二项式定理

其中组合数Cn叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，

rnrr其中第r+l项Tr1Cnab(r0,1,2,,n)称为二项展开式的通项，

r二项展开式通项的主要用途是求指定的项. 特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数

r都为1时，系数就是二项式系数。如在(axb)n的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为Cn，rnrr第ｒ＋１项的系数为Cnab；而(x)的展开式中的系数就是二项式系数；

1xn（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；

（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

17； )的展开式中常数项是____（答：14）

x3（2）(1x)3(1x)4(1x)10的展开式中的x的系数为______ （答：

如（1）(2x3330）；

1的末尾连续出现零的个数是____（答：3）；

(4)(7x32)40展开后所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有____项（答：7）；

(5)若16x15x220x315x46x5x6(xN且x21)的值能被5整除，则x的可取值的个数有____个（答：5）； (6)若xy0,且xy1,二项式(xy)9按x降幂展开后，其第二项不大于第三项，则x 的取值范围是 （答：(1,)）； (7)函数f(x)(1sinx)(1sinx)的最大值是_______（答：1024）. 2、二项式系数的性质：

mnm（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn； Cn1010（3）数11100n1n1r时，二项式系数Cr的值逐渐增大，当时,Crnn22n的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第＋1项）的二项式系

2nn1n1数Cn2取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和＋1项）的二项式系数

22（2）增减性与最大值：当rCn12nCn12n相等并同时取最大值。如（1）在二项式(x1)的展开式中，系数最小的项的

n11系数为______（答：－426）；（2）在(1x)的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n＝____（答：17,18或19）。

01r0213（3）二项式系数的和：CnCnCnCn2；CnCnCnCn

nn12n0122n1。如（1）如果12Cn22Cn2nCn2187，则CnCnCnCnn

（答：128）；（2）化简Cn2Cn3Cn(n1)Cn（答：(n2)2012nn1）

3、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为f(1)、“奇数 (偶次)项”系数和为[f(1)f(1)]，以及“偶数 (奇次)项”系数和为[f(1)f(1)]。

12929如（1）已知(13x)a0a1xa2xa9x，则a0a1|a2||a9|等于

912_____（答：4）；

（2）(12x)2004a0a1xa2x2a2004x2004，则(a0a1)(a0a2)＋

； (a0a2004)＝_____（答：2004）

（3）设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n,则a0a2a2n_____（答：

3n1）。 24、系数最大项的求法：设第r项的系数Ar最大，由不等式组ArAr1确定r。如求

AAr1r13x)10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最2139105x3） 大的项为15x2，系数最大的项为8(x5、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。

如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为________（答：0.990）；

（2）1333被4除所得的余数为_____（答：0）；

45

（3）今天是星期一，100天后是星期_____（答：二）；

2998n9(nN*)能被64整除；

nn1*（5）求证：3(n2)2(nN,且n2)

（4）求证：32n2

1.【2010•江西理数】 2x展开式中不含．．x项的系数的和为（ ）

84A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】B

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难

80则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x项系数C82(1)81即为所求，答案

4为0.

2. 【2010•全国卷1文数】(1x)4(1x)3的展开式 x的系数是( )

(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力. 【答案】A

13【解析】(1x)(1x)14x6x4xx13x23xx2

432342x2的系数是 -12+6=-6

3. 【2010•全国卷1理数】(12x)3(13x)5的展开式中x的系数是( ) (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

【答案】C

4．【2010·河北省正定中学四月统考】(x2)10(x21)的展开式中x的系数为（ ）

A．360 B．180 C．179 D．359 【答案】C

【解析】(x2)10(x21)=x2(x2)10(x2)10，本题求x的系数，只要求(x2)10展

r10r2开式中x及x的系数．Tr1C10x2r，取r2,r0得x的系数为C1022180；0x10的系数为C10= 1，因此所求系数为1801179．

810810105．【2010·衡水中学高三第一次模拟考试】设(12x)10展开后为1a1xa2x2a10x10，那么a1a2（ ） A ．20 【答案】B

B．200

C．55

D．180

r

【解析】依题意，Tr+1= C10 (2x)10-x，所以a1=10×2=20, a2=45×4=180,所以a1a2200，选择B；

6．【2010·郑州市二模】二项式（2x－1）6的展开式中，常数项是（ ） xD．－20

A．20 B．－160 C．160 【答案】B

【解析】设Tr1=C2160．

r66rx6r2(1)x为常数项，则

rr262r=0， r3，所以常数项为－27．【2010·浙江省六校联考】设m、n是正整数，整式f(x)=（1－2x）+（1－5x）中含x的一次项的系数为－16，则含x项的系数是（ ）

A．－13 B．6 C．79 D．37 【答案】D

11【解析】由题意得Cm·（－2）+Cn·（－5）=－16． 2m +5n=16．又 m、n是正整数，

2mn m=3、n=2．展开式中含x2项的系数是C32·（－2）2+C22·（－5）2=12+15=37．

8(x1)8．【2010·重庆一中四月月考】的展开式中各项的二项式系数之和为( )

A.256 B.128 C.1 D.0

【答案】A

【解析】注意区分二项式系数和项的系数之间的区别．

42．【2010·浙江温州二模】（x+1）（x－2）=a0+a1(x－1)+ a2(x－1) +a3(x－1) +…+a11(x

2923－1)11,则a1+ a2 +a3+…+ a11的值为（ ）

A．0 B．2 C．255 D．－2 【答案】B

【解析】令x=1,得2×（－1）= a0，令x=2,得（2+1）×0= a0+ a1+ a2 +a3+…+ a11，联立得：a1+ a2 +a3+…+ a11=2

9．【2010·青岛市二模】若(xa)8a0a1xa2x2a8x8，且a556，则

2a0a1a2a8（ ）

A.０ B.１ C.2 D.3 【答案】C

5【解析】由a5(a)3C8=56，知a1，利用赋值法得C．

8810．【2010·成都一模】在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）2004的展开式中x3的系数等于（ ） A．C42004 【答案】B

3433【解析】含x3的系数为C33+C4+C5+…+C2004=C2005．

B．C42005

C．2C32004

D．2C32005

11．【2010·上海普陀区二模】若(2x3)4=a0a1xa2x2a3x3a4x4，则

(a0a2a4)2(a1a3)2的值是（ ）

A．1 B．1 C．0 D． 2 【答案】A

【解析】令x1，则a0a1a4=(23)4，

令x1，则a0a1a2a3a3(23)4．

所以，(a0a2a4)2(a1a3)2=(23)4(23)4= 1．

9312. 【2010•全国卷2理数】若(x)的展开式中x的系数是84，则a ．

ax【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法. 【答案】1

3【解析】展开式中x的系数是C9(a)384a384,a1.

3

13. 【2010•辽宁理数】(1xx)(x)的展开式中的常数项为_________.

【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法 【答案】-5

r3(x)的展开式的通项为Tr1C6【解析】当r=3时，(1)rx62r，T4C620，4当r=4时，T5C615，因此常数项为-20+15=-5

21x61x2

14. 【2010•全国卷2文数】(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________。 【答案】84

1Tr1C9rx9r()r3C84 92r3,r3x，∴ 【解析】∵ ，∴ 915. 【2010•四川理数】(216)的展开式中的第四项是 . 3x【答案】－

160 x33【解析】T4＝C62(13160) 3xx16. 【2010 •四川文数】(x－【答案】24

24

)的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 。 x2()r x4【解析】展开式的通项公式为Tr＋1＝C4x 取r＝2得常数项为C42(－2)2＝24

r4r21017. 【2010 •湖北文数】在(1x)的展开中， x的系数为______。

【答案】45

【解析】(1x2)10展开式即是10个（1-x2）相乘，要得到x4，则取2个1-x2中的（-x2）相乘，

2(x2)245x4，故系数为45. 其余选1，则系数为C1018.. 【2010 •湖北理数】在（x+ 【答案】6

4 3y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。

r20r4r4【解析】二项式展开式的通项公式为Tr1C20x(3y)rC20(3)rx20ryr(0r20)要使

系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项。

19．【2010·陕西师大附中3月月考】在二项式(3x 【答案】3

【解析】展开式的通项为：Tr+1=(1)C(x)有理项，则

rr31515r2x2)15的展开式中，有 个有理项．

() =(1)2Cxxrrrr15305r6，设Tr+1项为

305r5=5r为整数，∴r为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个66数，故共有3个有理项．

20．【2010·河北省石家庄市二模】若(x)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）

【答案】20

【解析】赋值法，令x1，则n6，解得常数项为20． 21．【2010·上海嘉定区模拟】

10T=-70x4【答案】．

1xn(x-116)2x的二项展开式中第4项是 ．

【解析】第四项令r3．

1(x2)6x的展开式中，常数项为 22．【2010·河北邯郸市二模】二项式

【答案】15

【解析】利用二项式通项展开后再求 23．【2010·甘肃省第二次大联考】设(5x1n)的展开式的各项系数之和为M，二项式系3x数之和为N，若M－N=240，则展开式中的常数项为_____． 【答案】－20

【解析】各项系数和为(51)n，二项式系数和为2，由M－N=240，得n4，解得常数项为－20．

12n71．【2010·河北唐山市摸底考试】13Cn9Cn3nCn ．

n【答案】4

【解析】在二项展开式中(1x)=CnCnxCnxnn01nn．令x3，得

nn0122nn12nn，即13Cn9Cn3Cn4． (13)CnCn3Cn3Cn324．【2010·全国三联辽宁卷】(x19)的展开式中的常数项为 x【答案】84

【解析】 设展开式中第r1项是常数项，即Tr1Cx解得r6，因此Tr184．

123n25．【2010·河南鹤壁市第二次质检】化简Cn+2Cn+3Cn+…+nCn= ．

n1r99r39r1rr()=C9x2(1)r为常数，

x【答案】n·2【

解

析

】

kkCn=

k1nCn1，

原

n1式

0123n10123n1=nCn21+nCn1+nCn1+nCn1+…+nCn1=n(Cn1+Cn1+Cn1+Cn1+…+Cn1)=n·

．

26．【2010·上海虹口区二模】在(2x33y)100的展开式中，系数为有理数的项共有 项．

【答案】17 【

解

r100析】

100r(2x33y)100(33y)C2rr100100r2的展

100rr开式的

r100通项

Tr1C(2x)要满足Cr1003xr3y,该项的系数为C2100r23，

r32100r23是有理数，则

r3应是6的倍数.∵ 0r100且rZ, ∴

r0,6,12,18,…,96 ∴ 系数为有理数的项共有17项．

27．【2010·兰州市一模】在(3式中常数项是 【答案】7

4401n【解析】第5项二项式系数为Cn且Cn中只有Cn最大，故n8．常数项是,Cn,Cnx21x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开

．

x1C86()2(3)6=7．

2x28．【2010·安徽省蚌埠市第三次质检】（x+1）（x－2）=a0+a1(x－1)+ a2(x－1) +a3(x－1) +…+a11(x－1),则a1+ a2 +a3+…+ a11的值为 ． 【答案】2

【解析】令x=1,得2×（－1）= a0，令x=2,得（2+1）×0= a0+ a1+ a2 +a3+…+ a11，联立得：

2311292a1+ a2 +a3+…+ a11=2．