《相似三角形判定定理的证明》巩固练习

相似三角形判定定理的证明

一、选择题

1. 如图，已知∠C=∠E，则不一定能使△ABC∽△ADE的条件是（ ）

A ∠BAD=∠CAE B ∠B=∠D C

BCACABAC D DEAEADAE2．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（ ）

A．一定相似 B． 当E是AC中点时相似 C．不一定相似 D． 无法判断

3．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（ ）

A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对

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4. （2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=

D．=

5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）

A B

C D

；（2）

6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）

；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个

条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 二、填空题

7.（2015春•工业园区期中）如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中

（1）∠ACP=∠B；（2）∠APC=∠ACB；（3）AC2=AP•AB；（4）AB•CP=AP•CB，

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其中能满足△APC和△ACB相似的条件有 （填序号）．

8．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

9．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC △DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．

10．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知又因为 ，可证明△AOB∽△DOC．

，

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11．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ．

12．如图，D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线分别与AC、AD相交于点E、F，则图形有 对相似三角形．（不添加任何辅助线）

三、解答题

13.（2014秋•射阳县校级月考）如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE于G点， （1）求证：AC2=CE•CF；

（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．

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14．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE； （2）如果AC=BD，AD=2

BD，设BD=a，求BC的长．

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15．已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M． （1）求证：△ABF≌△DAE；

（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）．

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【答案与解析】

一、选择题 1．【答案】D；

【解析】由题意得，∠C=∠E，

A、若添加∠BAD=∠CAE，则可得∠BAC=∠DAE，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；

B、若添加∠B=∠D，利用两角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；

C、若添加=，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE，故本选项错误；

D、若添加=，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确； 故选D．

2.【答案】A. 【解析】连结OC，

∵∠C=90°，AC=BC， ∴∠B=45°， ∵点O为AB的中点， ∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°， ∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°， ∴∠EOC=∠BOF， 在△COE和△BOF中，

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∴△COE≌△BOF（ASA）， ∴OE=OF，

∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°， ∴△OEF∽△△CAB． 故选A．

3.【答案】C；

【解析】图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB， ∵DE=CE，FC=BC， ∴DE：CF=AD：EC=2：1， ∴△ADE∽△ECF，

∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF， ∴AE：EF=AD：DE， 即AD：AE=DE：EF， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠CEF+∠AED=90°， ∴∠AEF=90°， ∴∠D=∠AEF，

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∴△ADE∽△AEF， ∴△AEF∽△ADE∽△ECF，

即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF． 故选C．

4.【答案】D.

【解析】A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D． 5.【答案】B；

【解析】根据勾股定理，AB=

BC=AC=

==

， ，

：2

：=

=1：2：，

， =3

，三

=2

，

所以△ABC的三边之比为

A、 三角形的三边分别为2，边之比为2：

：3

=

：

：3，故本选项错误；

=2

，三边之比为2：

B、三角形的三边分别为2，4，4：2

=1：2：

，故本选项正确；

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C、三角形的三边分别为2，3，3：

，故本选项错误；

=

，

=，三边之比为2：

D、三角形的三边分别为比为

6.【答案】C；

：

=，4，三边之

：4，故本选项错误．

【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），

∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组． 故选C．

二、填空题

7.【答案】 （1）、（2）、（3）. 【解析】∵∠PAC=∠CAB，

∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确； 当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确； 当=，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△APC，所以（3）正确，（4）错误．

故答案为：（1），（2）（3）． 8．【答案】∠C=∠2或∠B=∠1或9．【答案】一定相似； 【解析】根据图示知：

AB=2，BC=1，AC=

；

；

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DE=2，EF=，DF=5， =

，

∴===

∴△ABC∽△DEF． 故答案是：一定相似．

10．【答案】∠AOB=∠DOC;

【解析】∵=，∠AOB=∠DOC，

∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角

形相似）．

故答案为：∠AOB=∠DOC．

11．【答案】①②;

【解析】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°， ∴∠DAC=∠BAC+60°， ∠BAE=∠BAC+60°， ∴∠DAC=∠BAE， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE=DC． ∴∠ADC=∠ABE，

∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°， ∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO

=180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°+∠ABE）=60°， ∵△DAC≌△BAE，

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∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，

∵∠DBO=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∠OCE=∠ACE+∠

ACO=60°+∠ACD，

∵∠ABE≠∠ACD， ∴∠DBO≠∠OCE，

∴两个三角形的最大角不相等， ∴△BOD不相似于△COE； 故答案为：①②．

12．【答案】3

【解析】在△ABC与△DBA中，

∵∠ABD=∠ABD，∠BAD=∠C， ∴△ABC∽△DBA， 在△ABF与△CBE中， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBE， 又∠BAF=∠BCE， ∴△ABF∽△CBE．

同理可证得：△ABE∽△DBF， 所以图形有3对相似三角形． 故答案为：3．

三、解答题

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13.【解析】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠CFA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠CFA=∠BAC， ∵∠ACF=∠FCA， ∴△CAF∽△CEA， ∴=， ∴CA2=CE•CF；

（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA， ∴△CAD∽△CBA， ∴=， ∴CA2=CB×CD， 同理可得：CA2=CF×CE， ∴CD•BC=CF•CE， ∴=， ∵∠DCF=∠ECB， ∴△CDF∽△CEB， ∴∠CFD=∠B， ∵∠B=38°， ∴∠CFD=38°．

14.【解析】

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（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，

∴∠DBA=∠CAE， 又∵==3， ∴△ABD∽△CAE； （2）连接BC，

∵AB=3AC=3BD，AD=2

BD，

∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2， ∴∠D=90°，

由（1）得△ABD∽△CAE ∴∠E=∠D=90°， ∵AE=BD，EC=AD=

BD，AB=3BD，

∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2 =（3BD+BD）2+（BD）2=

BD2=12a2，∴BC=2a．

15.【解析】

（1）证明：∵ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°．∵CE=DF， ∴AD﹣DF=CD﹣CE． ∴AF=DE． 第 14 页 共 15 页

在△ABF与△DAE中∴△ABF≌△DAE（SAS）．

，

（2）解：与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD，

∵△ABF≌△DAE， ∴∠FBA=∠EAD．

∵∠FBA+∠AFM=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠BAM=∠AFM． ∴△ABM∽△FAM．

同理：△ABM∽△FBA；△ABM∽△EAD．

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