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线性代数试题及答案

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线性代数试题及答案

线性代数习题和答案

第一部分 选择题 (共28分)

一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出四个选项中只有一

个是符合题目要求的,请将其代码填在题后括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m

a11a21a12a=m,13a22a23a11a=n,则行列式11a21a21a12a13等于( )

a22a23 B. -(m+n) D. m-n

1002.设矩阵A=020,则A-1等于( )

00313 A. 00012000 1

101B. 020012D. 0000 131003010 C.  1002 0010 3013123.设矩阵A=101,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是( )

214 A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ) A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT)等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( ) A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+

λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中( ) A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( )

1

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A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.

11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆,则必有( ) A.秩(A)A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ特征向量 B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,

λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有( ) A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( ) A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=AT D.A的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则( ) A.A与B相似 B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为( ) A.23 34 B.34 26100 C.023

035

111D.120 102第二部分 非选择题(共72分)

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每

小题的空格内。错填或不填均无分。

11115.356 . 92536111123,B=.则A+2B= . 11112416.设A=17.设A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关,则a= . 19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .

20.设A是m×n矩阵,A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α-β)= .

2

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22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .

0106223.设矩阵A=133,已知α=1是它的一个特征向量,则α所对应的特征值

21082为 .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 . 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)

12023125.设A=340,B=(2)|4A|. .求(1)ABT;

2401213112513426.试计算行列式.

2011153342327.设矩阵A=110,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

1232130301128.给定向量组α1=,α2=,α3=,α4=. 40224193试判断α4是否为α1,α2,α3线性组合;若是,则求出组合系数。 12124229.设矩阵A=2103330266. 2334求:(1)秩(A);

(2)A的列向量组一个最大线性无关组。

02230.设矩阵A=234的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.

24331.试用配方法化下列二次型为标准形

222x2 f(x1,x2,x3)=x123x34x1x24x1x34x2x3,

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)

32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明

(1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解; (2)η0,η1,η2线性无关。

答案:

一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分) 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C

3

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6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分) 15. 6 16. 337

13717. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1

222z224. z12z3z4

三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分)

1202225.解(1)ABT=34034

1211086=1810. 310(2)|4A|=43|A|=|A|,而

120|A|=3402. 121所以|4A|=·(-2)=-128 311055115121013131251105131311 0026.解

5214111031 05=1155=655062301040.

5527.解 AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

223(A-2E)-1=1101211143153. 1143423所以 B=(A-2E)-1A=153110

1123 4

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386=296. 2129213005321301130128.解一  0112022434190131121000100005111200088014140002101,

0110003035112

011000所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为(2,1,1). 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,

2x1x23x30x3x12即 1

2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解(2,1,1)T,组合系数为(2,1,1).

29.解 对矩阵A施行初等行变换

121000A032096262 8232283=B. 310000212101210328303200000062000217000(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.

(2)由于A与B列向量组有相同线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的

列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组一个最大线性无关组。

(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=(2,-1,0)T, ξ2=(2,0,1)T.

25/525/15经正交标准化,得η1=5/5,η2=45/15.

05/3λ=-8的一个特征向量为

5

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1/31ξ3=2,经单位化得η3=2/3.

2/3225/5215/151/3所求正交矩阵为 T=5/5/152/3.

05/32/3100对角矩阵 D=010008.

25/5215(也可取T=/151/305/32/3.)

5/545/152/331.解 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32 =(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.

y1x12x22x3设x1y12y2y2x2x3, 即x2y2y3,

y3xx33y3120因其系数矩阵C=011可逆,故此线性变换满秩。

001经此变换即得f(x1,x2,x3)标准形 y12-2y22-5y32 .

四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 32.证 由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,

所以E-A可逆,且 (E-A)-1= E+A+A2 .

33.证 由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.

(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解。 (2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,

即 (l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0解,矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而所以η0,η1,η2线性无关。

6

l0=0 .

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