2.2第二节函数的性质

第1课时 函数的单调性和最值

1．(2020届上海高三期中)下列函数是在(0，1)上为减函数的是( ) A．y＝lg x B．y＝2x

1

C．y＝cos x D．y＝ 2x－1

2．下列函数，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )

1

A．f(x)＝x B．f(x)＝x3

21

C．f(x)＝()x D．f(x)＝3x

2

3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A．b≥0 B．b≤0 C．b＜0 D．b＞0

4．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，则y＝f(|x－3|)的单调递减区间是( ) A．(－∞，＋∞) B．[3，＋∞) C．[－3，＋∞) D．(－∞，3]

5．(2020湖北高三期中)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意的正实数x1，x2，都有(x1

－x2)[f(x1)－f(x2)]>0恒成立，则不等式f(2x)－f(3x－6)>0的解集是( )

A．(0，6) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(2，6)

6．已知f(x)和g(x)在定义域内均为增函数，但f(x)·g(x)不一定是增函数，请写出一对这样的函数．例如当f(x)＝________，且g(x)＝________时，f(x)·g(x)不是增函数．

7．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．

x＋a－1

8．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

x＋2

9．函数y＝x2＋x－6的单调增区间是( ) A．(－∞，－3) B．[2，＋∞) C．[0，2) D．[－3，2]

a，x>1，

10．(2020届甘肃甘谷一中月考)已知函数f(x)＝ 是R上的增函数，a

（4－）x＋2，x≤12则实数a的取值范围是( )

A．(1，8) B．(1，＋∞) C．(4，8) D．[4，8)

f（x）

11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝在区x

间(0，＋∞)上一定( )

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

12．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，构造函数F(x)，定义如下：当|f(x)|≥g(x)时，F(x)＝|f(x)|，当|f(x)|＜g(x)时，F(x)＝－g(x)，那么F(x)( )

A．有最小值0，无最大值 B．有最小值－1，无最大值 C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值

13．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．

x

2x＋1，x≤1，

14．设函数f(x)＝x若f(f(1))＝4a，则实数a＝_______，函数f(x)的单调

2＋ax，x＞1，

递增区间为_______．

1

15．已知函数f(x)＝a－.

|x|

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

a

16．已知函数f(x)＝ln(x＋－2)，其中a是大于0的常数．

x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；

(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围．

第2课时 函数的奇偶性和周期性

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是( )

1

A．f(x)＝x B．f(x)＝2 x

－

C．f(x)＝2x＋2x D．f(x)＝－cos x

2．(2020届山西太原第五中学高三月考)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于( )

5

A．－3 B．－ 4

5

C. D．3 4

3．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的有( ) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x

4．(2020届江西新余四中高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，

5

当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f(－)＋f(1)＝( )

2

A．－2 B．0 C．2 D．1

5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是( )

A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)

1

6．(2020届江西临川二中高三月考)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f(f(2))e

的值为________．

7．奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为________．

8．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________.

9．(2020届安徽六安第一中学高三月考)函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝( )

A．13 B．2 213C. D. 132

10．(多选题)如果定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”．下列函数为“H函数”的是( )

1

A．f(x)＝sin x B．f(x)＝3x－()x

3

C．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|

11．(2020届云南高三月考改编)已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x，y满足f（x）＋f（y）x＋yπ（x－y）11

＝f()·cos，且f(0)＝f(1)＝0，f()＝1，并且当x∈(0，)时，f(x)>0.

22222则下列结论正确的是( )

A．函数f(x)是偶函数

11

B．函数f(x)在(－，)上单调递增

22

C．函数f(x)是以2为周期的周期函数

5

D．f(－)＝0

2

12．(2020届陕西汉中汉台中学高三月考)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＞0，f(x

1

＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________.

f（x）

13．(2020届湖南师大附中高三月考)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，

1

＋∞)上是单调增函数．如果实数t满足f(ln t)＋f(ln)＜2f(1)，那么t的取值范围是________．

t

14．(2020届云南曲靖第一中学高三月考)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积． 2－x＋1，0≤x＜1，

15．设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝若对任意

2－2x，x≥1，

的x∈[m，m＋1]，不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则实数m的最大值是( )

1

A．－1 B．－ 3

11C．－ D. 23

第二节 函数的性质

第1课时 函数的单调性和最值

【基础过关】

1．C 解析：对数函数，底数大于1时，在x>0上为增函数，不满足题意；指数函数，底数大于1时，在x>0上为增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即x∈[0，

11

π]上为减函数； 反比例型函数，在－∞，与，＋∞上分别为减函数，不满足题意．故选22

C.

2．D 解析：根据各选项知，选项C，D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以D正确．故选D.

b

3．A 解析：函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调函数的充要条件是－≤0，解得

2

b≥0.故选A.

4．B 解析：因为函数y＝f(|x－3|)是由y＝f(μ)，μ＝|x－3|复合而成的，而函数y＝f(x)在R上是减函数，y＝f(|x－3|)的单调递减区间，即μ＝|x－3|的单调递增区间，结合函数μ＝|x－3|的图象可得，应有x－3≥0，解得x≥3，所以函数y＝f(|x－3|)的单调递减区间是[3，＋∞)．故选B.

5．A 解析：函数的定义域为(－1,1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇

11

函数，当01＋x1－x

5．D 解析：∵函数f(x)对任意的正实数x1，x2均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，∴f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴不等式f(2x)－f(3x－6)>0，即f(2x)>f(3x－6)，可转化为2x>3x－6>0，∴所求不等式的解集是(2,6)．故选D.

6．此题答案不唯一(参考答案：x，x；x，x3；x，ln x；x，lg x；x，ex；…)

11111t－2＋，所以当t＝，即x＝时，7. 解析：令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－24424

1ymax＝.

4

x＋a－1x＋2＋a－3a－3

8．(－∞，3) 解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋

x＋2x＋2x＋2

∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a＜3.故实数a的取值范围为(－∞，3)．

【综合进阶】

9．B 解析：∵x2＋x－6≥0，∴x≥2或x≤－3.又∵y＝x2＋x－6是由y＝t，t∈[0，＋∞)和t＝x2＋x－6，x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)两个函数复合而成，而函数t＝x2＋x－6在[2，＋∞)上是增函数，y＝t在[0，＋∞)上是增函数．又∵y＝x2＋x－6的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，∴y＝x2＋x－6的单调增区间是[2，＋∞)．故选B.

a，x＞1，4－a＞0，

10．D 解析：∵函数f(x)＝a 是R上的增函数，∴2

4－2x＋2，x≤1a

x



a＞1，

a≥4－2＋2，

解得4≤a＜8，即a的取值范围为[4,8)．故选D.

fxa

11．A 解析：∵f(x)＝x2－2ax＋a在(0，＋∞)上有最小值，∴a>0.∴g(x)＝＝x＋－

xx

2a在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A.

12．B 解析：画出函数F(x)的图象，如图所示，由图象可知，当x＝0时，F(x)取得最小值，此时F(x)＝x2－1，故最小值为－1；函数的图象向右上方无限延展，所以F(x)无最大值．故选B.

13．(－∞，0] 解析：画出图象(可参考上题图)易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，依题意知，m≤0.故m的取值范围为(－∞，0]．

x2＋1，x≤1，

14．2 [0，＋∞) 解析：∵f(x)＝x∴f(1)＝12＋1＝2，f(f(1))＝f(2)＝

2＋ax，x＞1，

22＋2a.由f(f(1))＝4a，知22＋2a＝4a，∴a＝2.当x≤1时，f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，且f(1)＝2；当x＞1时，f(x)＝2x＋2x在(1，＋∞)上单调递增．令x＝1，则2x＋2x＝2＋2＝4＞f(1)，故f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)．

1

15．(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，任取x1，x2∈(0，＋∞)，

x

且x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1>0，

1111x2－x1a－－a－＝－＝f(x2)－f(x1)＝x2x1x1x2x1x2＞0，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

1

(2)解：由题意，a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立．

x1

设h(x)＝2x＋，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．

x

任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1＜x2，

12－h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)x1x2.

1

∵1x1x2

∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，h(x)＞h(1)＝3. 又a故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]．

x

17．解： (1)f(1)＝fx＝f(x)－f(x)＝0，x＞0. (2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

x2x2x2x＝f(x)－f(y)，证明：设0＜x1＜x2，则由f得f(x)－f(x)＝f，因为＞1，所以f21

yx1x1x1

＞0.所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

36(3)因为f(6)＝f6＝f(36)－f(6)，又f(6)＝1， 所以f(36)＝2，原不等式化为f(x2＋5x)＜f(36)， 又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

1

所以x＞0，

x＋5x＜36，

2

x＋5＞0，

解得0＜x＜4.

【素养创新】

x2－2x＋aa

16．解：(1)由x＋－2＞0，得＞0.

xx

当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}；

当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－1－a或x＞1＋1－a}．

a

(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

x

ax2－a

∴g′(x)＝1－2＝2＞0.

xx

因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．

a

则f(x)min＝f(2)＝ln.

2

(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

a

即x＋－2＞1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a＞3x－x2.

x

令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．

39

x－2＋在[2，＋∞)上是减函数， ∵h(x)＝－24

∴h(x)max＝h(2)＝2.

故a＞2时，恒有f(x)＞0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．

第2课时 函数的奇偶性和周期性

【基础过关】

1

1．B 解析：函数f(x)＝2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．故选B.

x

2．A 解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.故选A.

3．BD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．A中，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B中，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C中，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D中，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD.

4．A 解析：∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－

5151

－＝f－＝－4＝－2，∴f－＋f(1)＝－2.故选A. 1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f2222

5．D 解析：由偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，得f(x)＝f(|x|)．因为f(x－1)＞0，所以f(|x－1|)＞f(2)，即|x－1|＜2，解得－1＜x＜3，即x的取值范围是(－1,3)．故选D.

11f12＝f(－2)．又因为f(x)是6．－ln 2 解析：由已知可得f＝ln ＝－2，所以f22eee

12＝f(－2)＝－f(2)＝－ln 2. 奇函数，所以ffe

7．9 解析：因为f(x)在[3,6]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1.因为f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，所以f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.

8．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(x＋6)＝f(x＋12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.

9．解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定义域为R，

∴f(x)是偶函数．(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，

则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

－x，x∈[－1，0]，

故f(x)＝x，x∈0，1，

－x＋2，x∈[1，2].【综合进阶】

131313

9．D 解析：∵f(x)·f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，则f(x＋4)＝＝＝f(x)，故函

fxfx＋213

fx

1313

数f(x)的周期为4，∴f(99)＝f(3)＝＝.故选D.

f12

10．BD 解析：根据题意，对于任意的不相等实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，则有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数．对于A，f(x)＝sin x是正弦函数为奇函数但不是

－

增函数，不符合题意；对于B，f(－x)＝3x－3x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝x3－3x为奇函数，但在R上不是增函

2x，x≥0，

数，不符合题意；对于D，f(x)＝x|x|＝2为奇函数在R上为增函数，符合题意．故

－x，x＜0

选BD.

fx＋f－x

11．BC 解析：令y＝－x，可得＝f(0)cos πx＝0，∴f(－x)＝－f(x)，函数f(x)

2

fx1＋f－x2x1－x2111

是奇函数，故A不正确；设>x1>x2>－，∵当x∈0，时，f(x)>0，∴＝f22222

πx1＋x2fx＋2－fx11cos>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在－，上单调递增，故B正确；∵＝

2222fx＋2＋f－x

＝f(1)·cos π(x＋1)＝0，∴f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以2为周期的周期函数，

2

511

故C正确；∵f－＝f－＝－f＝－1，故D不正确．综上所述，正确的结论是BC.

222

111

12．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，

fxfx＋21

fx

即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以

11

f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝ .由f(x)＞0，得f(1)＝

f－1f1

1，所以f(2 023)＝f(1)＝1.

11

，e 解析：因为函数f(x)是偶函数，所以fln＝f(－ln t)＝f(ln t)＝f(|ln t|)，则有13.et1

ln＜2f(1)，即2f(ln t)<2f(1)，等价于f(|ln t|)＜f(1)．因为函数f(x)在区间[0，＋∞)f(ln t)＋ft

1

上是单调增函数，所以|ln t|＜1，解得＜t＜e.

e

14．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得

f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的函数，

所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．

故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示：

1

×2×1＝当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×2

4.

【素养创新】

15．B 解析：易知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，则由f(1－x)≤f(x＋m)，得|1－x|≥|x＋m|，即(1－x)2≥(x＋m)2，即g(x)＝(2m＋2)x＋m2－1≤0在x∈[m，m＋1]上恒成立，当m＝－1时，

gm＝3m－1m＋1≤0，1

g(x)＝0，符合要求，当m≠－1时，则解得－1＜m≤－，

3gm＋1＝m＋13m＋1≤0，11

所以－1≤m≤－，即m的最大值为－.故选B.

33