八年级上册几何证明经典模型

等边三角形的经典模型

1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°；⑥OC平分∠AOE．

2．（10分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

1

3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．

4．（H卷·25）如图，已知等边△ABC，延长BC至D，E在AB上，使AE=CD，连接DE，交AC于F点，过E作EG⊥AC于G点．求证：FG=

1 AC 2

2

21．D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN （1）∠MDN= 度；

（2）作出△DMN的高DH，并证明DH=BD； （3）在第（2）的基础上，求证：MD平分∠BDH．

全等与坐标轴的经典模型

1、已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标； （2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，OD，CD之间等量关系；

（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴 于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

3

2．如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°． （1）求AB的长度；

（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE； （3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．

3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．

①△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；

②当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？

4

4.如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），

（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；

（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

5

角平分线综合的经典模型

1．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN． （1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN； （2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系 ；

（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．

6

等腰直角三角形综合的经典模型

1．已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．

（1）如图1，若AB=8，点D是AC边上的中点，求S△BCD；

（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB=∠CEG．

2．如图，已知△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连结BE．

（1）请判断线段AD、BE之间的数量关系，并说明理由； （2）求证：AM=CM+BE．

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3．如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°． （1）判断CD与BE有怎样的数量关系； （2）探索DC与BE的夹角的大小； （3）求证：FA平分∠DFE；

（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系．

.

4.已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．

（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；

（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

8

最短路径的经典模型

1．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）

2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为 .

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ） A．2.4 B．4

C．4.8

D．5

4．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= ．

9

5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 ．

等腰三角形动点的经典模型

1．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．

（1）若点P的速度为3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP= cm，CP= cm （2）若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟△BPD与△CQP全等，说明理由；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使△BPD与△CQP全等？

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2．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发．

（1）经过2秒后，求证：①△BPD≌△CQP ； ②∠DPQ=∠B

（2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ为等腰三角形？

4．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

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规律题的经典模型

1、如图，△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长n次后得到的△A2016B2016C2016的面积为（ ）

A.7

2016

B.7

2015

C.7

2017

D.7

2018

2.平面直角坐标系中有一点A（1，1），对点A进行如下操作：

第一步，作点A关于x轴的对称点A1，延长线段AA1到点A2，使得2A1A2=AA1； 第二步，作点A2关于y轴的对称点A3，延长线段A2A3到点A4，使得2A3A4=A2A3； 第三步，作点A4关于x轴的对称点A5，延长线段A4A5到点A6，使得2A5A6=A4A5； …

则点A2的坐标为 ，点A2015的坐标为 ．

若点An的坐标恰好为（4，4）（m、n均为正整数），请写出m和n的关系式 ．

3.杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：

m

n

按照前面的规律，则ab= ．

5

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4．．如图△ABC中，∠A=68°，A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点． A2是∠A1BC，∠A1CD的平分线的交点，依此类推．∠An等于_____度.

5、如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2016B2016A2017的边长为（ ）

A．2016 B．4032

C．2

2016

D．2

2015

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