高中高三物理二轮9 圆周运动临界问题

圆周运动的临界问题一直是高考的热点问题，多为竖直平面与水平面内的圆周运动，还有斜面上的圆周运动。

圆周运动的临界问题在高考中多与机械能守恒，动能定理，动量守恒，牛顿定律等知识综合应用，竖直平面内的圆周运动的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，弹力的方向就不能确定了 ，分以下几种情况讨论：

v （一）类问题：绳拉球、水流星、外侧轨道最高点的临界问题（如图L 绳 R 1、

v 2所示），此类问题的解题思路是一样的，即临界条件并求出临界速度。v0

R 杆 思路：由一般到特殊。一般情况下，如果弹力不为零，则方向一定向图 O 1 图 2

下，小球受到重力与弹力（绳子的拉力或外侧轨道的支持力，或容器底面对

图 3

水的支持力）的作用，向心力公示的表达式为G+F=mv2

/R，弹力随着速度的增

加而增加，减小而减小，当速度减小到F=0时，线速度具有最小值，此时有

G= mv2

/R ， v=gR ，所以F=0为小球恰好能过最高点的临界条件，临界速度为v=gR （注：如果小球的线速度小于gR ，则会做向心运动），即小球能做完整的圆周运动的条件为F≥0,此时v≥gR 。

例1 如图1中绳长为L,求小球恰好能过最高点的速度< >

A gL B 2gL C 3gL D gL/2

变式1---1 在上题的基础上，求小球在最低点的速度？ 变式1---2求小球在最低点受到绳子弹力大小？

变式1----3如果把小球换成是盛水的小桶，问，要使水桶转到最高点不从小桶里流出来，这时小桶的线速度至少是多少〈 〉A 2gL B gL/2 C gL D 2gL

分析：例1中答案无可非议为A,变式1---1是把临界问题与机械能守恒定律相结合,有mg2L+1/2mv2

=1/2mv2

x ,v= gL , 解得：vx=5gL ;在变式1---2中有F﹣G= mv2

x/L,解得F=6mg；变式1---3例1的答案一样为gL 。这样在总结共性问题的过程中，达到举一反三，触类旁通的效果。达到事半功倍的效果。

高考链接：

图4 1（全国二卷23题），如图4所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，一质量为m的物体从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物体能

通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间压力不能超过5mg,(g为重力

加速度)，求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围

分析：这是一道圆周运动的临界问题与机械能守恒相综合计算题，设

物块在圆形轨道的最高点的速度为v，由机械能守恒定律得，mgh=2mgR+ 1/2mv2

①

,物块能过最高点的条件为F≥0， mg +F= mv2

/R②， 解得v≥gR ③,联

立①、③式，解得h≥2.5 R④,又由于F≤5mg,，由②式得v≤6gR ⑤，联

立①, ⑤式得h≤5R ,所以h的取值范围为2.5R≤h≤5R.

2（全国统一招生 天津卷24题）如图5所示光滑水平面内上放着一个质5 图 量mA=1kg的物块A与质量mB=2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的弹簧（弹簧与A、B均不拴接），用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能EP=49J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图所示，放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5m，B恰能到达最高点C.取g=10m/s2

,求

（1） 绳拉断后瞬间B的速度vB的大小； （2） 绳拉断的过程对B的冲量I的大小； （3） 绳拉断的过程对A所做的功。

分析：做对这道题的关键是结合物体的受力情况分析清楚两球的运动过程，在松开手后到弹簧恢复到原长的过程中，A球静止，B球做加速运动，再到绳子断开过程中，A加速，B减速，直到绳子断了后，B球到达圆形轨道做圆周运动：

(1)在绳子拉断的瞬间，会对B做功、给B一个冲量，由于水平面光滑，小球B刚冲上轨道的速度等于绳子刚拉断时速度vB ，用动能定理与动量定理都无法求出小球B获得的速度，所以分析全过程，在绳子刚断开到小球到达C点的过程中，机械能守恒，而且题目当中隐含了一个重要的条件就是“B恰能到达最高点C”。即达到临界速度，临界条件弹力F=0，只有重力提供向心力，即mBg= mBv2

/R, v=gR ①,这样B球在最高点的机械能就知道了，就等于绳子刚断开时B球的动能，由机械能守恒定律得1/2 m2

BvB =2mBgR+1/2 m2

Bv , ②,联立①、②,解得：vB =5m/s.

(2)在弹簧恢复到自然长度时，B物体获得的速度为v1，（此过程中A一

直处于静止状态），由能量守恒定律得：E2

P=1/2 mBv1①，此后一直到绳子断开过程中，只有绳子拉力对A、B做功 ，对B应用动量定理，规定向右为正方向，有I= mBvB﹣mBv1, ②,联立①、②，得I=4﹣N.s,方向水平向左。

(3)设向右方向为正方向，在绳子刚断开的一瞬间，绳子对A物体有向右的弹力，所以A物体离开墙面，所以A、B组成的系统动量守恒，有mBv1= mAvA +mBvB ①，对A，由动能定理得W=1/2 mAv2

A②，联立①、②解得W=8J.

总结，这是一道典型的多过程、多知识点的综合性计算题，把圆周运动的临界问题与动量定理，动能定理，动量守恒、能量守恒结合起来，覆盖的重点知识点多，综合性强，对学生的分析、解决问题的能力有很好的考查效果，做对这道题的关键就是找着圆周运动的临界条件，求出临界速度。

（二）类问题：把绳子换成杆或者是双侧轨道（如上图3所示）因为杆与绳子的弹力不一样，杆的弹力可以向各个方向，在最高点时，弹力的方向可以向上，也可以向下，所以弹力为零是临界条件，临界速度也为v=gR ，如果v＞gR ，则需要的向心力不够，需要弹力补充，即杆的弹力方向向下；如果v＜gR ，需要的向心力比重力小，弹力方向向上，所以杆的弹力可以为推力也可以为拉力。同样，双侧轨道内侧轨道弹力方向向上，外侧轨道弹力方向向下，上下弹力都为零为临界条件，此时有mg= mv2

/R，v=gR ，如v＞gR ，外侧轨道有弹力，方向向下，如v＜gR ，内侧轨道有弹力，方向向上。

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例2（全国理综）如图6轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆 一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，用

m A L F表示球到达最高点时杆对球的作用力，则F（ ） O

A 一定是拉力 B 一定是推力

C一定等于零 D 可能是拉力，可能是推力，也可能等于零

变式2----1长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（图4），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当A的速率v1＝1m／s时 ②当A的速率v2＝4m／s时

变式2----2（1999年全国） 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图4所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆

周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2

则此时细杆OA受到（ ）

A、6.0N的拉力 B、6.0N的压力 C、24N的拉力 D、24N的压力

分析：由以上分析不难得出，例2选择答案D,变式2---1，先求出临界速度v=gL ,v=5 m/s, ①中v1＝1m／s, v1﹤v,所以杆对球的弹力向上，有mg﹣F=mv2

1/L,解得F=16N, ②中v2＝4m／s，v2﹥v，所以，杆对小球的弹力方向向下，有F+mg= mv2

2/L,

解得F=60N.同样的方法分析变式2---2，解得F=6N,方向向上，那么球对杆的力为压力，互为相互作用力，大小也为6N,故选择B.还有一种方法，就是在不知道弹力方向的情况下，规定重力方向为正方向，列出向心力公式：mg+F= mv2

/L,如解出F为正值，则与规定的正方向相同（方向向下），如为

负值则与规定的正方向相反（方向向上）。

（三）

类问题：车过桥，此类问题如果有弹力，方向一定向上，向心力表达式为

G﹣F= mv2

/R,弹力随着速度的增大而减小，当速度增大到F=0时，此时v=gR ，如果速度再增大（即v＞gR ），车就会离心而做平抛运动。

总结，这三类问题的临界条件都为弹力F=0,为共性问题。其分析思路也一样：1确定研究对象，对其最高点受力分析2 结合向心力公式，分析临界条件，求出临界速度3求解；在与其他知识点综合的高考计算题中，先分析清楚是那一类临界问题，然后运用各自的规律找出临界条件，求出临界速度，以速度作为纽带与其他知识点进行综合。