甘肃省兰州市2016_2017学年高一数学下学期期中试题

本试卷共150分,考试时间120分钟

一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分,只有一项符合题目要求。) 1．圆x＋y＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 ( ) A．(2，-3)；16 B．(-2,3)；4 C．(4，-6)；16 D．(2，-3)；4 2. 从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法, 则所选5名学生的学号可能是 ( ) A. 1,2,3,4,5 B. 5,16,27,38,49 C. 2,4,6,8,10 D. 4,13,22,31,40 3．已知空间两点P1(－1,3,5)，P2(2,4，－3)，则|P1P2|等于 ( ) A.74 B．310 C.14 D.53 4．给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x为某一实数时可使x0”是不可能事件 ③“明天兰州要下雨”是必然事件 ④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件. 222其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D.3 5. 点P(-3,2，-1)关于平面xOz的对称点是 ( ) A.(-3,2,1) B. (-3,-2,-1) C. (-3,2,-1) D. (3,2,-1) 6. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是 （ ） A. A与C互斥 B. 任何两个均互C. B与C互斥 D. 任何两个均不互斥 7. 执行如图所示的程序框图，输出的T＝ ( ) A. 12 B. 15 C.20 D.30 8. 直线x＋2y－5＋5＝0被圆x＋y－2x－4y＝0截得的弦( ) A．1 B．2 C．4 D．46 9. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如示，若甲、乙两人的平均成绩分别为X甲、X乙，则下列结论正确的是 ( ) 下图所22斥 长为 1

A.X甲＜X乙；乙比甲成绩稳定 B．X甲＞X乙；甲比乙成绩稳定 C．X甲＞X乙；乙比甲成绩稳定 D．X甲＜X乙；甲比乙成绩稳定 10. 10．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x， y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 11．先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( ) 223571A.8 B. 8 C. 8 D. 8 y2212.设实数x，y满足(x－2)＋y＝3，那么的最大值是 ( ) x133A. B. C. D.3 232二．填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分)． 13. 利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x＋3x－5x＋11的值的算法． ①第一步：x＝23， 第二步：y＝7x＋3x－5x＋11， 第三步：输出y； ②第一步：x＝23， 第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11， 第三步：输出y； ③算6次乘法，3次加法； ④算3次乘法，3次加法． 以上描述正确的序号为________． 14. 圆x＋y－2x＋10y－24＝0与圆x＋y＋2x＋2y－8＝0的公共弦所线方程为________。 15. 如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是的一顶点，半径为正方形的边长。在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落外正方形内的概率为________。（用分数表示） 16. 已知圆C：x＋y＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________

2

2222223232在的直正方形在扇形

三. 解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)． 17．(本小题满分10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

18．(本小题满分12分)求下列各圆的标准方程． (1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；

(2)圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．

19. (本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)

10

10

与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得∑xi＝80，∑yi＝20i＝1i＝1

3

，

4

^^^^2∑xiyi＝184，∑xi＝720. 附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝i＝1i＝11010－－∑xiyi－nxyi＝1ni＝1n^^，a＝y－b ∑xi－nx22x，其中x，y为样本平均值． ^^^ (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 20．(本小题满分12分)已知点M(x0，y0)在圆x＋y＝4上运动，N(4,0)，点P(x，y)为线段

2

2

MN的中点．

(1)求点P(x，y)的轨迹方程；

(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值． 21．(本小题满分12分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))． (1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数； (3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？

22．(本小题满分12分)已知圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

2

2

2016—2017学年度第二学期期中考试高一年级数学参考答案（评分标准）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 答案 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） （13）②④； （14）x－2y＋4＝0 ； （15） 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．(本小题满分10分)

解:记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝5421{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.由题意知，事件A1，

12121212A2，A3，A4彼此互斥．

(1)取出1球为红球或黑球的概率为： P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝

543

＋＝. ┄┄┄┄┄┄┄5分 12124

1 B 2 B 3 A 4 D 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C 11 D 12 D 得分 4； （16）-2

4(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为： 法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) 54211＝＋＋＝. 12121212

111

法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. ┄┄„┄┄┄10分

1212

18．(本小题满分12分)

解：(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵圆心在y＝0上，故b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2. 又∵该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，

(1－a)2＋16＝r2，∴

(3－a)2＋4＝r2，

解得a＝－1，r2＝20.

∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20. ┄┄┄┄┄┄┄5分 (2)已知圆与直线x＋y－1＝0相切，并且切点为M(2，－1)， 则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上， l的方程为y＋1＝x－2，即y＝x－3.

y＝x－3，由

2x＋y＝0，

x＝1，

解得

y＝－2，

即圆心为O1(1，－2)． r＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2. ∴

所

求

圆

的

方

程

为

(x

－

1)2

＋

(y

＋

2)2

＝

2.

┄┄┄┄┄┄┄12分

19. (本小题满分12分) 解：(1)由题意知 n＝10，x＝

11080∑xi＝＝8， 10i＝110

11020

y＝i∑yi＝＝2， ┄┄┄┄┄┄┄2分

10＝11010

∑xiyi－10x y184－10×8×224^i＝1b＝＝＝＝0.3，

10720－10×8280∑x2i－10x2i＝1

^^

a＝y－b x＝2－0.3×8＝－0.4， ┄┄┄┄┄┄┄6分 ^

故所求回归方程为y＝0.3x－0.4. ┄┄┄┄┄┄┄8分 ^

(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关┄┄┄┄┄10分

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). ┄┄┄┄┄┄12分

20、(本小题满分12分)

x0＋4x＝2，

解：(1)∵点P(x，y)是MN的中点，∴y0

y＝2，x0＝2x－4，

故y0＝2y.

将用x，y表示的x0，y0代入到x20＋y20＝4中得(x－2)2＋y2＝1.

此式即为所求轨迹方程． ┄┄┄┄┄┄┄6分 (2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2,0)为圆心，以1为半径的圆． 点Q到直线3x＋4y－86＝0的距离d＝

|6－86|＝16.

32＋42

故点P到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15. ┄┄┄┄┄┄┄12分

21. (本小题满分12分)

解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. ┄┄┄┄┄┄┄2分

(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．0005×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55＞0.5.

0.5－(0.1＋0.2)

∴样本数据的中位数为2 000＋＝2 000＋400＝2 400(元)．

0.000 5┄┄┄┄┄┄┄8分

(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．

再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取100×2 500

＝25人． ┄┄┄┄┄┄12分 10 000

22、(本小题满分12分)

解析：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB.

设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y1y21xx则12，

即x1x2＋y1y2＝0 ① ┄┄┄┄┄┄┄2分

y＝x＋b，由

x2＋y2－2x＋4y－4＝0

消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，

1

∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝(b2＋4b－4)， ②

2┄┄┄┄┄┄4分

11

y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝(b2＋2b－

224)． ③

┄┄┄┄┄┄┄6分

把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0，，

解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立， ┄┄┄┄┄┄┄10分

故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4 ┄┄┄┄┄┄┄12分