河南省实验中学高二下学期期中考试数学(文)

高二 数学（文） 命题人：刘春城 审题人：贠慧萍

（时间：120分钟，满分：150分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足A．

B．

，则|z|＝（ ）

C．3

D．4

2．下列导数运算正确的是（ ） A．（x﹣1）′＝

＝1

3．用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（ ） A．有两个数是正数 C．至少有两个数是负数

4．下列推理是归纳推理的是（ ）

A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝a，an＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

5．下列关于回归分析的说法中错误的有（ ）个

（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高． （2）回归直线一定过样本中心（，）．

（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好． （4）甲、乙两个模型的R2分别约为和，则模型乙的拟合效果更好． A．4 B．3 C．2

D．1

的面积S＝πab

B．这三个数都是正数 D．至少有两个数是正数

B．（2x）′＝x2x﹣1 C．（cosx）′＝sinx

D．（lnx+x）′

6．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物

体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（ ） A．九尺五寸 C．一丈一尺五寸

B．一丈五寸 D．一丈六尺五寸

7．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈，参照下表：得到的正确结论是（ ） P（K2≥k0）

k0

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

C．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 8．在下面的图示中，是结构图的为（ ）

A．

B． C．

D．

9．已知函数f（x）＝x2﹣5x+2lnx，则函数f（x）的单调递减区间是（ ） A．C．（，2）

B． （0，1）和（2，+∞） D．

和（2，+∞）

10．已知函数f（x）＝sinx+cosx，若f1（x）＝f′（x），fn+1（x）＝f′n（x）（n∈N+），则f2021（）＝（ ）

11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是（ ） A．3972

B．3974

C．3991

D．3993

A． B． C． D．﹣

12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2021）2f（x+2021）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（ ） A．（﹣2021，﹣2021） C．（﹣2021，﹣2021）

B．（﹣2021，﹣2021） D．（﹣2021，﹣2021）

二.填空题:本大题共5小题，每小题5分，共20分.

1113．曲线y在点处的切线方程为 ． （2， ）x214．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片．

甲说：照片A是α发回的；乙说：β发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是γ发回的．

若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片B是探测器 发回的．

15．在等比数列{an}中，若a9＝1，则有等式a1a2…an＝a1a2…a17﹣n，（n＜17，n∈N*）成立．类比上述性质，相应的在等差数列{bn}中，若b9＝0，则有等式 成立．

16.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是

三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）已知复数z＝（1）若z是纯虚数，求m的值；

（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．

，（m∈R，i是虚数单位）

18．（本题满分12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）． （1）若函数f（x）在x＝1处有极值10，求f（x）的解析式；

（2）当a＝﹣2时，若函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围．

19．（本题满分12分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2021年上半年每个月的20日的昼夜温差（x°C，x≥3）和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下： 温差x°C 患感冒人数y 其中

，

，

，

x1 8

x2 11

x3 14

x4 20

x5 23

x6 26

（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系； （Ⅱ）建立y关于x的回归方程（精确到），预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会有什么变化（人数精确到整数）

参考数据：．参考公式：相关系数：，

回归直线方程是，

20．（本题满分12分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第n个图形中的黑点总数为f（n）．

（1）求f（2），f（3），f（4），f（5）出的值；

（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式． 21．（本题满分12分）已知a∈R，f（x）＝2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．

选作题：共12分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程（12分） 已知直线l的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正

＝2a（a

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＞0）．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|＝14，求a的值．

23.选修4-5：不等式选讲（12分） 已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）． （Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；

（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．

河南省实验中学2021--2021学年下期期中试卷

高二文科数学 参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 A D D B C B B B C 答案 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 10 A 11 D 12 C 13. x﹣4y﹣4＝0． 14．α 15 16．（﹣1，2] 三、解答题 17．解：z＝

＝

．

，即m＝2；------------------------5分

，

，即﹣2＜m＜2．---10分

（1）若z是纯虚数，则（2）

由在复平面上对应的点在第四象限，得

18 （1）因为f（x）＝x3+ax2+bx+a2，所以f'（x）＝3x2+2ax+b， 由已知条件，得

即

解得 或

--------------------------------------------------------4分

下面分别检验：

①当a＝4，b＝﹣11时，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f′（x）＝3x2+8x﹣11， 令f′（x）＝0，即 3x2+8x﹣11＝0，解得 列表：

x f′（x） f（x）

+ 增函数

0 极大值

﹣ 减函数

1 0 极小值10

（1，+∞）

+ 增函数

，x2＝1，

由上表可知，f（x）在x＝1处取极小值10，符合题意．

②当a＝﹣3，b＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+3x+9，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2≥0，f（x）为增函数，不合题意，舍去．

所以当a＝4，b＝﹣11时，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16为所求函数的解析式． 综上所述，所求函数的解析式为f（x）＝x3+4x2﹣11x+16． -------------------6分 （2）当a＝﹣2时，f（x）＝x3﹣2x2+bx+4，f'（x）＝3x2﹣4x+b， 此导函数是二次函数，二次项系数大于0，且对称轴为，----- -----8分

因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）≥0在[2，+∞）上恒成立， 也就是f'（2）≥0，

即 3×22﹣4×2+b≥0，解得b≥﹣4，

所以，b的取值范围是[﹣4，+∞）． ---------------------------------------------------12分 19．解：（Ⅰ）

，

（14﹣17）2+（20﹣17）2+（23﹣17）2+（26﹣17）

2

′

＝252．

故r＝．

∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；-------------------------------------------6分

（Ⅱ），，

，

∴y关于x的回归方程为当x＝4时，△y＝×4≈10．

预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会增加10人．-------12分 20． 【解答】解：（1）由题意有f（1）＝3， f（2）＝f（1）+3+3×2＝12， f（3）＝f（2）+3+3×4＝27， f（4）＝f（3）+3+3×6＝48，

f（5）＝f（4）+3+3×8＝75．…（6分）

（2）由题意及（Ⅰ）知，f（n+1）＝f（n）+3+3×2n＝f（n）+6n+3， 即f（n+1）﹣f（n）＝6n+3，…（8分） 故f（2）﹣f（1）＝6×1+3，

f（3）﹣f（2）＝6×2+3，f（4）﹣f（3）＝6×3+3，

．----------------------------------10分

…

f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1）+3，n≥2．…（10分） 将上面（n﹣1）个式子相加，得：

，

又f（1）＝3，所以f（n）＝3n2，n≥2， 而当n＝1时，f（1）＝3也满足上式， 故f（n）＝3n2，n∈N*．…（12分） 21．解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）＝2﹣＝（x﹣），

当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增， 当a＞0时，在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）递减， 在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增， 综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，

a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；------------------6分 （Ⅱ）xf（x）≥x2+1恒成立，即xf（x）﹣（x2+1）≥0恒成立， 设g（x）＝xf（x）﹣（x2+1），则g（x）＝x2﹣axlnx﹣1， g′（x）＝2x﹣a（1+lnx），g′（x）的单调性和f（x）相同，

当a≤0时，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）＝2﹣a＞0，------8分 故g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）＝0，

当a＞0时，g′（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，----------------------9分 当0＜a≤2时，≤1，g′（x）在[1，+∞）递增，-------------------------10分 g′（x）≥g′（1）＝2﹣a≥0，

故g（x）是增函数，故g（x）≥g（1）＝0， 当a＞2时，在区间（1，）上，g′（x）递减， 故g′（x）＜g′（1）＝2﹣a＜0，

故g（x）递减，故g（x）＜g（1）＝0，不合题意，

综上，a的范围是（﹣∞，2]．------------------------------------------------------12分 22解：（1）由ρ

＝2a两边平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）＝4a2，

又 ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，∴a2y2+4x2＝4a2（a＞0），

即曲线C的直角坐标方程为：4x2+a2y2＝4a2．--------------------------------6分 （2）消去参数t得直线l的普通方程为：y＝x+4，易知P（0，4）在直线l上， 所以直线l的斜率为，倾斜角为60°，

所以直线l的参摄方程可设为：（t为参数），

将以上参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2＝0 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2， 则t1t2＝

，----------------------------------------------------------11分

所以|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝＝14，解得：a＝．-----------12分

23．解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6， 故

或

或

，

解得：x＞或x＜﹣，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；-------------------------------6分 （Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立， 则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立， 故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立， 故6×a＞2a+4，解得：a＞2， x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，

综上，a∈（2，+∞）．-------------------------------------------12分