圆外切四边形的性质及应用

圆外切四边形的性质及应用

01 双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，心为P，切圆半径为r，OI = h．证明

证：如图，分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D． 1

∵∠LCM = 180－∠LPM = ∠PLM + ∠PML = ∠MLK + ∠LMN,

21

∠KAN = ∠LKN + ∠KNM．

2

TBα111

+ = ． 22

R + hR－hr2

Kα●Ω●O'∴A、B、C、D四点共圆．

我们设其半径为，易证 B、P、D；A、P、C分别三点共线．

CLβPMNDSαAPCAP∴r = PLsin = PBsinsin = PB· ,

BCABPC·AP = 2－d2 d为ABCD的外心记为与P的距离．

22

PB1－d又易证AC⊥BD，∴ = r = …①

BC·AB22

延长NP交BC于T，易证T为BC中点卜拉美古塔定理． ∴T∥PS, S∥PT．

- -可修编.

. -

□TPS中，4OT2 = PS2 + OS2－d2 = 22－d2．

又 ON = 1

2

2

2

2－d O为KLMN的外心即为O且

R = 12

22－d2

…②，h = 12

d…③

由①②③得 1

42

2R2

+ h2

11

r2 = 2－d2 2 = R2－h2 2 = R + h2 + R－h2 ．

02 证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．

证：沿用上题的记号，对点X、Y、Z，用dX, YZ表示X到YZ的距离． 设⊙O半径为r，∠BAD = 2, ∠ABC = 2, ∠BCD = 2, ∠CDA = 2，则 , , , 均为锐角且  +  +  +  = ． ∴sin, sin, sin, sin > 0．

连结EF若E与F重合，则结论显然成立，以下设E与F不重合． 在线段EF上取点O使

EOOF = sinsin

sinsin

． 连OA、OD、OGF为⊙O与AD相切处，则

OG⊥AD, AG = OGcot = rcot, GD = OGcot = rcot．

- -可修编.

BAF●●EO( )O'●DC. -

故AD = rcot + cot．

∴dA, CD = rcot + cotsin 2．

1

∴dE, CD = sin 2cot + cotr = sincoscot + cotr

2

= sincoscot + cosr = sincoscot－sinr + r coscos－sinsinsincos + 

= sin· r + r =  + 1r．

sinsin

sincos + 

同理 dF, CD =  + 1r．

sin

2

2

由

EOsinsin = 知 OFsinsin

sinsinsincos + sincos + 

+ 1r + sinsin + 1rsinsin

dO, CD =

sinsin + sinsin

=

sinsincos +  + cos + 

r + r

sinsin + sinsin

= r因为  +  +  +  = ，所以 cos +  + cos +  = 0．

同理 dO, AB = dO, BC = dO, DA = r．

- -可修编.

. -

∴O与O重合，故知结论成立，证毕．

03 已知△ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．

证：作△DEF切圆⊙，切EF、FD、DE于P、Q、R．

又设△ABC切圆为⊙I，△AEF切圆为⊙1．记⊙1、⊙、⊙I半径分别为R1, R, r． 由AEDF为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF． ∴FP－PE = FD－DE = FA－AE．

∴⊙1切EF于P，∴⊙1与⊙外切，∴1、P、 三点共线． 另一方面，易知A、1、I三点共线．

延长AP交I于T，则对△I1与截线AP用梅氏定理知 0TIA1P = 1． TIA1P

A●ω1E●FQBPω●T●IRCA1R10TrR10TR注意到 = ，上式 = 1，即 = ．

AIrTIR1RTIr∴T为线段I上一个定点，∴AP、BQ、CR三线共点于T． sin∠FAPsin∠ECRsin∠DBQ由塞瓦定理知 = 1．

sin∠EAPsin∠DCRsin∠FBQD- -可修编.

. -

再用角平分线定理知上式EP DR

EADC

FPERDQ FAECDBFQ FB= 1．

将FP = FQ, EP = ER, DQ = DR代入得

FAECDB = 1． EADCFB由塞瓦定理即知 AD、BE、CF三线共点，得证．

04 四边形ABCD既可外切于圆，又可接于圆，并且ABCD的切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N，四边形的∠A和∠B的外角平分

线相交于点K，∠B和∠C的外角平分线相交于点L，∠C和∠D的外角平分线相交于点M，∠D和∠A的外角平分线相交于点N．证明，直线KK、

LL、MM、NN经过同一个点．

证：如图，设∠BCD的切圆圆心为I，∠BAI = ∠IAD = , ∠ABI = ∠CBI = , ∠BCI = ∠DCI = , ∠CDI = ∠ADI = θ．⊙I半径为r． 

由ABCD还有外接圆可得  +  =  + θ = ．

2∴∠KAB =  = ∠NAI由于KN为A外角平分线， 且A、K、B、I四点共圆，AB = rcot + cotB．

K'K●N'AγααγNθθDMM'I●AKABAKrcot + cot∴ = 即 = ． sin∠KBAsin∠AIBsinθsin + 

∴AK =

βBβLγγCrsin

．同理 AN = ．

sinsinsinsinθrsinθL'- -可修编.

. -

rsin2θ + sin2r∴KN = = ，KN⊥AI．

sinsinsinθsinsinsinθ而KN∥KN且

KN = 2rsin 且KN⊥AI． KN

∴KN∥KN且同理可得

KN = 2 sinsinsinθsin． KN

MN∥MN,

MNML = 2 sinsinsinθsin, ML∥ML, = 2 sinsinsinθsin, MNML

LK∥LK,

LK = 2 sinsinsinθsin． LK

于是四边形KLMN与四边形KLMN位似，对应顶点连线KK、LL、MM、NN共点于位似中心，得证． 05 设凸四边形ABCD外切于⊙O，圆心O在对角线BD上的射影为M．求证BD平分∠AMC．

证：设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1．

不妨设⊙O半径为1，以O为原点建立复平面，则⊙O为单位圆． 令A1、B1、C1、D1所代表的复数为a, b, c, d，则由熟知结论可知

A2ab2bc2cd2daD = , A = ,B = , C = ．

a + bb + cc + dd + aB1DA1C1O- -可修编. BD1C. -

注意到过BD直线方程为 B－Dx + BD = B－Dx + BD． 将B、D代入化简得

c + d－a－bx－[ abc + d－cda + b]x = 2cd－ab…① 又过O且垂直于BD直线方程为

xB－D +

x = 0．

B－D将B、D代入化简得

c + d－a－bx + [ abc + d－cda + b]x = 0 …②

① + ②cd－abcd－ab 得 x = ，此即为M的复数表示，M = ．

2c + d－a－bc + d－a－bc + d－a－bA－M B－DC－MA－MC－MA－MC－M

又∵∠AMC被BD平分∠AMD = ∠DMCB－D R = ． 22

B－DB－D 将A、B、C、D、M代入得

A－MC－Mb + c －c + d－a－b a + d －c + d－a－b 

= 22ab2cd2

B－Da + b －c + a 

1a + bc + d[ 2bcc + d－a－b－cd－abb + c][ 2adc + d－a－b－cd－cbc + d] = 22

4c + d－a－b [ abc + d－cda + d]

1a + bc + d[ 4abcdc + d－a－b2 + cd－ab2a + db + c－2c + d－a－bcd－ab[ bca + d + adb + c] = …③ 22

c + d－a－b [ abc + dcda + b] 4

2bccd－ab2adcd－ab- -可修编.

. -

注意到

1a + bc + d[ 4abcdc + d－a－b2 + cd－ab2 a + bb + c－2c + d－a－bcd－abcd－ab[ bca + d + adb + c] 22

c + d－a－b [ abc + d－cda + b ] 4

222

a + bc + dcd－aba + db + c2[abc + d－cda + b] ab－cda + b + c + d4[abc + d－cda + b]

[ + － ]2222

abcdabcdabcda3b3c3d3a3b3c3d3

1

= 4

[abc + d－cda + b] c + d－a－b

22

a4b4c4d4

2

2

a + bc + d{ 4[abc + d－cda + b] + cd－aba + db + c－2[abc + d－cda + b]ab－cda + b + c + d} = …④ 22

c + d－a－b [ abc + d－cda + b]

比较③④知仅需证

4abcdc + d－a－b－2c + d－a－bcd－ab[bca + d + adb + c]

2

= 4[abc + d－cda + b] －2[abc + d－cda + b]ab－cda + b + c + d

2

2abcdc + d + 2abcda + b－4abcda + bc + d + [ abc + d－cda + b]ab－cda + b + c + d

2

2

= 2abc + d + 2cda + b－4abcda + bc + d + c + d－a－bcd－ababc + abd + bcd + acd

22

2

22

2

2ab－cd[abc + d－cda + b ]

2

2

= ab－cd{[abc + d－cda + b]a + b + c + d + c + d－a－b[abc + d + cda + b]} 2abc + d－2cda + b

2

2

= abc + da + b + abc + d－cda + b－cdc + b + abc + d－a + babc + d + cda + bc + d－cda + b

2222

2abc + d－2cda + b = 2abc + d－2cda + b，得证．

2

2

2

2

06 双心四边形ABCD，AC∩BD = E，、外心为I、O．求证I、O、E三点共线．

- -可修编.

. -

证：

引理：圆外切四边形ABCD，切点为M、N、K、L，则AC、BD、MK、NL四线共点． 引理的证明：设AC∩KM = G，LN∩KM = G，由正弦定理得

AKG( )G'BLGCCMsin∠GMCsin∠AGKCM = = = ． sin∠AKGAGAKsin∠AKGsin∠CGMAKAKsin∠AGK GCCLGCCLCMCG = ．∴ = = = 即G = G． AGANAGANAKAGDCMsin∠CGH sin∠GMCNMC同理

故AC、NL、KM三线共点．同理BD、KM、LN三线共点，引理得证．

回到原题：切点仍记为K、L、M、N，由引理KM∩LN = E．

以I为中心，⊙KNM为反演圆作反演，A、B、C、D分别为KLMN四边中点． 由BC∥KM∥AD, AB∥NL∥DC知ABCD为平行四边形．

而A、B、C、D共圆知A、B、C、D共圆，ABCD必为矩形，其中心设为Q，且有KM⊥LN． 由反演性质知Q、I、O三点共线．设LN、KM中点为P、R，则 →1→→→→IQ= IA+ IB+ IC+ ID

4

A●KA'●BB'●L●●N●PE●RID'C'CDM- -可修编.

. -

1→→→→1→→ = IK+ IL+ IM + IN = IR+ IP． 42→→→由垂径定理知PIRE为矩形．从而IR+ IP= IE．

→1→∴IQ= IE，即 I、Q、E三点共线，从而O、I、E三点共线．

2

平面几何中两个重要定理

引理1:凸四边形ABCD有切圆当且仅当

ABCDADBC,当且仅当FCAEECAF,

当且仅当BEBFDEDF.（图１）

引理2:凸四边形ABCD在角C有旁切圆当且仅当

BCBADCDA,当且仅当EBEDFBFD.（图２）

题目1:已知A,B,C,D为平面上四点,其中 任意三点不共线,且CB-CA=DA-DB.设线段 AD与线段BC相交于G,分别过A,B作AE//BD, BF//AC交直线BC,AD于点E,F.

证明:EB-EA=FA-FB.

- -可修编.

. -

证明一:设BAa,ACb,CGc,GBd,

BDe,DGf,GAg.

因为BFG～CAG,AEG～DBG,所以

FGFBdc(gb), EGEAgf(de). 要证FAFBEBEA,即证

dc(gb)ggf(de)d.

由余弦定理知,

c2g2b22cgcosCGAcosDGBf2d2e22df,即 c2g2b22cg1f2d2e22df1(cgb)(cgb)(fde)(fde)2cg2df.

已知条件CB-CA=DA-DBcdbfgecbgfde0.故

cgbfdcgedf1g1cg(gb)1d1df(de) - -可修编.

. -

gd(gb)g(de)d.

fc

证明二:记GAB,GAC,

GBA,GBD. 由正弦定理知,已知条件等价于

CBCADADBCACBDADB ABABABABsinsin()sin()sinsin()sin() 2sincos2sincos22222sincos2sincos222222222222 coscoscoscos22222222 coscoscoscos222222coscoscoscos.

2222由正弦定理知,要证明的结论等价于

sinsinsinsin

- -可修编.

. -

FAABFBABEAABEBAB sin(())sinsinsinsinsinsin(())sin

2cos2sin222cos22sin2sinsin cos22cos2cos2cos22.

因此,命题成立.

证明三:设CADBQ,AEBFP.

CBCADADB ACADBCBD

凸四边形GCQD在角G有旁切圆(引理2)

CQCGDQDG(引理2) (AQAC)CG(BQBD)DG

BPAGAP(AGACBDCGDG)

(平行四边形AQBP中,AQBP,BQAP)

BPAGAP(DABDACCG)AP(BCACACCG)APBG- -可修编.

凸四边形

PAGB切圆(引理

有. -

1)AFAEBFBE(引理1) EBEAFAFB.

题目2:已知ABC,记为ABC的边BC的旁切圆.任意选取一条平行于BC的直线l,分别交线段AB,AC于点D,E.记ADE的切圆为1.过点D,E作的切线(不过点A)交于点P;过B,C作1的切线(不过点A)交于点Q.证明: 无论如何选取直线l,直线PQ总过定点.

题记:本题是2009年捷克波兰斯洛伐克数学竞赛题3(见2010年中等数学增刊).利用引理1和2,可以简洁给出证明. 证明:设

DE1M,BCN.切点为

X,Y,DXEYP,PXBCU,PYBCV.

凸四边形ADPE在角P处有旁切圆 DADPEAEP(引理2).

又

AEDMEMAD,故

边上的旁切圆的切点.

DPDMEPEM.因此,点M也是EPD在DE

易知:点N是VPU在UV边上的旁切圆的切点.EPD与VPU关于点P位似(DE//CB),且点M和点N是该位似变换下的对应点,故点M,N,P共线.①

切点为I,J,BIDEK,CJDEL,BICJQ. 由引理1知,ABCQACBQ. 又ACCNABBN,故

CQCNBQBN,因此,点N也是CQB在BC边上的旁切圆的切点.

- -可修编.

. -

易知:点M是LQK在KL边上的旁切圆的切点.CQB与LQK关于点P位似(LK//CB),且点M和点N是该位似变换下的对应点,故点M,N,Q共线.②

由①和②知，直线PQ过定点N.

- -可修编.