广义矩方法

1、 广义矩方法（GMM）

广义矩方法是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是聚集方法的一般化。GMM的优点：仅需要知道一些矩条件，而不需要知道随机变量的分布密度（如极大似然估计）。这可能是一个缺陷，因为GMM经常不能对样本中的全部信息进行有效利用。并且如果如果模型的设定是正确的, 则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM。广义矩估计选择的矩估计方程个数多于待估参数的个数时, 必须选择参数使它尽可能地与各个矩估计方程配合, 来调和将出现在过度识别系统中的互相冲突的估计。一种办法就是最小化准则函数。令θ为参数向量, m(θ)为样本矩条件。最小化准则函数即使J T = m (θ)′m (θ)最小。考虑到不同的矩条件所起的作用不同, 人们希望某些矩条件的作用大些、某些矩条件的作用小些, 因此引入了加权矩阵, 它反映了各阶矩在GMM 中的重要程度。由此问题转化成了使J

T = m (θ)′w(θ)m (θ)最小。这里W (θ) 是一个正定权重矩阵,

它反映了与每一个矩条件相配合

的重要性。GMM 估计量就是使J T 最小化时的参数估计量θ, 即θ= argmin [m (θ)′w(θ)m (θ) ]。其中, m (θ) 为样本矩条件, 是m * 1 维的正交条件。权重矩阵W (θ) 为m * m 维的正定对称矩阵, θ为L* 1 维向量,L≤m。为使JT 极小化, 对JT 关于θ求导, 得到一阶条件m (θ)′W (θ) m (θ) = 0其中, m (θ) 是m (θ) 关于θ的Jacobian 矩阵。

GMM 估计的核心问题是对加权矩阵的选择问题。如果选取的矩条件个数恰好等于待估参数的个数, 就属于“ 恰好识别”( just -ident ified) 的类型, 无论权重矩阵如何选取, 都有最小值0。如果选取的矩条件个数多于待估参数的个数, 就属于“过度识别”(over-identified)的类型, 这时并不是每个矩条件都能得到满足, 而权重矩阵W决定了各个矩条件的相对重要性。如果过程是严格平稳的, 则选择W (θ) = S-1 (θ), 而S (θ) = E [ m (θ) m (θ)′] , 其中m (θ) 为样本矩条件, 这样的权重矩阵选择能使GMM估计量θ有最小的渐近协方差矩阵。直观上, 越少不确定性的矩条件给予越多的权重。

本文采用担子利率模型，只设定一个状态变量，即无违约风险的瞬时利率。假定瞬时利率的动态变化服从以下随机微分方程:dr=m(r) dt+ s(r)dW其中, m(r)为随机微分方程的漂移项, 表示利率变化的瞬时期望, s(r)为随机微分方程的扩散项, s2 (r)为利率变化的瞬时方差, W为布朗运动。在现实的金融市场上不存在瞬时利率rt，也就无法得到其观察值，因此研究者一般以短期利率作为其近似代替。金融市场上可观察到的短期利率种类较多，选择不同的短期利率模型的参数的结果会有显著差别。在我国货币市场，市场化程度较高的银行间市场期限在3个月以下的短期利率品种有14个。本文本文进行实证的利率数据为R007, 它是每周加权平均利率。数据跨期为199年1 月1 日至2004 年4 月23 日, 共计278 周。但是R007 在1999 年2月19 日和2000 年5 月5 日的数据缺失, 本文采用数据缺失日期的前后两周数据的算术平均数作为替代。

在广义矩估计的框架下，假定瞬时利率服从以下的随机微分方程：

dr = (α+ βr+ ψr2+ Ω/ r) dt+ δrγdW （1）

其中, α、β、ψ、Ω、δ、γ为常数。要对( 1) 式进行参数估计, 首先要对这个连续时间模型进行离散化, 本文对这个连续

时间模型进行欧拉离散。设从t 到t+ 1 所用的时间为∗, 由于进行参数估计的利率数据为每周数据, 因此δ=1/52。

rt+1-rt= (α+βrt+ψrt 2+Ω/rt) *δ+δrtγδ1/2ξt （2）

其中, ξt为白噪声, E[ξt] =0且D[ξt] = 1。设yt= rt+1-rt, εt=δrtγδ1/2ξt ，整理得

εt =yt- (α+βrt+ψrt 2+Ω/rt)*1/52 (3)

E[ξt] =0 E[ξt2] =δ2rtγ*1/52 (4)

(3)、(4) 式只是( 1) 式这个连续时间模型的离散近似，存在离散误差。这种欧拉离散方法有一个优点是, 在这个离散时间模型中, 利率变化的方差直接依赖于利率的水平, 其方差与其连续时间模型相一致。同时, 这种方法也有一个缺点是, 离散误差比较大, 不够精确。用GMM估计式(1) , 由于模型有6个参数, 需要6 个以上的矩条件。

将θ定义为包含元素α、β、ψ、Ω、δ、γ的参数向量，给定εt =yt- (α+βrt+ψrt 2+Ω/rt)*1/52。令向量ft（θ）为：