高考数学专题导数讲义

一、导数与积分

1. 导数

设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数

Yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比

极限（即

y有xy无限趋近于某个常数），我们把这个极限值叫做函数yf(x)在xx0处的xxx0/导数，记作f(x0)或y/

即

f/(x0)limx0yf(x0x)f(x0)lim x0xx注：当x趋近于0时，x趋近于x0

f/(x0)lim2. 导函数

xof(x0x)f(x0)f(x)f(x0)lim xx0xxx0如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x)。称这个函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作f(x)或y

即 f(x)＝y＝lim///////yf(xx)f(x) limx0xx0x注：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值。 3. 导数的几何意义

函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

/yf(x0)f/(x0)(xx0)。

（-1,0）例. 求曲线yln(x2)在点P处的切线方程

（0,0）例. 经过原点作函数f(x)x

4. 几种常见函数的导数 C'0（C为常数）

33x2的图像的切线，则切线方程为

(xn)'nxn1（nR） (sinx)'cosx

x

(cosx)'sinx (lnx)'1(ax)'axlna5. 运算法则

（1）导数的运算法则

' (logax)(ex)'ex

1

xlna(uv)'u'v'yf1(x)f2(x)...fn(x)y'f1'(x)f2'(x)...fn'(x)

(uv)'vu'v'u(cv)'c'vcv'cv'（c为常数）

vu'v'uu(v0) v2v'（2）复合函数的求导法则

yf[u(x)]的导数yx32'yuux

''例. f(x)2x9x12x3

6. 定积分 （1） 概念

如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点ax0x1x2xi1xixnb

2,,n)，作和式将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上任取一点i(i1,f(i)xi1nbaf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数ni1bbnndxlimdx，即f(x)f(x)在区间a,b上的定积分，记作f(x)aani1baf(i) n这里a和b分别叫做积分的下限和上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，

x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间a,b有关, 与积分变量记号无关

a（2）性质 ① ② ③

bf(x)dxabf(t)dtaf(u)du

babkf(x)dxkf(x)dx （k为常数）

a12bdxf(x)f(x)baabf1(x)dxaf(x)dx

2bdxf(x)accbf(x)dx （aaf(x)bcb）

（3）微积分基本定理

一般的，如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么

'dxaf(x)bF(b)F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式，

为了方便，常常把F(b)例．计算下列定积分的值

5① (x1)dx

12dxF(x)aF(b)F(a). F(a)记作F(x)a，即af(x)bbb ② 2cos2xdx

2

（4）常见定积分的公式 ①

aab1xndxxn1 （n1）

n1ab②

bCdxCxa （C为常数）

b③ ④

aabsinxdxcosxa cosxdxsinxa

bbb⑤

ab1xdxlnxa

exbab⑥

aedxbx

（5）利用定积分求平面图形的面积 ① 画图象：在直角坐标系内画出大致图象

② 确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定被积函数与积分的上下限 ③ 用牛顿-莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分 例. 如图，阴影部分的面积是 A．23

B．923 C．

32 3D．

35 3二、导数的应用

1. 函数的单调性

设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，导函数f(x)在区间(a,b)内满足

’f'(x)0，则yf(x)为增函数； f'(x)0，则yf(x)为减函数

设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，导函数f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0，则

f(x)0，则yf(x)为增函数；

'’f'(x)0，则yf(x)为减函数

注：①f(x)0是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不

'是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f(0)0，同样f(x)0是f（x）递减的充

'''分非必要条件.

②一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

例1、判断下列函数的单调性及单调区间

（1）f(x)3x2lnx （2）f(x)x22lnx1 xex（3）f(x)2x(e1)x （4）f(x)

x2（5）f(x)sinx(1cosx)(0x2)

上单调递增，例2、已知函数f(x)x（x0,常数aR）.若函数f(x)在2，求a2ax的取值范围.

变式训练： 已知函数f(x)ax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围

32

例3、设函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中a1，求f(x)的单调区间

变式训练：已知函数f(x)

12xax(a1)lnx,a1，试判断函数单调性 2例4、当x0时，证明不等式 12xe

变式训练：当x1时，证明不等式 xln(1x)

2. 函数的极值 （1）定义

设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)2xf(x0)，

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0). 极

大值与极小值统称为极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)。 y

f(x4)f(x1)

o a X1 X2 X3 X4 b x （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有

f(x)0。但反过来不一定。如函数yx3，在x0处，曲线的切线是水平的，但这点

的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。假设x0使

f(x0)0，那么x0在什么情况下是的极值点呢？

y y

f  ( x0 ) f(x)0 f(x)0 f(x)0f(x)0 f(x0)

o x o a X0 a b X0 b x 如上左图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0)。因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0，同理，如上右图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f(x)0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f(x)0，从而我们得出结论：若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。 例. 求函数y

（2）判断f(x0)是极值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值. 注： ①若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数yf(x)x3，x0使f'(x)=0，但x0不是极值点.

’’’’13x4x4的极值。 3②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是极小值点 （3）求极值步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数；

③ 求方程y=0的根，这些根也称为可能极值点；

④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(最好通过列表法)

例1、 求下列函数的极值

（1）yx7x6 （2）yx27x

例2、已知函数f(x)axbx3x在x1的时候取极值，讨论f(1)和f(1)是函数的极大还是极小值

例3、已知函数f(x)x3axb(a0)

33223/（2，f(2)）（1）若曲线yf(x)在点处与直线y8相切，求a,b的值

（2）求函数f(x)的单调区间和极值

3． 函数的最值

（1）在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值； （2）求最值步骤：

设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内可导 ①求f(x)在a,b内的极值；

②将f(x)的各个极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是f(x)的最大值，最小的

一个是f(x)的最小值.

注：①．闭区间a,b上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.

②．函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.

③．在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较.

例1、 函数yx5x4在区间1,1上的最大值与最小值

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