等差数列前n项

等差数列的前n项

知识精讲

一. 等差数列的前n项和公式

由倒序相加法推导等差数列前n项和公式： Sna1(a1d)(a12d)把项的顺序反过来，可将Sn写成：Snan(and)(an2d)将这两式相加得：2Sn(a1an)(a1an)从而得到等差数列的前n项和公式Sn得Sn

二. 等差数列性质与前n项和的关系

在等差数列中，Snn(a1an)n(n1)na1d． 22[a1(n1)d]，

[an(n1)d]，

(a1an)n(a1an)，

n(a1an)，又ana1(n1)d， 2n(apaq)n(a1an)，且对于pqn1，有a1anapaq，则Sn；

22a1annan1nnak，例如S1515a8； 22S2n1an. T2n1bn尤其当n为奇数时，设n2k1，则Sn若an和bn都为等差数列且其前n项和分别为Sn和Tn，则有

三点剖析

一. 方法点拨

与等差数列任意一项一样，如果把a1和d看做未知数，则等差数列的前n项和都可以表示为a1和d的线性组合，所以已知

am的值， 1. 等差数列的任意两项an，2. 等差数列的前n项和Sn与前m项和Sm的值， 3. 等差数列的任意一项an与前n项和Sm的值，

则可以解二元一次方程组，解出a1和d，从而写出数列的通项公式.

二. 必备公式

前n项和Sn

n(a1an)n(n1)na1d. 22

等差数列前n项和公式

例题1、《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22

题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布 A.

例题2、等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1a44,a2a58，则A.2016

例题3、已知等差数列an满足a12，a2nan2n． （）1求该数列的公差d和通项公式an； 1 2B.

8 15C.

16 31D.

16 29S2018（） 2018B.2017 C.2018 D.2019

设Sn为数列an的前n项和，若Sk110，求k的值． （2）

随练1、等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（ ） A.8

随练2、问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（） A.90尺

随练3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝104，a6＝5，则数列{an}的公差为（ ） A.2

B.3

C.4

D.5

B.93尺

C.95尺

D.97尺

B.10

C.12

D.14

等差中项与前n项和

例题1、已知等差数列{an}中，若a4＝15，则它的前7项和为（ ） A.120

例题2、等差数列{an}前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝（ ） A.58

例题3、已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a2017＝0，则有（ ） A.a1＋a2017＞0

B.a1008＋a1010＜0

B.54

C.56

D.52

B.115

C.110

D.105

C.a4＋a2014＝0

D.a1009＝1009

例题4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2a4a615，则S7的值是（ ） A.28

随练1、设等差数列an的前n项的和为Sn，若a3a92，则S11（ ） A.12

随练2、等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于（ ） A.66

B.99

C.144

D.297

B.10

C.11

D.22

B.35

C.42

D.7

等差数列前n项和的性质

知识精讲

一. 等差数列的前n项和公式与二次函数

1. 区别和联系

区别 联系 Sn 定义域为N* 图像是一系列的孤立点 （1）解析式都是二次式； （2）Sn图像是抛物线图像上的一系列的点． f(x) 定义域为R 图像是一条光滑的抛物线 2. 观察SnAn2BnA0和Sn=na1n(n1)ddddd=n2(a1)n得A， Ba1； 22222BN*2A3. 应用二次函数求SnAn2BnA0的最大值和最小值的特殊性：即当nSn达到最大或最小；而当n，

BB最近的正整数即可． N*时，n取与2A2A4. 由二次函数的性质可得：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值． 5. 等差数列的判定方法：an为等差数列SnAn2BnA0．

二. 等差数列前n项和的性质

S3nS2n，…为等差数列， 1. 等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即Sn，S2nSn，公差为n2d．特别的，S2n2Snn2d，例如S62S39d. 2. an为等差数列，S2n12n1an．

23. 通项公式是anAnBA0是一次函数的形式；前n项和公式SnAnBnA0是不含常数

项的二次函数的形式．（注当d0时，Snna1，ana1）

24. an为等差数列，SnAnBnA0，则

SnSAnB，即n也成等差数列，公差为A，annn的公差是2A.

5. 若a10，d0，则S1最小；若a10，d0，则S1最大； a0若a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组n来确定n；

an10a0若a10，d0，Sn有最小值，可由不等式组n来确定n．

a0n1

三点剖析

一. 注意事项

等差数列的n项和构成一个等差数列，即Sn，…为等差数列，并不是Sn，S2nSn， S3nS2n， S2n， S3n ， 为等差数列.

等差数列前n项和的最值

例题1、在等差数列{an}中，a1a3a5105，a2a4a693，则能使{an}的前n项和Sn(nN*)达到最大的n（） A.11.75 B.12

C.11

D.11.25

例题2、已知等差数列[x]的前n项和为Sn，a19，a2a312，则使Sn取得最小值时n的值为（A.2 B.4

C.5

D.7

例题3、已知数列an是公差为－2的等差数列，且a3a2a5． （Ⅰ）求数列an的通项公式．

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn的最大值．.

随练1、已知数列{an}的通项公式an＝26－2n，要使此数列的前n项和Sn最大，则n的值为（ ） A.12 B.13

C.12或13

D.14

随练2、在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，

）（Ⅰ）求该数列的通项公式；

（Ⅱ）该数列前多少项的和最大？最大和是多少？

等差数列前n项和之比

S12S10-=2，

1210例题1、（2013山西忻州一中高三上期中理）在等差数列{an}中，a1=-2013，其前n项和为Sn，若则S2013的值等于____．

例题2、设Sn是等差数列an的前n项和，若

a55a39则S9（ ） S5，C.2

A.1

B.－1

D.

1 2例题3、已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．且

随练1、等差数列an，bn的前n项和是Sn，Tn，且19 95 2aSn7n1（n∈N＋），则11________． Tn4n27b11aSn5n1，则4（ ） Tn2n1b434 15A.

B.C.D.

24 25随练2、已知等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn和Tn，若

Sn2n11aa5a9a13，则1________．

Tnn3b2b6b8b12随练3、已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(n1)Sn(7n23)Tn，则使得数的正整数n的个数是（ ） A.2

B.3

C.4

D.5

an为整bn

拓展

1、在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ） A.58

2、等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣1=﹣4，Sm=0，Sm+1=6，则m=（ ） A.3

3、等差数列{an}前n项和为Sn．已知am1+am+1am2=0，S2m1=38，则m=_____．

4、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a86a11，则S9的值等于（） A.54

5、已知等差数列an的前11项和为55，a1013，则a100（ ） A.190

6、数列{an}是等差数列，若A.11

7、等差数列{an}的前n项和是Sn，且S5S6S7S8，则下面结论错误的是（） A.公差小于0 C.S9S8

Saa5a17a227n18、已知两个等差数列{an}，，则2{bn}的前n项和分别记为Sn，Tn，n________，

Tnn3b8b10b12b16a11 1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n＝（ ）

a10B.88 C.143 D.176

B.4 C.5 D.6

B.45 C.36 D.27

B.191 C.192 D.193

B.17 C.19 D.21

B.a70

D.S6,S7均为Sn的最大值

a5________． b5

9、已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，且(n1)Sn(7n23)Tn，则使得正整数n的个数是（ ） A.2

10、已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．且________．

Sn7n2a3a5（n∈N＋），则Tn4n1b1b7b2b6an为整数的bnB.3 C.4 D.5