第五章相交线与平行线 综合培优练习(二)2020-2021学年人教版七年级下册

综合培优练习（二）

1． 已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并

且EM∥FN．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．

2．如图，已知，AB∥PF，∠FPB＝∠C，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG． （1）证明：AB∥CD； （2）求∠PFH的度数．

3．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）AD与EC平行吗？试说明理由．

（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝80°，试求∠FAB的度数．

4．（1）如图1，∠1＝∠3，∠E＝∠2，求证：CD∥AB．

（2）如图2，已知CD∥AB，∠MFN＝120°，直线HI交∠CMF、∠FNB的角平分线分别于点H、I，求∠H﹣∠I的值．

（3）如图3，已知CD∥AB，∠MFN＝α°，∠4＝∠CMF，∠5＝∠BNF，直接写出∠H﹣∠I的值为 （用α表示）． 5．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 已知：如图，BD⊥AC，EF⊥AC，∠1+∠2＝180°． 求证：DG∥BC．

证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）， ∴∠BDC＝∠EFC＝90°（垂直的定义）． ∴ ∥ （ ）． ∴∠2+ ＝180°（ ）． 又∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠1＝ （ ）． ∴DG∥BC（ ）．

6．已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且+|β﹣40|＝0．

（1）α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；

（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中

的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

7．如图：完成下列填空：

①若∠1＝∠2，则 ∥ ．（ ） 若∠DAB+∠ABC＝180°，则 ∥ ． 若DC平分∠BDE，∠2＝∠3，则 ∥ ． ②当 ∥ 时，∠C+∠ABC＝180°．（ ） 当 ∥ 时，∠3＝∠C ．

8．（1）如图a所示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由；

（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系，并说明理由．

9．已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，那么AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据． 解：是，理由如下：

∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）， ∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义）． ∴AD∥EG（ ）． ∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝ （ ）． ∵∠E＝∠3（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）．

∴AD平分∠BAC（ ）．

10．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．

（1）如图1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，则∠AED＝ ．

（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；

（3）如图3，当点E在FG延长线上时，DP平分∠EDC，且∠EAP：∠BAP＝1：2，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度数．

11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．

（1）直接写出图中∠AOD的对顶角为 ，∠DOE的邻补角为 ． （2）若∠AOC＝90°，且∠BOE：∠EOD＝2：3．求∠EOC的度数．

12．完成下面的解题过程．

已知：如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠BME，求∠3． 解：∵∠1＝∠AME（对顶角相等）， 又∵∠1＝∠2＝40°， ∴∠2＝∠AME．

∴AB∥CD（ ）．

∴∠ +∠3＝180°（ ）． ∵∠1+∠BME＝180°， ∴∠BME＝140°． ∵MN平分∠BME，

∴∠BMN＝ ＝ °． ∴∠3＝ °．

13．完成下面的证明．

已知：如图，AC⊥BD于C，EF⊥BD于F，∠A＝∠1． 求证：EF平分∠BED． 证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，

∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（ ） ∴∠ACB＝∠EFB．

∴ ∥ .（ ） ∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等） ∠3＝∠1．（ ） 又∵∠A＝∠1， ∴∠2＝∠3．

∴EF平分∠BED．（ ）

14．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°．

（1）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，求∠FAC的度数；

（2）若点E、F在射线DC上，且满足AE平分∠FAB，当点F运动时，∠DFA：∠DEA的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC＝∠BAC，直接写出∠ACD：∠AED的值．

15．如图，E，G是分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）判断AD与EF的位置关系，并说明理由；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．

参

1．（1）证明：∵EM∥FN， ∴∠EFN＝∠FEM．

∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE， ∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM． ∴∠CFE＝∠BEF． ∴AB∥CD．

（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下： ∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∵FN平分∠CFE， ∴∠CFE＝2∠CFN，

∵∠AEF＝2∠CFN， ∴∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴∠CFN＝∠EFN＝45°，

∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°， 同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．

∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°． 2．（1）证明：∵∠FPB＝∠C， ∴CD∥PF，

∵AB∥PF， ∴AB∥CD；

（2）解：∵DC∥FP，∠FED＝30°， ∴∠FED＝∠EFP＝30°， ∵AB∥FP，∠AGF＝80°， ∴∠AGF＝∠GFP＝80°，

∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°， ∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH＝∠GFE＝55°，

∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°． 3．（1）AD与EC平行， 证明：∵∠1＝∠BDC，

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°，

∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；

（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝80°， ∴∠BDC＝80°， ∵DA平分∠BDC，

∴∠ADC＝∠BDC＝40°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝40°（已证）， 又∵CE⊥AE，

∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证），

∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣40°＝50°． 4．解：（1）证明：∵∠E＝∠2， ∴EM∥PN， ∴∠1＝∠DPN， ∵∠1＝∠3， ∴∠DPN＝∠3， ∴CD∥AB；

（2）过H作HE∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，如图4： ∵CD∥AB，

∴CD∥HE∥FG∥IK∥AB， ∵MH平分∠CMF，NI平分∠BNF，

设∠CMH＝∠FMH＝m°，∠FNI＝∠BNI＝n°，

∴∠DMF＝∠MFG＝180°﹣2m°，∠BNF＝∠GFN＝2n°， ∴∠MFN＝∠MFG+∠GFN＝180°﹣2m°﹣2n°， ∵∠MFN＝120°，

∴180°﹣2m°+2n°＝120°， ∴m°﹣n°＝30°， 又CD∥HE∥FG∥IK∥AB， ∴∠EHI＝∠HIK，

∴∠MHI﹣∠HIN＝∠MHE﹣∠KIN＝∠CMH﹣∠INB＝m°﹣n°＝30°；

（3）过H作HG∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，如图5： ∵CD∥AB，

∴CD∥EF∥HG∥IK∥AB， ∴∠4＝∠MHG，∠5＝∠KIN，

∵∠H＝∠MHG+∠GHI，∠I＝∠HIK+∠KIN， ∴∠H﹣∠I＝∠MHG+∠GHI﹣（∠HIK+∠KIN） ＝∠4﹣∠5

＝∠CMF﹣∠BNF ＝（∠CMF﹣∠BNF），

又∵∠CMF+∠MFE＝180°，∠BNF＝∠EFN，∠MFN＝∠MFE+∠EFN＝α°， ∴（∠CMF﹣∠BNF）＝（180°﹣α°）＝60°﹣α°． 故答案为：60°﹣α°．

5．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知）， ∴∠BDC＝∠EFC＝90°（垂直的定义）． ∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．

∴∠2+∠DBE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠1+∠2＝180°（已知）， ∴∠1＝∠DBE（等量代换）．

∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：BD∥EF；同位角相等，两直线平行；∠DBE；两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；等量代换；内错角相等，两直线平行． 6．（1）解：∵∴α＝β＝40，

∴∠PFM＝∠MFN＝40°，∠EMF＝40°， ∴∠EMF＝∠MFN， ∴AB∥CD；

故答案为：40，40，AB∥CD；

（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°． 理由：∵AB∥CD， ∴∠MNF＝∠PME， ∵∠MGH＝∠MNF， ∴∠PME＝∠MGH， ∴GH∥PN， ∴∠GHM＝∠FMN， ∵∠GHF+∠GHM＝180°， ∴∠FMN+∠GHF＝180°；

（3）解：

的值不变，

＝2．

+|β﹣40|＝0，

理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R． ∵AB∥CD， ∴∠PEM1＝∠PFN，

∵∠PER＝∠PEM1，∠PFQ＝∠PFN， ∴∠PER＝∠PFQ， ∴ER∥FQ，

∴∠FQM1＝∠R，

设∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y， 则有：

可得∠EPM1＝2∠R， ∴∠EPM1＝2∠FQM1 ∴

＝2．

，

7．解：①若∠1＝∠2，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 若∠DAB+∠ABC＝180°，则AD∥BC； 若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD；

故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行；AD，BC；AB，CD； ②当 AB∥CD时，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 当AD∥BC时，∠3＝∠C（两直线平行，内错角相等），

故答案为：AB，CD，两直线平行，同旁内角互补；AD，BC，两直线平行，内错角相等． 8．解：（1）如图a，过点E作EF∥AB； ∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥CD（平行的传递性），

∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等）， ∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）， ∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）； （2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，

理由如下：如图b，过点E作EF∥AB，

∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥CD（平行的传递性），

∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 即∠CEA+∠AEF＝∠2，

∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）， ∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换）， 即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°．

9．解：是，理由如下：

∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）， ∴∠4＝∠5＝90°（垂直定义）， ∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠E＝∠3（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换），

∴．AD平分∠BAC（角平分线定义）．

故答案为：同位角相等，两直线平行；∠3，两直线平行，内错角相等；角平分线定义．10．解：（1）延长DE交AB于H，

∵AB∥CD，

∴∠D＝∠AHE＝45°， ∵∠AED是△AEH的外角，

∴∠AED＝∠A+∠AHE＝25°+45°＝70°， 故答案为：70°．

（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG． ∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHC＝∠AED+∠EDG， ∴∠EAF＝∠AED+∠EDG． （3）∵∠EAP：∠BAP＝1：2， 设∠EAP＝x，则∠BAE＝3x，

∵∠AED﹣∠P＝32°﹣30°＝2°，∠DKE＝∠AKP，

又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAP+∠KPA+∠AKP＝180°， ∴∠EDK＝∠EAP﹣2°＝x﹣2°， ∵DP平分∠EDC，

∴∠CDE＝2∠EDK＝2x﹣4°， ∵AB∥CD，

∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG， 即3x＝32°+2x﹣4°，解得x＝28°， ∴∠EDK＝28°﹣2°＝26°，

∴∠EKD＝180°﹣26°﹣32°＝122°．

11．解：（1）∠AOD的对顶角为∠BOC，∠DOE的邻补角为∠COE；

故答案为：∠BOC，∠COE；

（2）∵∠DOB＝∠AOC＝90°，∠DOB＝∠BOE+∠EOD，∠BOE：∠EOD＝2：3， ∴∠EOD＝∠BOE， ∴∠BOE+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝36°， ∴∠DOE＝°，

∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝126°． 12．解：∵∠1＝∠AME（对顶角相等）， 又∵∠1＝∠2＝40°， ∴∠2＝∠AME．

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），

∴∠BMN+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠1+∠BME＝180°， ∴∠BME＝140°． ∵MN平分∠BME， ∴∠BMN＝∴∠3＝110°．

BMN；故答案依次为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；70°；110°．

13．证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，

∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°（垂直定义）， ∴∠ACB＝∠EFB．

∴EC∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠A＝∠1， ∴∠2＝∠3，

∴EF平分∠BED（角平分线定义 ）．

；

＝70°，

故答案为：垂直的定义；EF，AC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线定义． 14．解：（1）∵AD∥BC， ∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠B＝∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∴∠D+∠DAB＝180°， ∴AB∥CD，

∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE， ∴∠EAC＝∠BAE，∠EAF＝∠DAE，

∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF＝（∠BAE+∠DAE）＝∠DAB＝30°； （2）如图，

∵AE平分∠FAB，

∴∠FAE＝∠EAB＝∠FAB， 由（1）得，AB∥CD， ∴∠DEA＝∠EAB＝∠FAE， ∵∠DFA＝∠DAE+∠FEA， ∴∠DFA＝2∠FAE＝2∠DEA， ∴∠DFA：∠DEA＝2：1，

故∠DFA：∠DEA的度数比值不变，为2：1． （3）①如图，当点E在线段CD上时，

由（1）可得AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC＝∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：3；

②如图，当点E在DC的延长线上时，

由（1）可得AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC＝∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：1． 15．解：（1）AD∥EF，理由如下： ∵AB∥DG， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴AD∥EF；

（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°， ∴∠1＝35°，

∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠ADC＝2∠1＝70°，

∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°， ∵AD∥EF，

∴∠EFB＝∠ADB＝110°， ∵∠BEF＝180°﹣∠2＝35°，

∴∠B＝180°﹣∠EFB﹣∠BEF＝180°﹣110°﹣35°＝35°．