净空。

三、刚架的内力计算

1.内力约定：同梁剪力和轴力，弯矩不分正负，画在受拉边

2.刚架的支座反力：

⑴悬臂刚架（可不求支座反力）、简支刚架：运用整体平衡条件求出全部支座反力

⑵三铰刚架：运用整体平衡条件及铰结点处弯矩为零条件求出全部支座反力

注：尽量避免求解联立方程组。

⑶组合刚架：先进行几何组成分析，分清附属部分和基本部分，先计算附属部分的支座反力，再计算基本部分的支座反力

3.刚架的内力

刚架的内力是采用杆件法，即将刚架折成若干个杆件，先求出各杆的杆端内力（采用截面法），然后利用杆端内力分别作各杆内力图（运用内力图与荷载关系、区段叠加法），各杆内力图合在一起就是刚架的内力图。

⑴要注意在结点处有不同的杆端截面：每个刚结点连接好几个杆件，各杆端内力并不完全相同。两个下标：近端和远端

⑵隔离体的选择

每个切开的截面处有三个求知力，其中轴力、剪力以正方向绘出，弯矩以任意方向绘出

⑶注意结点的平衡：校核

刚结点传递弯矩，无集中力偶作用，同在外或内受拉，大小相等

4.刚架分析步骤：

⑴先求支座反力；

⑵先根据截面法，求出各杆杆端内力；再根据各杆杆端内力，求各杆内力；外力不连续点、结点（支座结点），每个杆端也应作为控制截面。刚架的轴力一般不为零

⑶校核：由于刚架结构组成受力比较复杂，内力比较复杂，易错，作出内力图后应该加以校核。原则：整体结构平衡时，结构中任一局部都应保持平衡，可以从结构中取出某一部分，画出隔离体受力图，平衡

快速准确绘制弯矩图

一、快速准确绘制弯矩图的一般规律

二、示例

静定拱概述

一、拱的定义

1.拱式结构的特征及应用：

应用：门、窗、桥、巷道、窑洞

特征：

杆轴是曲线，竖向荷载作用下有水平推力。和曲梁比较

三铰拱是由两条曲杆用铰相互联结，并各自与支座用铰相联结而成。

优点：在竖向荷载作用下拱存在水平推力作用，导致其所受的弯矩远比梁小，压力也比较均匀；若合理选择拱轴，弯矩为0，主要承受压力。

缺点：需要坚固而强大的地基基础来支承；

2.拱的形式：

静定结构：三铰拱。有两种形式：无拉杆三铰拱、有拉杆的三铰拱、及其变化形式、做成折线即为三铰刚架

超静定结构：无铰拱、两铰拱

3.名称：

跨度L、

拱高：拱顶到两支承边线距离，f

拱脚铰、拱顶铰

对称拱、斜拱（不对称拱）

f/l：矢跨比、高跨比。高跨比对拱的主要性能有比较大的影响（1－1/10）。若f－0，三铰共线或接近共线，瞬变体系。

4、计算方法：

数解法、图解法

二、拱的受力特点

1.受力特点（比较法，由公式）

⑴竖向荷载下，梁没有水平反力，拱则有水平推力，所以拱要求比梁更为坚固的基础或支承结构。

⑵由于水平推力的存在，三铰拱截面上的M比简支梁小，所以拱比梁能更有效地发挥材料作用，适用于较大跨度或较重荷载。

⑶在竖向荷载作用下，梁内无N，而拱内N较大，且一般为压力，所以拱可以用抗压性能强而抗拉性能差的材料来建造，例如：砖、石、砼，便宜，造价低。

总之，拱比梁更适用于较大的跨度和较重的荷载。抗压更有利于抗压性能好的材料，但三铰拱的基础比梁大；因此屋架中三铰拱常带拉杆，减少对墙或柱的推力。

三铰拱的计算

1．支座反力的计算

（1）三铰拱的竖向反力与相当梁的竖向力相同。

（2）水平推力仅与荷载及三个铰的位置有关，（即只与拱的矢跨比f/l有关，f/l↑，H↓；f/l↓，H↑）和拱轴形状无关。当荷载及l不变时，f↑，H↓，f↓，H↑，f→0，H→∞，f=0三拱共线瞬变体系。

（3）竖向向下荷载作用时推力为正，推力向内。

2.三铰拱内力计算

3.拱内力图的绘制

曲线，沿拱轴逐点计算和描绘。

（1）沿拱轴将拱截成为若干相等的小段；

（2）计算各截面处的y,tan,sin,cos

（3）利用公式逐一计算各截面的M、Q、N值；

（4）逐点描绘

4.合理拱轴线

当拱的轴线和压力线重合时，各截面形心到合力作用线的距离为0，则各截面上只有轴向压力，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态，这时候材料的使用最经济，这样的拱轴为合理拱轴。

在固定荷载下使拱处于无弯矩状态的轴线。对于竖向荷载作用下的三铰平拱的合理拱轴，可以用数解法求出拱合理拱轴的轴线方程。

在竖向荷载作用下，三铰拱的合力轴线纵坐标与简支梁弯矩成正比，与H成反比。

节点法计算静定结构桁架

一、概述

1.桁架定义：

桁架：由若干直杆在其两端全用铰连接而成的结构，当荷载只作用在结点上时，各杆只有N，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用。

实际桁架（较复杂、结合例子）

⑴结点：焊接、铆接、近乎刚结、介于铰于刚结之间。

⑵轴线：不能绝对平、直。

⑶杆的结合区：各杆也不一定完全相交于一点。有个结合区域、应力十分复杂。

⑷自重：非结点荷载，荷载、支反力：不全是作用在结点上。

但经过实验和工程实践证明：以上因素对于桁架属次要因素，对桁架受力影响较小。

取桁架的计算简图时，引入如下假定：（计算时）

理想桁架：（计算简图）满足这些假定的桁架

⑴桁架结点：所有结点为理想铰，光滑、无摩擦。

⑵杆件的轴线：绝对平直、一平面内、通过铰的中心（理想轴）。

⑶荷载、支反力：所有外力作用于结点上并且位于桁架平面内。（结点荷载）

⑷线弹性材料，小变形。

主应力（基本应力）：按理想平面桁架计算得到的应力。按理想桁架计算，可以反映桁架的主要受力性能

次应力（附加应力）：实际桁架与理想桁架之间的差异引起杆件弯曲，产生附加的弯曲内力由此产生的应力

理想桁架，各杆只产生轴力(二力杆、轴力杆)

2.桁架的分类

（1）按外形特点分：

平行弦桁架

三角形桁架

抛物线桁架

折弦桁架

（2）按支座反力的性质分：

梁式桁架(无推力桁架)

拱式桁架(有推力桁架)

按静力特性：静定桁架（有无多余约束、计算方法）

超静定桁架

（3）按几何组成方式分：

简单桁架：由基础或一个基本的铰结三角形开始，每次用不在同一直线上的两链杆联结一新结点

联合桁架：由简单桁架组成；按两刚片规则组成的联合桁架、按三刚片规则组成的联合桁架

复杂桁架：凡不属于前两类的均为此类。

4.桁架的计算方法

3.图解法：

解析法：截取桁架中的一部分作为隔离体，由隔离体所受力系的平衡，建立平衡方程，求解未知杆的轴力。又分为：结点法：隔离体只含一个结点。适用于简单桁架全部杆件内力的求解。

截面法：隔离体含两个及以上的结点。适用于联合桁架，桁架少数指定杆件的内力计算。

联合法：解一道题或求某个杆件内力，需要用到结点法和截面法。

二、结点法

从前面桁架的假定可知：桁架各杆的轴线汇交于各个结点，且桁架各杆只受轴力，因此作用于任一结点的各力（荷载、反力、杆件轴力）组成一个平面汇交力系，存在两个的平衡方程，每个结点两个未知力可解.因此一般从未知力不超过两个的结点开始依次计算。

适用范围：简单桁架所有杆件的内力

三、结点法求解简单桁架计算步骤：

（1）几何组成分析

（2）求支座反力

（3）结点法计算（注意次序）

截面法计算平面静定桁架

一、概述

截面法的要点：根据求解问题的需要，用一个合适截面切断拟求内力的杆件，将桁架分成两部分，从桁架中取出受力简单的一部分作为隔离体（至少包含两个结点），隔离体受力（荷载、反力、已知杆轴力、未知杆轴力）组成一个平面一般力系，可以建立三个的平衡方程，由三个平衡方程可以求出三个未知杆的轴力。

注意：

（1）一般情况下，选截面时，截开未知杆的数目不能多于三个，不互相平行，也不交于一点。

（2）截面截开后，未知杆的内力：已知杆轴力：同结点法。

二、计算方法

据所选用的平衡条件的不同：

1.投影法：若三个未知力中有两个力的作用线互相平行，将所有作用力都投影到与此平行线垂直的方向上，并写出投影平衡方程，从而直接求出另一未知内力。

2.力矩法：以三个未知力中的两个内力作用线的交点为矩心，写出力矩平衡方程，直接求出另一个未知内力.

（1）注意力的分解：合力矩定理，确定隔离体后，力可以沿着其作用线移动到某一个结点进行分解，不影响隔离体的平衡（不易确定力臂时）

（2）方程的三种形式：基本形式，二力矩形式，投影轴不能垂直于两个矩心，三力矩形式，三个矩心不能在一条直线上。可以根据需要选取。矩心的选择，尽量选多个未知力的交点，投影轴尽量平行（或垂直）于多个未知力的作用线方向。

（3）投影法和力矩法：尽量使每个方程含有一个未知量

（4）适用于：简单桁架中指定杆件的内力；联合桁架

三、求解步骤：

（1）一般先求支座反力（悬臂式可以不求支反力）；

（2）用一假想截面把所求内力的杆切断，把桁架分成两部分，截取截面所有的未知内力的数目一般不超过三个（例外情况除外），它们的作用线不能交于一点，也不互相平行。

（3）取其一部分为自由体，根据平衡条件，计算所求杆的内力。在写平衡方程时，应尽可能使每个方程只包含一个未知力，采用力矩平衡方程、投影平衡方程（尽量采用内力分量形式可使问题简化）。

结点法截面法联应用

一、结点法截面法联合应用

在各种桁架的计算中，若只需求解某几根指定杆件的内力，而单独应用结点法或截面法不能一次求出结果时，则联合应用结点法和截面法。

1.联合桁架

①由两刚片组成，先截断联系杆，求出联系杆的内力，再求解；

②由三刚片组成，用双截面法求解，每个截面4个未知力，两个截面6个未知力，6个方程，联立求解。

2.求解方法

（1）求联合桁架的所有杆的内力，一般先用截面法截开简单桁架联接处的联结力（铰的相互作用力或联系杆的轴力）再用结点法求几个简单桁架的内力。

（2）求某指定杆内力，若截断未知杆的任一隔离体中未知力数目多于3，且不属于特殊情况，则应先求出其中一些易求的杆件内力（结点法或另外再取隔离体（截面法）），使原隔离体能求解指定杆的内力。

（3）解题的方法并不唯一。

二、各式桁架比较

1.简支梁式桁架分类：平行弦桁架、抛物线桁架及三角形桁架

2.特点：

（1）平行弦桁架的内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增，若每一节间改变截面，则增加拼接困难；若采用相同的截面，又浪费材料。

（2）抛物线形桁架：内力分布均匀，在材料上使用最经济。但构造有缺点。应用在大跨度桥梁及大跨度屋架中（3）三角形桁架：应力分布也不均匀，弦杆内力在两端最大，且端结点处夹角甚小，构造布置较为困难。但其两斜面符合屋顶构造需要，故只在屋架中采用。

三、利用对称性判断零杆

对于对称桁架还可以利用对称性来判断零杆，有两种情况：

（1）当荷载对称时，对称轴上若有结点，并且该结点无外力，则两个斜杆为零杆。原因是他们只有等于零才能既满足平衡条件又满足对称条件。

（2）当荷载反对称时，通过并垂直对称轴的杆、与对称轴重合的杆，轴力为零，原因同上。

组合结构

一、组合结构内力计算

1.组合结构

梁、刚架中梁式杆：杆受力后主要M（Q、N）

桁架中轴力杆：杆受力后只有N

两种杆组合而成的杆件结构。也就是由若干受弯杆件和链杆（一般均为直杆）组合而成的结构（铰、刚结点）。

通常由：梁＋桁架或刚架＋桁架构成。

例如：屋架、吊车梁、桥梁

2.分析方法

关键是截到梁式杆（M、Q、N）还是轴力杆（N）

截面法：取隔离体平衡→未知杆内力

梁式杆的内力图作法同梁及刚架。

桁架的计算方法＋梁、刚架的计算方法

3.计算步骤

（1）先求支反力

（2）求轴力杆N

（3）由荷载及轴力杆N、支反力→作梁式杆的M、N、Q图

二、静定结构的一般性质

（1）静定结构的内力与变形无关，因而与截面尺寸、截面形状及材料的物理形状无关。

（2）结构的局部能平衡时，其他部分不受力。

（3）若作用在结构中一个几何不变部分上的荷载作等效变换，即用一个与其合力相同的荷载代替它，其他部分上的内力不变。

（4）若将结构中的一个几何不变部分换成另一个几何不变部分，不影响其他部分的内力。

（5）支座移动、温度变换不会产生内力。

超静定结构内力计算

一、静力解答特征：

静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；

超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出

它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，

解答的唯一性定理）。

二、几何组成特征：

静定结构：无多余联系的几何不变体

超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个

几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，

多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。

多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、

位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。

多余求知力：多余联系中产生的力称为

三、超静定结构的类型（五种）

超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构

四、超静定结构的解法

1.综合考虑三个方面的条件：

（1）平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；

（2）几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构

（3）的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。

（4）物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。

2.精确方法：

（1）力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量

（2）位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。

（3）力法与位移法的联合应用

（4）力法与位移法的混合使用：混合法

（5）近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等。

3.超静定次数：

=多余联系（约束）的数目＝多余未知力的数目

力法基本原理

力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的问题，即利用已熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。

1.找出关键问题——力法的基本未知量

多余约束中的多余未知力用表示

2.寻求过渡途径——力法的基本体系

将图示结构的多余约束移去，而代之以多余未知力X1，并保留原荷载所得到的结构，称为力法的基本体系。与之相应，把结构的多余约束并连同荷载一起移去后所得到的结构，称为力法的基本结构。

3.补充转化条件——力法的基本方程

力法基本计算

力法求解超静定结构的步骤：

1.先判定其超静定次数，（含多余联系数），去掉原结构的所有多余联系，用相应的

多余力代替，得一静定的基本结构（形式可能很多，尽量简单）；

2.根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下，在每一个去掉的多余联系处位移和原结构相应位置的已知位移相同，建立力法典型方程；

3.求方程所有系数和自由项，（静定结构的位移计算）积分法或图乘法，写出基本结构在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图；

4.解方程，求出所有多余力；

5.作最后内力图（静定结构的计算问题

对称性利用

一、对称结构

包括两方面含义：

1.结构的几何形状和支承情况对某轴对称；

2.杆件截面尺寸和材料性质也对此轴对称，也就是EA、EI、GA也关于对称轴对称，例。简单地将结构沿对称轴线对折，两边部分完全重合。双对称、多对称。

二、对称结构简化计算

1.选取对称的基本结构：

结论1：力法方程分成两组，一组仅含对称多余力，一组仅含反对称多余力

2.对称结构在对称荷载作用下

结论2：对称结构在对称荷载作用下，反对称的多余力为0，只有正对称的多余未知力，结构的反力、内力和变形是正对称的。

结论3：对称结构在反对称荷载作用下，正对称的多余力为0，只有反对称的多余未知力，结构的反力、内力和变形是反对称的。

4.任何对称结构受非对称荷载作用时

结论4：可以将非对称荷载分解成对称荷载和反对称荷载，然后分别计算，最后叠加

这是对称结构进行简化计算的四点结论，可以直接应用。

三、半结构计算法

1.奇数跨

2.偶数跨

力法应用

一、在支座移动时超静定结构的内力计算：

采用力法计算步骤：

1.选择基本结构

2.列力法方程

3.系数及自由项的计算：只时自由项此时分别指基本结构由于支座移动引起的沿Xi方向的位移。

4.代入求出基本未知量

5.叠加原理求内力：（M△支座移动不使基本结构产生内力）

二、在温度变化下超静定结构的内力计算

采用力法计算步骤：

1.选择基本结构

2.列力法方程

3.系数及自由项的计算：只时自由项此时分别指基本结构由于温度改变引起的沿Xi方向的位移。

4.代入求出基本未知量

5.叠加原理求内力：（Mt=0，温度改变不使基本结构产生内力）

影响线及其应用

（一）概述

1. 移动荷载的概念

移动荷载的概念：荷载大小和作用方向不变，但作用的位置发生不断变化的荷载。

2. 移动荷载对结构的作用

（1）移动荷载对结构的动力作用：启动、刹车、机械振动等；

（2）结构在移动荷载作用下：结构的反力、内力、位移随荷载位置移动而变化，不仅不同截面的某一量值（反力、M、

Q、N或位移等）的变化规律不同；而且同一截面的不同量值在同样移动荷载作用下的变化规律往往也不相同。如：P=1作用于梁处，其支座反力及跨中截面的弯矩、剪力均发生变化。

3. 荷载类型

单个集中荷载、多个集中（间距不变）荷载、均布荷载。

4. 影响线的概念

当方向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示结构某一指定处的某一量值（反力、内力M、Q、N、位移、挠度、转角等）变化规律的图形称为该量值的影响线。

（二）影响线

1. 注意固定荷载和移动荷载的区别；影响线与内力图的区别。

2. 影响线对结构分析的重要性及应用，影响线横纵坐标值含义。

绘制影响线的方法有静力法和机动法。

静力法作影响线

（一）概述

静力法的概念及注意事项。利用静定法绘制简支梁的反力、指定截面的剪力、弯矩影响线。

（二）静力法作图的原理和步骤：

1.选择坐标系，定坐标原点，并用变量x表示单位移动荷载F=1的作用位置；

2.列出某截面内力或支座反力关于x的静力平衡方程，并注明变量x的取值范围；

3.根据影响线方程绘出影响线。

注意：

（1）内力或支座反力的正负号规定；弯矩和剪力同前几章介绍，竖向支座反力以向上为正；

（2）量值的正值画在杆轴的上侧，负值画在杆轴的下侧；

（3）利用可已知量值的影响线来作其他量值的影响线。

（三）应用举例：1.简支梁2.外伸梁

机动法作影响线

（一）概述

1.机动法的依据

机动法作影响线是以虚位移原理为的依据，它把求内力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。2.机动法的优点

不需经过计算即可绘出影响线的轮廓。在工程中，当仅需要知道影响线的轮廓，用以确定最不利荷载位置时，用机动法特别方便。还可用机动法来校核用静力法作出的影响线。

3.虚功原理

设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上作的虚功总和恒等于零。

（二）作图步骤

1.撤掉与所求量值相对应的约束（支座或与截面内力对应的约束），用正方向的量值来代替；

2.沿所求量值正方向虚设单位位移，并画出整个梁的刚体位移图；

3.应用刚体体系的虚功原理建立虚功方程，导出所求量值与位移图之间的关系，即为影响线。

（三）应用举例：单跨简支梁、多跨简支梁

影响线应用