原平市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

原平市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设命题p：A．

B．

，则

p为（ ）

C． D．

2． 已知复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），则|z|=（ ） A．1

B．2

C．3

D．

3． 一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．π B．3π+4 C．π+4 D．2π+4

4． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）

A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为 C．该几何体表面积应为+

D．该几何体唯一

5． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A．

12 B． C．1 D．2 33B．

C．

D．

6． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（ ） A．

7． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ）

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精选高中模拟试卷

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 9 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15

9． 已知全集UR，A{x|23x9}，B{y|0y2}，则有（ ） A．AØB B．ABB C．A(ðRB) D．A(ðRB)R

B（ ）

D. 1,2

10．设集合AxR||x|2，BxZ|x10，则AA.x|1x2 B.x|2x1 C. 2,1,1,2

【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题． 11．“双曲线C的渐近线方程为y=±x”是“双曲线C的方程为A．充要条件 C．必要不充分条件 A．150°

B．充分不必要条件

﹣

=1”的（ ）

D．30°

D．不充分不必要条件

，B=45°，则角A等于（ ）

C．60°

B．90°

12．已知△ABC中，a=1，b=

二、填空题

13．下列说法中，正确的是 ．（填序号）

①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；

②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称； ③y=（

x

）﹣是增函数；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．

14．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km．

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15．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 ．

的取值范围为 ．

16．在正方形ABCD中，ABAD2,M,N分别是边BC,CD上的动点，当AMAN4时，则MN 【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．

17．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．

18．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.

2三、解答题

19．已知数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣19n+1，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|． （1）求Sn的最小值及相应n的值； （2）求Tn．

20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．

（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；

2

（2）令F（x）=f（x）+ax+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求

实数a的取值范围；

2

（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

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21．在数列（Ⅰ）当

中，时，求

，使

，

的值；

构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； ，使得

．

，其中

，

．

（Ⅱ）是否存在实数（Ⅲ）当

时，证明：存在

12axx,aR． 2（1）令gxfxax1，讨论gx的单调区间；

22．已知函数fxlnx（2）若a2，正实数x1,x2满足fx1fx2x1x20，证明x1x2

23．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．

（1）求证：f（x）是周期函数；

（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；

51． 2（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

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24．如图，平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，点C为底面圆周上异于A，B的任意一点． （Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；

（Ⅱ）若D为AC的中点，求证：A1D∥平面O1BC．

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原平市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词

【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：故答案为：A 2． 【答案】D

【解析】解：∵复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位）， ∴z=∴|z|=故选：D．

【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．

3． 【答案】B

【解析】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开） 由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，

2

故其表面积为S=2×π×1+2×2+×2π×1×2=3π+4

。

=﹣i﹣1，

=

．

故选：B

【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题．

4． 【答案】C

【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1

该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+故选：C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．

5． 【答案】 B

•（

2）=

的正三角形组成

．

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【解析】解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的一个四面体ACED1,其中ED11，∴该三棱锥的体积为(12)26． 【答案】C

【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，

则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=， 故选：C．

7． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

8． 【答案】B

【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数， ∴所求概率为故选B．

9． 【答案】A

【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，A(log32,2]，B(0,2]，∵log320，∴AØB，选A． 10．【答案】D 11．【答案】C

【解析】由绝对值的定义及|x|2，得2x2，则Ax|2x2，所以A

﹣

=1，则双曲线的方程为，y=±x，则必要性成立，

﹣

．

，∴θ为第二象限角，

13122，选B． 3B1,2，故选D.

【解析】解：若双曲线C的方程为若双曲线C的方程为分性不成立，

﹣

=2，满足渐近线方程为y=±x，但双曲线C的方程为

=1不成立，即充

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故“双曲线C的渐近线方程为y=±x”是“双曲线C的方程为故选：C

﹣=1”的必要不充分条件，

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线和渐近线之间的关系是解决本题的关键．

12．【答案】D 【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30° 故选D．

=

，B=45°

【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．

二、填空题

13．【答案】 ②④

【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误； ②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确； ③y=（

x

）﹣是减函数，故错误；

④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确． 故答案为：②④

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．

14．【答案】

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为故答案为

．

海里．

=

海里，

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15．【答案】

．

+，

22

【解析】解：∵f（x）=cosx+sinx=1﹣sinx+sinx=﹣

故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为， 故答案为：．

【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．

16．【答案】[2,2]

（0＃x2，0＃y2）上的点(x,y)到定点(2,2)的距离，其最小值为2，最大值为2，故MN的取值

范围为[2,2]．

yD2NCMA17．【答案】

B2 ．

x

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【解析】解：由方程组

解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，

121

故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx

=﹣（﹣4）=

故答案为：

【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

18．【答案】【

2 3解

析

】

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（1）Sn=2n﹣19n+1=2

2﹣

，

∴n=5时，Sn取得最小值=﹣44．

2

（2）由Sn=2n﹣19n+1，

∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16． 由an≤0，解得n≤5．n≥6时，an＞0． n≥6时，Tn=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+． ∴Tn=

．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．

2

∴n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Sn=﹣2n+19n﹣1．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．… 当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x﹣x，

2

f′（x）=﹣2x﹣1=﹣令f′（x）=0，解得x=．…

．

当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．… （2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]， 所以k=F′（x0）=

≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…

2

所以a≥（﹣x0+x0）max，x0∈[2，3]…

2

当x0=2时，﹣x0+x0取得最大值0．所以a≥0．…

（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

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2

因为方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，

所以lnx+x=mx有唯一实数解． ∴m=1+

，…

，则g′（x）=

．…

设g（x）=1+

令g′（x）＞0，得0＜x＜e； g′（x）＜0，得x＞e，

2

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e]上是减函数，…1 0分

∴g（1）=1，g（e）=1+

2=1+．…

，g（e）=1+，…

所以m=1+，或1≤m＜1+

21．【答案】

【解析】【知识点】数列综合应用 【试题解析】（Ⅰ）（Ⅱ）即

，

将

，

，成等差数列，

， ，即

．

代入上式， 解得的公差不为0． ，使

，

令， ，

……

，

将上述不等式相加，得

，即

．

．

构成公差不为0的等差数列．

, ． ．

，

．

，

经检验，此时存在（Ⅲ）又 由

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取正整数，就有

22．【答案】（1）当a0时，函数单调递增区间为0,，无递减区间，当a0时，函数单调递增区间为0,

11，单调递减区间为,；（2）证明见解析. aa【解析】

试

题解析：

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（2）当a2时，fxlnxxx,x0，

22

2由fx1fx2x1x20可得lnx1x2x1x1x2x20， 即x1x2x1x2x1x2lnx1x2，

21t1，

tt则t在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，

令tx1x2,ttlnt，则t1所以t11，所以x1x2x1x21，

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51， 2由x10,x20可知x1x20．1

又x1x20，故x1x2考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 23．【答案】

【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x）， ∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期． （2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，

2

∴f（﹣x）=﹣2x﹣x，

2

又f（﹣x）=﹣f（x），

2

∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x，

22

∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）=x﹣6x+8，

由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x﹣6x+8， ∴当x∈[2，4]时，f（x）=x﹣6x+8．

2

2

（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x．

∴f（0）=0，f（1）=1，

当x∈[2，4]时，f（x）=x﹣6x+8，

2

∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0， ∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．

∴2016=4×504

即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．

∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，

【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．

24．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）因为AB为圆O的直径，点C为圆O上的任意一点 ∴BC⊥AC …

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又圆柱OO1中，AA1⊥底面圆O， ∴AA1⊥BC，即BC⊥AA1 … 而AA1∩AC=A

∴BC⊥平面A1AC … （Ⅱ）取BC中点E，连结DE、O1E， ∵D为AC的中点

∴△ABC中，DE∥AB，且DE=AB … 又圆柱OO1中，A1O1∥AB，且∴DE∥A1O1，DE=A1O1

∴A1DEO1为平行四边形 … ∴A1D∥EO1 …

而A1D⊄平面O1BC，EO1⊂平面O1BC ∴A1D∥平面O1BC …

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．

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