试题集锦

来源：小侦探旅游网

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一．选择题（共2小题，满分20分，每小题10分） 1．（10分）（2008•黄石）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则△ABC的周长是（）

A．2 B．2+ C．4 D．4+2 2．（10分）（2008•）小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（） A．36 B．37 C．38 D．39

二．填空题（共4小题，满分40分，每小题10分） 3．（10分）代数式

的最小值为 _________ ．

4．（10分）（2010•泰州）已知点A、B的坐标分别为：（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点有三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标： _________ ．

5．（10分）在中，共有 _________ 个无理数． 6．（10分）（2008•哈尔滨）己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

的值是 _________ ．

三．解答题（共24小题，满分240分，每小题10分） 7．（10分）（2009•漳州）几何模型：

条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是 _________ ；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

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www.jyeoo.com 8．（10分）（2011•宜宾）如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低．就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．

9．（10分）已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把弧 CA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）

（1）求证：△OMD≌△BAO；

（2）若直线y=kx+b把⊙M的周长和△OMD面积均分为相等的两部份，求该直线的解析式．

10．（10分）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点坐标；

（2）求此抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

11．（10分）（2010•自贡）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点

A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H．记C、D的横坐标分别为xc，xD，于点H的纵坐标yH．（1）证明：①S△CMD：S梯形ABMC=2：3；②xc•xD=﹣yH；（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0）（t＞0），其他条件不变，结论S△CMD：S梯形ABMC=2：3是否仍成立？请说明理由．

（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y=x改为y=ax（a＞0），其他条件不变，那么xc，xD和yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明．

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12．（10分）（2010•淄博）已知直角坐标系中有一点A（﹣4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．（1）求满足条件的所有点B的坐标；

（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；

（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．

13．（10分）（2010•牡丹江）如图，二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式及点B的坐标；

（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，请直接写出点P的坐标．

14．（10分）（2010•漳州）如图，直线y=﹣3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C三点．（1）填空：A（ _________ ， _________ ）、B（ _________ ， _________ ）、C（ _________ ， _________ ）；

（2）求抛物线的函数关系式；

（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（10分）（2010•永州）探究问题：（1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

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②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的

上任意一点．求证：PB+PC=PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在

上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）

=P′A+ _________ ；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 _________ 的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，某部来到云南某地打井取水．

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

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16．（10分）（2010•宜昌）如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，1），与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C，P在以B为顶点的抛物线y=mx+nx+k上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线y=ax+bx+c同时经过两个不同的点C，D．（1）确定t的值；

（2）确定m，n，k的值；

（3）若无论a，b，c取何值，抛物线y=ax+bx+c都不经过点P，请确定P的坐标．

17．（10分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．

18．（10分）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象的形状与抛物线y=x+1的形状相同，且经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

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19．（10分）如图，已知二次函数y=﹣x+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为 _________ ，点C的坐标为 _________ ；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；

（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（10分）已知：如图，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积．（注：抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣

，）

21．（10分）（2007•衢州）如图，顶点为D的抛物线y=x+bx﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知tan∠ABC=1．

（1）求点B的坐标及抛物线y=x+bx﹣3的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A，B，C的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

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22．（10分）（2009•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图1放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD．求证：DB∥CF．

24．（10分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求m的值；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（10分）（2010•江西）课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：

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www.jyeoo.com 设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示解的度数：θ3= _________ ，θ4= _________ ，θ5= _________ ；

（2）图1﹣图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：

设正n边形A0A1A2…An﹣1与正n边形A0B1B2…Bn﹣1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn﹣1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜

°）；

（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

26．（10分）（2010•广元）如图，以点G（4，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，已知抛物线y=﹣x+bx+c过点A和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数关系式；

（2）求出点C的坐标，并在图中画出此抛物线的大致图象；

（3）点F（8，m）在抛物线y=﹣x+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PF+PB的最小值；（4）OE是⊙G的切线，点E是切点，在抛物线上是否存在一点Q，使△COQ的面积等于△COE的面积？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（10分）（2008•岳阳）如图，点E（﹣4，0），以点E为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，抛物线y=x+bx+c过点A和点B，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；

（2）求出点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；（3）点Q（m，

）（m＜0）在抛物线y=x+bx+c的图象上，点P为此抛物线对称轴上的一个动点，求PQ+PB

的最小值；

（4）CF是圆E的切线，点F是切点，在抛物线上是否存在一点M，使△COM的面积等于△COF的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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28．（10分）（2010•黔东南州）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O分别交AB，AC于点F．点E，AD⊥BC于D，AD交于⊙O于M，交BE于H．

求证：DM=DH•DA．

29．（10分）（2006•临沂）如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

30．（10分）（2011•凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等．

（1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？

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答案与评分标准

A．2 B．2+ C．4 D．4+2 考点：轴对称-最短路线问题。专题：动点型。

分析：本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．

解答：解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置， ∵M，N分别是AB，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC， ∴

，

∴PM′=PN，

即：当PM+PN最小时P在AC的中点， ∴MN=AC

∴PM=PN=1，MN= ∴AC=2，

AB=BC=2PM=2PN=2

∴△ABC的周长为：2+2+2故选D．

=4+2 ．

点评：本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P点的位置是解题的关键． 2．（10分）（2008•）小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（） A．36 B．37 C．38 D．39 考点：正数和负数。专题：应用题。

分析：若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人，此时共有17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人，此时共有21人，但班长和小嘉两次都数了，所以要减去2．解答：解：根据题意小嘉和班长两次都数了，所以17+21﹣2=36．故选A．

点评：主要考查正负数在实际生活中的应用．本题中班长和小嘉两次都数了，可能有学生考虑不到．

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www.jyeoo.com 二．填空题（共4小题，满分40分，每小题10分） 3．（10分）代数式

的最小值为 13 ．

考点：函数最值问题；轴对称-最短路线问题。专题：函数思想。

分析：原问题转化为：求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，显然两点间线段最短．解答：解：求代数式

的最小值，

实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，

而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，即

=13．

故答案为：13．

点评：本题主要考查了函数的最值问题、轴对称﹣﹣最短路线问题．解答此题的关键是根据代数式

，将问题转化为：求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，并且

利用了“两点间线段最短”的知识点． 4．（10分）（2010•泰州）已知点A、B的坐标分别为：（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点有三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：（4，0）或（4，4）或（0，4）．考点：全等三角形的性质；坐标与图形性质。专题：开放型。

分析：画出图形，根据全等三角形的性质和坐标轴与图形的性质可求点P的坐标．解答：解：如图， ∵△ABO≌△ABP，

∴①OA=AP1，点P1的坐标：（4，0）； ②OA=BP2，点P2的坐标：（0，4）； ③OA=BP3，点P3的坐标：（4，4）．故填：（4，0），（4，4），（0，4）．

点评：本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质；解题关键是要懂得找全等三角形，利用全等三角形的性质求解．

5．（10分）在中，共有 1967 个无理数．考点：无理数。专题：计算题。

分析：在这些数中能够开方开尽的数是完全平方数，把这些数去除后剩余的数即为无理数．

解答：解：∵45=2025 ∴在

2011﹣44=1967．故答案为：1967．

中有44个数能开方为有理数，

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www.jyeoo.com 点评：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 6．（10分）（2008•哈尔滨）己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

的值是 2或．

考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质。专题：分类讨论。

分析：由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E的位置未定，需分类讨论．解答：解：分两种情况：

（1）点E在线段AD上时，△AEM∽△CBM，∴

=2；

（2）点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴

=．

点评：本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．

三．解答题（共24小题，满分240分，每小题10分） 7．（10分）（2009•漳州）几何模型：

条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

考点：轴对称-最短路线问题。专题：动点型。

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www.jyeoo.com 分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；

（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC垂直平分BD， ∴PB=PD，

由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=

；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P， PA+PC的最小值即为A′C的长， ∵∠AOC=60° ∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60° ∵OA′=OA=2

∴A′D= ∴；

（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，任意取OA上一点Q，OB上一点R，由对称点的性质：QM=QP，RN=RP，

所以三角形PQR的周长=PQ+QR+RP=MQ+QR+RN，由两点间直线最短，所以只有当Q，R在线段MN上时，

上面的式子取最小值，也就是说只要连接MN，它分别与OA，OB的交点E，F即为所求，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了， OM=ON=OP=10，∠MOA=∠AOP，∠POB=∠BON，

所以∠MON=∠MOA+∠AOP+∠POB+∠BON=2（∠AOP+∠POB）=2∠AOB=90°，所以△MON是等腰直角三角形，直角边等于10，易求得斜边MN=10，也就是说△PQR的周长的最小值=MN=10．

点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识． 8．（10分）（2011•宜宾）如图，飞机沿水平方向（A、B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低．就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．

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考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。分析：（1）根据题意得出符合题意的图形如图所示；（2）根据tanα=

，BN=

，得出NM=

．

解答：解：（1）如图，测出飞机在A处对山顶的俯角α，测出飞机在B处对山顶的俯角β，测出AB的距离为d，连接AM，BM，

（2）第一步：在RT△AMN中，tanα=∴AN=

，

第二步：在RT△BMN中，tanβ=∴BN=解得：NM=

，其中：AN=d+BN，

．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意熟练应用解直角三角形的关系是解决问题的关键． 9．（10分）已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把弧 CA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）

（1）求证：△OMD≌△BAO；

（2）若直线y=kx+b把⊙M的周长和△OMD面积均分为相等的两部份，求该直线的解析式．

考点：圆周角定理；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系。专题：证明题。

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www.jyeoo.com 分析：（1）连接BM，根据三等份，求出∠1、∠5、∠3、∠2的度数，推出∠1=∠3，根据直径求出∠OBA=∠DOM=90°，根据AAS求出全等即可；

（2）根据面积二等份，推出直线过M和（0，1.5）点，求出OM，得出M的坐标，代入解析式求出即可．

解答：（1）证明：连接BM，

∵B、C把弧OA三等分，∴∠1=∠5=60°， ∵OM=BM， ∴∠2=∠5=30°， ∵OA为圆M的直径， ∴∠ABO=90°，

∴AB=OA=OM，∠3=60°， ∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°，在△OMD和△BAO中，

，

∴△OMD≌△BAO．

（2）若直线把圆M的面积分为二等份，则直线必过圆心M， ∵D（0，3），∠1=60°， ∴OM=∴M（把M（

，

，0），

，0）代入y=kx+b，

，

又∵直线平分面积，必过点（0，1.5）代入得：解得：k=﹣∴直线为y=﹣

，b=1.5，

．

点评：本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解二元一次方程组，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和运用，此题综合性比较强，难度适中，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．

10．（10分）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求B、C两点坐标；

（2）求此抛物线的函数解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

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考点：二次函数综合题。专题：开放型。分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．解答：解：（1）∵直线y=﹣x+3经过B、C ∴当x=0时y=3 当y=0时x=3

∴B（3，0）C（0，3）

（2）∵抛物线y=﹣x+bx+c经过B、C ∴

．

∴b=2，c=3．

∴此抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3．

（3）当y=0时，﹣x+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3． ∴A（﹣1，0）设P（x，y） ∵S△PAB=S△CAB ∴﹣×4×|y|=×4×3

∴y=3或y=﹣3

①当y=3时，3=﹣x+2x+3 ∴x1=0，x2=2

P（0，3）或（2，3）

②当y=﹣3时，﹣3=﹣x+2x+3 ∴x1=1+，x2=1﹣

∴P（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3），（1+，﹣3），（1﹣，﹣3）．

点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定，图形的面积的求法等知识点，要注意的是（3）中点P的纵坐标要分正负两种情况进行求解，不要漏解． 11．（10分）（2010•自贡）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点

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www.jyeoo.com 22（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y=x改为y=ax（a＞0），其他条件不变，那么xc，xD和yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明．

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）由题意易求得A、B的坐标，将它们的横坐标代入抛物线的解析式中即可求出C、D的坐标；

①首先求出直线OC的解析式，联立B点的横坐标即可求出M点的坐标；以DM为底，A、B横坐标差的绝对值为高，可求出△CMD的面积；同理可根据梯形的面积公式求出梯形ABMC的面积，进而可判断出所求的结论是否正确；

②用待定系数法易求得直线CD的解析式，即可得到H点的坐标，然后再判断所求的结论是否正确．（2）的解法同（1）；

（3）由于二次函数的解析式为y=ax（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，at），点D的坐标

为（2t，4at），然后设直线CD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求出CD的函数解析式，接着得到H的坐

标为（0，﹣2at），也就得到题目的结论．解答：（1）证明：由已知可得点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），且直线OC的函数解析式为y=x．

∴点M的坐标为（2，2），易得S△CMD=1，S梯形ABMC=（1.5分） ∴S△CMD：S梯形ABMC=2：3，即结论①成立．设直线CD的函数解析式为y=kx+b，则即

，；

∴直线CD的解析式为y=3x﹣2．由上述可得点H的坐标为（0，﹣2），即yH=﹣2（2.5分） ∴xC•xD=﹣yH．

即结论②成立（3分）

（2）解：结论S△CMD：S梯形ABMC=2：3仍成立；（4分）理由如下：∵点A的坐标为（t，0），（t＞0）；则点B的坐标为（2t，0）

从而点C的坐标为（t，t），点D的坐标为（2t，4t）；

设直线OC的解析式为y=kx，则t=kt得k=t ∴直线OC的解析式为y=tx（5分）又设M的坐标为（2t，y） ∵点M在直线OC上

∴当x=2t时，y=2t

∴点M的坐标为（2t，2t）（6分）

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www.jyeoo.com ∴S△CMD：S梯形ABMC=•2t•t：（t+2t）•t =t：（t） =（7分）

（3）解：xC，xD和yH有关数量关系xC•xD=﹣yH（8分）

由题意，当二次函数的解析式为y=ax（a＞0），且点A的坐标为（t，0）时，点C的坐标为（t，at），点D的坐

标为（2t，4at）（9分）

设直线CD的解析式为y=kx+b 则

，

得；

∴CD的解析式为y=3atx﹣2at（11分）

则H的坐标为（0，﹣2at）

即yH=﹣2at（11.5分）

∵xC•xD=t•2t=2t（12分） ∴xC•xD=﹣yH．

点评：此题主要考查了函数图象交点坐标及图形面积的求法，综合性强，能力要求较高． 12．（10分）（2010•淄博）已知直角坐标系中有一点A（﹣4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．（1）求满足条件的所有点B的坐标；

（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；

（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据点A的坐标，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，应分三种情况考虑：

①OA=OB=5，由于点B的位置不确定，因此要分B在x轴正、负半轴两种情况求解，已知了OB的长，即可得到点B的坐标； ②OA=AB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，那么点B的横坐标应为点A横坐标的2倍，可据此求得点B的坐标； ③AB=OB=5，此时点B只能在x轴负半轴上，可在x轴上截取AD=OA，通过构建相似三角形：△OBA∽△OAD，通过所得比例线段来求出OB的长，从而得到点B的坐标．

（2）任选一个（1）题所得的B点坐标，利用待定系数法求解即可．

（3）解此题时，虽然不同的抛物线有不同的解，但解法一致；分两种情况：

①OA∥BP时，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为C、E，易证得△AOC∽△PBE，根据所得比例线段，即可求得点P的坐标．而梯形ABPO的面积可化为△ABO、△PBO的面积和来求出．

②OP∥AB时，方法同上，过P作PF⊥x轴于F，然后通过相似三角形：△ABC∽△POF，来求出P点坐标，梯形面积求法同上．（当OA=AB时，两种情况的点P正好关于抛物线对称轴对称，可据此直接求出P点坐标，避免重复计算．）解答：解：作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA=

=5．

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www.jyeoo.com （1）当OA=OB=5时，

如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（﹣5，0）；如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）；

当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（﹣8，0）；当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8．由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则解得OB=

，，

，0）．

点B的坐标为（﹣

（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（﹣4，3），B（﹣8，0）三点，设抛物线的函数表达式为y=ax+bx，可得方程组

，

解得a=∴

，，；

．

当OA=OB时，同理得

（3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°， △AOC∽△PBE，

．

设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m﹣8，﹣3m），代入

，

解得m=3；

则点P的坐标为（4，﹣9），

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www.jyeoo.com S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48．

若OP∥AB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（﹣12，﹣9）， S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48．

当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°， △AOC∽△PBF，

；

设BF=4m，PF=3m，则点P的坐标为（4m﹣5，﹣3m），代入

，

解得m=．则点P的坐标为（1，﹣）， S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=

．

若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，

则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°， △ABC∽△POF，

；

设点P的坐标为（﹣n，﹣3n），代入解得n=9．

则点P的坐标为（﹣9，﹣27），S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75．

，

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www.jyeoo.com 点评：此题考查了等腰三角形的判定、二次函数解析式的确定、梯形的判定、图形面积的求法等知识．同时还考查了分类讨论的数学思想，一定要考虑全面，避免漏解．

13．（10分）（2010•牡丹江）如图，二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式及点B的坐标；

（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，请直接写出点P的坐标．

考点：待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形性质。

分析：（1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入y=﹣x+bx+c求解即可．（2）由S△AOP=×|OA|×|y|=3，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标．解答：解：（1）将A、O两点坐标代入解析式y=﹣x+bx+c，有：解得：

，

∴此二次函数的解析式为：y=﹣x﹣2x，变化形式得：y=﹣（x+1）+1，顶点坐标B（﹣1，1）．

（2）P1（﹣3，﹣3），P2（1，﹣3）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及数形结合的思想，利用点的坐标求三角形的面积． 14．（10分）（2010•漳州）如图，直线y=﹣3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋

转90°后得到△DOC，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C三点．（1）填空：A（ ﹣1 ， 0 ）、B（ 0 ， ﹣3 ）、C（ 3 ， 0 ）；（2）求抛物线的函数关系式；

（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的判定与性质；解二元一次方程组；坐标与图形性质；二次函数综合题；勾股定理。专题：综合题；压轴题；分类讨论。分析：（1）根据直线AB的解析式，可求出A、B的坐标，由于△DOC是由△AOB旋转而得，根据旋转的性质知：OC=OB，由此可得到OC的长，即可求得C点的坐标；

（2）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；

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www.jyeoo.com （3）易求得D、E的坐标，进而可求出CD、DE的长；过E作EF⊥y轴于F，通过证△COD∽△DFE，可得到∠CDE=90°；那么△COD和△CDP中，∠COD、∠CDP都是直角，对应相等，因此本题要分成两种情况讨论：

①OC：OD=CD：DP=3：1，此时CD=3DP，由此可求出DP的长；过P作PG⊥y轴于G，根据∠PDG的正切值结合勾股定理，即可求出DG、PG的长，由此可求得点P的坐标； ②OC：OD=DP：CD=3：1，此时DP=3CD，解法同①；

综合上述情况即可求出P点的坐标，需注意的是P点为线段DE上的点，因此DP≤DE，根据这个条件可将不合题意的解舍去．解答：解：（1）直线y=﹣3x﹣3中， x=0，则y=﹣3；y=0，则x=﹣1； ∴A（﹣1，0），B（0，﹣3）；

根据旋转的性质知：OC=OB=3，即C（3，0）； ∴A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）；（3分）

（2）∵抛物线y=ax+bx+c经过B点，∴c=﹣3；又∵抛物线经过A，C两点， ∴

，解得；（5分）

∴y=x﹣2x﹣3；（6分）

（3）过点E作EF⊥y轴垂足为点F；

由（2）得y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4 ∴E（1，﹣4）． ∵tan∠EDF=，tan∠DCO=； ∴∠EDF=∠DCO（7分） ∵∠DCO+∠ODC=90°， ∴∠EDF+∠ODC=90°； ∴∠EDC=90°， ∴∠EDC=∠DOC；（8分） ①当则∴DP=

时，△ODC∽△DPC，，（9分）

过点P作PG⊥y轴，垂足为点G； ∵tan∠EDF==

，

∴设PG=x，则DG=3x

222

在Rt△DGP中，DG+PG=DP． ∴9x+x=

，

∴x1=，x2=﹣（不合题意，舍去）（10分）又∵OG=DO+DG=1+1=2， ∴P（，﹣2）；（11分）

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②当

www.jyeoo.com 时，△ODC∽△DCP，则； =

，

∴DP=3∵DE=∴DP=3

（不合题意，舍去）（13分）

综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，此时点P的坐标为P（，﹣2）．（14分）

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的旋转变化、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；在相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解． 15．（10分）（2010•永州）探究问题：（1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA=AC•BD．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的

上任意一点．求证：PB+PC=PA；

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第二步：在

上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）

=P′A+ P′D ；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段 AD 的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，某部来到云南某地打井取水．

考点：等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：压轴题。分析：（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解．解答：（2）①证明：由托勒密定理可知PB•AC+PC•AB=PA•BC ∵△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC， ∴PB+PC=PA， ②P′D、AD，

（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离．

∵△BCD为等边三角形，BC=4， ∴∠CBD=60°，BD=BC=4， ∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，

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∴AD=

www.jyeoo.com =

=5（km），

∴从水井P（即图中的D点）到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．

点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．

（2）确定m，n，k的值；

（3）若无论a，b，c取何值，抛物线y=ax+bx+c都不经过点P，请确定P的坐标．

考点：二次函数综合题；一次函数综合题。专题：压轴题。

分析：（1）可设C点的坐标为（x1，x2），那么矩形的面积应该是x1y1=t；可用C点坐标表示出以AC为斜边、∠CAO为内角的直角三角形的面积，联立两式即可求出C点坐标及t的值；

（2）将顶点B以及点C的坐标代入抛物线y=mx+nx+k中，即可求出待定系数的值；（3）在（1）（2）中已经求得了双曲线及直线的解析式，联立两式即可求出点C、D的坐标，将点D的坐标代入抛

物线y=ax+bx+c中，可求出a、c以及a、b的关系式，可用a替换掉b、c，然后根据抛物线y=mx+nx+k的解析式

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www.jyeoo.com 2来设P点的坐标，若P点不在抛物线y=ax+bx+c上，那么将P点坐标代入上面的解析式后左右两边不相等，可据此来求P点的坐标．解答：解：（1）直线过点A，B，则0=﹣h+d和1=d，即y=x+1．（1分）双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t．

以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×（1+x1）；以CO为对角线的矩形面积为x1y1． ×y1×（1+x1）=x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1=1，所以y1=2．故有，

（2）∵B是抛物线y=mx+nx+k的顶点， ∴有﹣

，

，即t=2．（2分）

得到n=0，k=1．（3分）

∵C是抛物线y=mx+nx+k上的点，

∴有2=m（1）+1，得m=1．（4分）故m=1，n=0，k=1．

（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p+1．

∵抛物线y=ax+bx+c经过两个不同的点C，D，其中求得D点坐标为（﹣2，﹣1）．（5分）解法一：故2=a+b+c， ﹣1=4a﹣2b+c．

解之得，b=a+1，c=1﹣2a．（6分）

（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分） ∴y=ax+（a+1）x+（1﹣2a）

于是：p+1≠ap+（a+1）p+（1﹣2a）（7分）

变形，得p﹣p≠（p+p﹣2）a，

∴无论a取什么值都有p﹣p≠（p+p﹣2）a．（8分）

（或者，令p﹣p=（p+p﹣2）a （7分）

∵抛物线y=ax+bx+c不经过P点，

∴此方程无解，或有解但不合题意（8分）故∵a≠0， ∴①

解之p=0，p=1，并且p≠1，p≠﹣2．得p=0 （9分） ∴符合题意的P点为（0，1）（10分）

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②

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解之p=1，p=﹣2，并且p≠0，p≠1．得p=﹣2．（11分）

符合题意的P点为（﹣2，5）．（12分）

∴符合题意的P点有两个（0，1）和（﹣2，5）．

解法二：则有（a﹣1）p+（a+1）p﹣2a=0 （7分）即〔（a﹣1）p+2a〕（p﹣1）=0 有p﹣1=0时，得p=1，

即C点（1，2）在y=ax+bx+c上．（8分）或（a﹣1）p+2a=0，即（p+2）a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾（9分）得点P（0，1）（10分）

或者p=﹣2时，无解（11分）得点P（﹣2，5）（12分）

故对任意a，b，c，抛物线y=ax+bx+c都不经过（0，1）和（﹣2，5）

解法三：如图，抛物线y=ax+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点；（只经过直线CD上的C，D点）．（6分）由

（7分）

解得交点为C（1，2），B（0，1）；故符合题意的点P为（0，1）．（8分）

抛物线y=ax+bx+c不经过直线x=﹣2上除D外的其他点．（9分）由

（10分）

解得交点P为（﹣2，5）．（11分）

抛物线y=ax+bx+c不经过直线x=1上除C外的其他点，而

解得交点为C（1，2）．（12分）

故符合条件的点P为（0，1）或（﹣2，5）．

（说明：1．仅由图形看出一个点的坐标给（1分），二个看出来给（2分）．2，解题过程叙述基本清楚即可．）

点评：此题是一次函数、二次函数的综合题，主要考查了函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识，综合性强，难度很大．

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www.jyeoo.com 17．（10分）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．

考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质。专题：计算题；证明题。

分析：此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道

△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．解答：（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△BEA≌△AFC． ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=EA+AF．

（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ABF中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△BEA≌△AFC．

∴EA=FC=3，BE=AF=10． ∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．

18．（10分）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象的形状与抛物线y=x+1的形状相同，且经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

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考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；三角形的面积。专题：计算题。

分析：（1）根据二次函数y=ax+bx+c的图象的形状与抛物线y=x+1的形状相同，可得出a，再由经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，代入可求出b，c，从而得出这个二次函数的解析式；（2）求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可得出答案．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax+bx+c的图象的形状与抛物线y=x+1的形状相同，抛物线开口向下， ∴a=﹣，

∵经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点， ∴

解得b=4，c=﹣6，

∴这个二次函数的解析式为y=﹣x+4x﹣6；

（2）令y=0，得﹣x+4x﹣6=0，解得x=2或6，

由图知：点C的坐标（4，0），

∴S△ABC=AC•点B纵坐标的绝对值=×2×6=6．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线和x轴的交点以及三角形面积的求法，是中考的常见题型．

19．（10分）如图，已知二次函数y=﹣x+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；

（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

，

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www.jyeoo.com 考点：二次函数综合题；点的坐标；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；三角形的面积；等腰三角形的判定。分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．

（2）根据（1）中点的坐标得出AB，BC，AC的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可；

（3）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论： ①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；

②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；

③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．解答：解：（1）在二次函数中令x=0得y=4， ∴点A的坐标为（0，4），令y=0得：

，

即：x﹣6x﹣16=0， ∴x=﹣2和x=8，

∴点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）．故答案为：A（0，4），C（8，0）；

（2）∵点A的坐标为（0，4）， ∴AO=4，

∵点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（8，0）， ∴BO=2，CO=8，∴BC=10， ∴AC=∴AB=

=4=2

，，

∴AB+AC=100，

∵BC=100，

222

∴AB+AC=BC，

∴△ABC是直角三角形；

（3）易得D（3，0），CD=5，

设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：

，

解得；

∴y=﹣x+4； ①当DE=DC时， ∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴E1（0，4）； ②当DE=EC时，可得E2（

，）；

③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，

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www.jyeoo.com 则△CEG∽△CAO， ∴

，

，）；

，）、E3（8﹣2

，

）．

即EG=，CG=2

∴E3（8﹣2 ，

综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（

点评：此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．

20．（10分）已知：如图，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积．（注：抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣

，）

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式。分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个未知数，因此可根据A，B两点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）令y=0，求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，即为三角形ODE边OE上的高，根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）由已知得：

解得c=3，b=2，

∴抛物线的线的解析式为y=﹣x+2x+3；

（2）令y=0，得﹣x+2x+3=0，解得x=﹣1或3， ∴E（3，0），

由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）， S△DOE=×4×EO，

，

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www.jyeoo.com =×3×4，

=6．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线和x轴的交点问题，以及二次函数的性质，是基础知识要熟练掌握．

21．（10分）（2007•衢州）如图，顶点为D的抛物线y=x+bx﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC，已知tan∠ABC=1．

（1）求点B的坐标及抛物线y=x+bx﹣3的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使△CDP的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）若点E（x，y）是抛物线上不同于A，B，C的任意一点，设以A，B，C，E为顶点的四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）欲求点B的坐标，由tan∠ABC=1，知OB=OC，只需知道C点的坐标，根据抛物线的解析式知C（0，

﹣3），从而可求点B的坐标．把点B的坐标代入y=x+bx﹣3，求出b的值．

（2）CD的长一定，可找C点关于x轴的对应点C′，则有CP=C′P，CP+PD最短，即D、P、C′三点一线，根据平行线的性质得出△CDP的周长最小的点P的坐标；

（3）当E在第一象限或第二象限时，四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEB；当E在第三象限，四边形ABCE的面积=S△BOC+S△AOE+S△COE；当E在第四象限，四边形ABCE的面积=S△AOC+S△OCE+S△BOE，分别得出S与x之间的函数关系式及取值范围．解答：解：（1）∵tan∠ABC=1， ∴OC：OB=1， ∴OB=OC=3， ∴B（3，0），

把B（3，0）代入y=x+bx﹣3，得9+3b﹣3=0，b=﹣2，

∴y=x﹣2x﹣3；

（2）P（，0），

顶点横坐标=2÷（2×1）=1，

纵坐标=[4×1×（﹣3）﹣（﹣2）×（﹣2）]÷4×1=﹣4， D（1，﹣4）

∵△CED∽△C′OP， ∴∴

，

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www.jyeoo.com ∴P（，0）．

（3）当E在第四象限，S=﹣x+x+6（0＜x＜3），当E在第三象限，S=﹣x﹣x+6（﹣1＜x＜0），

当E在第一象限或第二象限，S=2x﹣4x（x＜﹣1或x＞3）．

点评：本题考查了三角函数的知识，及代入法求二次函数，同时考查了图形的周长和面积的计算，注意某个图形无法解答时，常常利用图形间的“和差“关系求解． 22．（10分）（2009•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；

（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．

考点：切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形。专题：几何综合题。分析：（1）有切点，需连半径，证明垂直，即可；

（2）求阴影部分的面积要把它转化成S梯形ANMO﹣S扇形OAM，再分别求的这两部分的面积求解．解答：（1）证明：连接OM． ∵OM=OB， ∴∠B=∠OMB． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠OMB=∠C． ∴OM∥AC． ∵MN⊥AC， ∴OM⊥MN．

∵点M在⊙O上， ∴MN是⊙O的切线．（5分）

（2）解：连接AM．

∵AB为直径，点M在⊙O上， ∴∠AMB=90°．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

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www.jyeoo.com ∴∠B=∠C=30°． ∴∠AOM=60°．

又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N， ∴∠AMN=30°．

∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=． ∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=∴S梯形ANMO=S扇形OAM=∴S阴影=

，

．（11分）

，

．（8分）

点评：本题考查的是切线的判定即利用图形分割法求不规则图形面积的思路． 23．（10分）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图1放置，图2是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD．求证：DB∥CF．

考点：切线的性质。专题：证明题。

分析：由切线的性质证明△BOF为直角三角形，而△FCB为直角三角形，△BOF与△FCB有直角边BF公共，且BC=OD=OF，利用“”证明两个三角形全等即可．解答：证明：∵AB与⊙O相切于点F， ∴∠BFO=90°， ∵∠FBC=90°， ∴∠BFO=∠FBC． ∵BC=OD，OD=OF， ∴OF=CB．

在△BOF与△FCB中，

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∴△BOF≌△FCB， ∴∠FBO=∠BFC， ∴DB∥CF．

点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据图形的特点，由切线的性质判断全等三角形． 24．（10分）如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求m的值；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数的应用。

专题：综合题；数形结合；方程思想；待定系数法。分析：（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值；（2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）如图，利用（1）（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为x，那么利用x可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的即可列出关于x的方程，利用方程即可解决问题．解答：解：（1）∵反比例函数的图象都经过点A（3，3）， ∴经过点A的反比例函数解析式为：y=，

而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m）， ∴m==；

（2）∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），与x轴、y轴分别交于C、D两点，而这些OA的解析式为y=x，设直线OC的解析式为y=x+b，

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www.jyeoo.com 代入B的坐标得：=6+b，

∴b=﹣4.5，

∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5， ∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax+bx+c，分别把A、B、D的坐标代入其中得：

，

解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5

∴y=﹣0.5x+4x﹣4.5；

（3）如图，设E的横坐标为x， ∴其纵坐标为﹣0.5x+4x﹣4.5， ∴S1=（﹣0.5x+4x﹣4.5+OD）×OC， =（﹣0.5x+4x﹣4.5+4.5）×4.5， =（﹣0.5x+4x）×4.5，

而S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=∴（﹣0.5x+4x）×4.5=×

222

，

解之得x=4±，

∴这样的E点存在，坐标为（4﹣

，0.5），（4+，0.5）．

点评：本题考查点的坐标的求法及利用待定系数法确定二次函数解析式．此题也为数学建模题，借助一元二次方程

解决探究问题． 25．（10分）（2010•江西）课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：

设旋转角∠A1A0B1=α（α＜∠A1A0A2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．

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（1）用含α的式子表示解的度数：θ3= 60°﹣α ，θ4= α ，θ5= 36°﹣α ；

设正n边形A0A1A2…An﹣1与正n边形A0B1B2…Bn﹣1重合（其中，A1与B1重合），现将正边形A0B1B2…Bn﹣1绕顶点A0逆时针旋转α（0°＜α＜

°）；

（3）设θn与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn的度数；

考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质；正方形的性质。专题：压轴题。分析：（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°﹣（45°﹣α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°﹣36°﹣36°﹣α=36°﹣α；

（2）存在，如在图1中直线A0H垂直且平分的线段A2B1，△A0A1A2≌△A0B1B2，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由A0A2=A0B1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线A0H垂直且平分的线段A2B1

（3）当n为奇数时，θn=

﹣α；

当n为偶数时，θn=α

（4）多写几个总结规律：

当n为奇数时，直线A0H垂直平分当n为偶数时，直线A0H垂直平分

，

解答：解：（1）60°﹣α，α，36°﹣α

（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：选图如，图中有直线A0H垂直平分A2B1，证明如下：方法一：

证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形 ∴A0A2=A0B1

∴∠A0A2B1=∠A0B1A2 又∠A0A2H=∠A0B1H=60° ∴∠HA2B1=∠HB1A2

∴A2H=B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上

又∵A0A2=A0B1，∴点A0在线段A2B1的垂直平分线上 ∴直线A0H垂直平分A2B1 方法二：

证明：∵△A0A1A2与△A0B1B2是全等的等边三角形

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www.jyeoo.com ∴A0A2=A0B1

∴∠A0A2B1=∠A0B1A2 又∠A0A2H=∠A0B1H=60° ∴∠HA2B1=∠HB1A2 ∴A2H=B1H，

在△A0A2H与△A0B1H中 ∵A0A2=A0B1，

HA2=HB1，∠A0A2H=∠A0B1H ∴△A0A2H≌△A0B1H ∴∠A0A2H=∠B1A2H

∴A0H是等腰三角形A0A2B1的角平分线

∴直线A0H垂直平分A2B1选图如，图中有直线A0H垂直平分A2B2，证明如下： ∵A0B2=A0A2∴∠A0B2A2=∠A0A2B2 又∵∠A0B2B1=∠A0A2A3 ∴∠HB2A2=∠HA2B2

∴HB2=HA2∴点H在线段A2B2的垂直平分线上

又∵A0B2=A0A2，∴点A0在线段A2B2的垂直平分线上 ∴直线A0H垂直平分A2B2

（3）当n为奇数时，θn=

﹣α；

当n为偶数时，θn=α．

（4）存在．

当n为奇数时，直线A0H垂直平分当n为偶数时，直线A0H垂直平分

，

点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

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www.jyeoo.com （2）求出点C的坐标，并在图中画出此抛物线的大致图象；

考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）根据以点G（4，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，求得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），然后代入抛物线y=﹣x+bx+c求得函数的解析式即可；

（2）首先求得抛物线与y轴的交点点C的坐标，然后将y=﹣x+x﹣2配方成y=（x﹣4）+的形式，从而求得顶点坐标，即可作出函数的图象；

（3）根据F（8，m）在抛物线y=﹣x+x﹣2上，求得点F的坐标，连接AF，则与抛物线的对称轴的交点为点P，此时PF+PB的最小，然后利用勾股定理求得AF的长即为最小值；

（4）连接EG，根据OE是⊙G的切线，得到∠OEG=90°，然后利用勾股定理求得OE的长即可，进而得出E点坐标，求出即可．解答：解：（1）∵以点G（4，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0）， ∵抛物线y=﹣x+bx+c过点A和点B，

∴，

解得：，

∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x+x﹣2；

（2）∵C点为抛物线与y轴的交点， ∴当x=0时，y=﹣2，

∴点C的坐标为（0，﹣2）；

∵y=﹣x+x﹣2=﹣（x﹣8x）﹣2=﹣（x﹣4）+， ∴此抛物线的顶点坐标为（4，），如图：

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www.jyeoo.com （3）∵点F（8，m）在抛物线y=﹣x+x﹣2上，

∴点F的坐标为（8，﹣2），

连接AF，则与抛物线的对称轴的交点为点P，此时PF+PB的最小， ∴PA=PB，

∴PF+PB=PA+PF=AF=

；

∴PF+PB的最小值为2；

（4）连接EG，作ER⊥OB，ET⊥y轴， ∴EG=2，

∵OE是⊙G的切线， ∴∠OEG=90°， ∴OE=2．

∵EG=2，OG=4， ∴∠EOG=30°，

∴∠EGO=90°﹣∠EOG=90°﹣30°=60°， ∴RG=1，

∴ER=，OR=3， ∴ET=3，

∴△COE的面积为：×2×3=3， ∴△COQ的面积为3，当Q点横坐标为3时， y=﹣x2

+x﹣2=； ∴Q点的坐标为：（3，），当Q点横坐标为﹣3时， y=﹣x2+x﹣2=0； y=﹣

，

∴Q点的坐标为：（﹣3，﹣），

∴点Q的坐标为：（﹣3，﹣

），（3，）．

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点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是题目中与几何知识结合起来，更是中考中的常见考题．

（2）求出点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；（3）点Q（m，

）（m＜0）在抛物线y=x+bx+c的图象上，点P为此抛物线对称轴上的一个动点，求PQ+PB

的最小值；

（4）CF是圆E的切线，点F是切点，在抛物线上是否存在一点M，使△COM的面积等于△COF的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据题意可得点A，B的坐标，将点A，B的坐标代入二次函数的解析式即可求得；

（2）抛物线与y轴的交点横坐标为0，代入求得纵坐标，可得点C的坐标，求得顶点坐标，对称轴即可画草图；（3）根据两点之间线段最短可得：Q（m，m＜0，则m=﹣10，∴Q（﹣10，

），∴

=m+m+2整理为m+8m﹣20=0，即m1=2，m2=﹣10．因

）．∵y=（x+4）﹣，又∵A（﹣2，0）与B（﹣6，0）关于x=﹣4对称，

则PQ+PB的最小值就是QA的长度，求解即可；

（4）根据全等的知识，利用三角函数，借助于方程求解即可．解答：解：（1）∵⊙E的半径为2，

∴点E的坐标为（﹣4，0）易知A（﹣2，0），B（﹣6，0） ∵抛物线过点A和B，

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www.jyeoo.com ∴

解得

∴抛物线的解析式为y=x+x+2；（2分）

（2）∵抛物线y=x+x+2与y轴交于点C，令x=0，y=×0+×0+2=2，

∴C（0，2）作图象如右；（4分）（未作图的给3分）

（3）∵Q（m，∴

=m+m+2

），

整理为m+8m﹣20=0，

即m1=2，m2=﹣10 ∵m＜0，则m=﹣10 ∴Q（﹣10，

）（5分）

∵y=（x+4）﹣，

又∵A（﹣2，0）与B（﹣6，0）

关于x=﹣4对称，则PQ+PB的最小值就是QA的长度 ∴PQ+PB=PA+PQ=QA=

（4）解法一：连接EF，

∵EF=2，在Rt△COD与Rt△EFD中，EF=CO=2 又∵∠CDO=∠EDF， ∴Rt△COD≌Rt△EFD

设OD=﹣x，则ED=CD=4+x，在Rt△COD中2+（﹣x）=（4+x），则XF=﹣1.5 ∴CD=4﹣1.5=2.5，设∠OCD=∠1，则sin∠1=设X1=α 又∵CF=∴∴

=sin∠1，

=4，

．

；（6分）

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∴a=﹣

www.jyeoo.com =﹣2.4（8分）

又S△COF=S△COM，

∵CO=CO，三角形同底则只要高相等，则S△COF=S△COM∴xM=XF或XM=﹣XF，故存在xM1=2.4或xM2=﹣2.4 yM1=×﹣2.4+x﹣2.4+2=﹣0.24， yM2=×2.4+×2.4+2=6.16

∴M的坐标为M1（﹣2.4，﹣0.24），M2（2.4，6.16）（10分）

解法二：如图过F点作y轴的垂线交y轴于G点，由△COD≌△EFD⇒CD=ED 设OD=xED=CD=4﹣x，

则有（4﹣x）﹣x=2⇒x=1.5又CF=又∵Rt△COD≌Rt△EFD，CD=DE，OD=DF ∴

=2.4（8分）

=4（7分）

若S△COF=S△COM，故M点到底边CO的高为2.4，则存在xM1=2.4或xM2=﹣2.4 当xM1=﹣2.4时，yM1=×（﹣2.4）+×（﹣2.4）+2=﹣0.24， ∴M1（﹣2.4，﹣0.24）xM2=2.4时，

×2.4+2=6.16，

∴M2（2.4，6.16）（10分）

如果有其它不同解法，可依据解法一或解法二的得分标准给分．

点评：此题考查了圆与二次函数的综合知识，是中考中难度较大的题目；解题时要注意审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想与方程思想的应用． 28．（10分）（2010•黔东南州）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O分别交AB，AC于点F．点E，AD⊥BC于D，AD交于⊙O于M，交BE于H．

求证：DM=DH•DA．

考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。

分析：首先利用相似三角形的判定得出△BDM∽△MDC，即可得出MD=BD•CD，进而得出△BDH∽ADC，以及BD•CD=AD•DH，即可得出答案．解答：证明：连接BM，CM，

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www.jyeoo.com ∵BC为⊙O直径，

∴∠BMC=∠BEC=90°， ∵MD⊥BC，

∴∠C+∠CMD=90°， ∵∠CMD+∠BMD=90°， ∴∠MCD=∠BMD， ∠MDC=∠MDB=90°， ∴△BDM∽△MDC， ∴

，

∴MD=BD•CD，

∵∠AHE=∠BHD，∠AEH=∠HDB=90°， ∴∠DBH=∠DAC， ∠BDH=∠ADC=90°， ∴△BDH∽ADC， ∴

，

∴BD•CD=AD•DH，

∴DM=DH•DA．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，根据已知得出△BDM∽△MDC，△BDH∽ADC进而得出比例式是解题关键． 29．（10分）（2006•临沂）如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．

（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．

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又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE， ∴∠MEA=∠AFO．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF． ∴OE=OF．

（2）解：OE=OF成立．

证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°， ∠E+∠OBE=90°，又∵∠MBF=∠OBE， ∴∠F=∠E．

∴Rt△BOE≌Rt△AOF． ∴OE=OF．

点评：本题就是一个考查正方形的性质以及三角形全等的判定问题． 30．（10分）（2011•凉山州）6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等．

考点：列表法与树状图法；平面镶嵌（密铺）。专题：计算题。分析：（1）根据镶嵌的定义可得这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率；

（2）利用列表法展示所有等可能的15种结果，其中能进行平面镶嵌的结果有8种，再根据概率的概念计算即可．解答：解：（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌， ∴P（单独一种能镶嵌）=

（2）根据题意得： A B C D E F A BA CA DA EA FA B AB CB DB EB FB C AC BC DC EC FC D AD BD CD ED FD E AE BE CE DE FE F AF BF CF DF EF ；

（5分）

由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，

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分别是：AB，AD，BE，CF，BA、DA、EB、FC， ∴这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率=

．

点评：本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P=．

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