一、基础知识
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
形如y＝kax，y＝axk(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0 1 －1，，依据这三点的坐标可得到指数函数(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，a的大致图象． 1x (2)函数y＝ax与y＝a(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0 [典例] (1)函数f(x)＝21x的大致图象为( ) － (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 1x－ [解析] (1)函数f(x)＝21x＝2×单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求． 2，(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减， 所以k的取值范围为(－∞，0]． [答案] (1)A (2)(－∞，0] [变透练清] 1.[变条件]本例(1)中的函数f(x)变为：f(x)＝2|x1|，则f(x)的大致图象为( ) － 解析：选B f(x)＝2|x1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确． 2.[变条件]本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________． 解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点，由典例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示， 故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点． 答案：{0}∪[1，＋∞) 3．若函数y＝21x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围． 1x－1－1x－1的图象如图所示， 解：y＝21x＋m＝＋m，函数y＝22则要使其图象不经过第一象限， 则m≤－2. － － 故m的取值范围为(－∞，－2]． 考点二 指数函数的性质及应用 考法(一) 比较指数式的大小 [典例] 已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b [典例] 若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________． [解析] ∵f(x)为偶函数， 当x＜0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2x－4. x2－4， x≥0， ∴f(x)＝－x 2－4，x＜0， － 4323132323 x－2≥0，x－2＜0， 当f(x－2)＞0时，有x－2或－x＋2 2－4＞02－4＞0， 解得x＞4或x＜0. ∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}． [答案] {x|x>4或x<0} [解题技法] 简单的指数方程或不等式问题的求解策略 (1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)． (2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0 考法(三) 指数型函数性质的综合问题 1ax2－4x＋3[典例] 已知函数f(x)＝. 3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． 1－x2－4x＋3[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝3， 令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，1t 而y＝所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，3在R上单调递减，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． 1g(x) (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝3， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1， a>0， 因此必有23a－4 g＝＝－1，aa 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. [解题技法] 与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数y＝af(x)的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关： (1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间； (2)若0 1x2＋2x－11．函数y＝的值域是( ) 2A．(－∞，4) C．(0,4] B．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 1t解析：选C 设t＝x2＋2x－1，则y＝2. 1 因为0<<1， 2 1t 所以y＝2为关于t的减函数． 因为t＝(x＋1)2－2≥－2， 1t1－2所以0 －a 与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则 10.1 M＝(a－1)0.2与N＝a的大小关系是( ) A．M＝N C．M －a B．M≤N D．M>N 与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调 10.1性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝a<1，所以M >N. x4，x≥0， 4．已知实数a≠1，函数f(x)＝a－x若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 2，x<0， 11－ 解析：当a<1时，41a＝21，所以a＝；当a>1时，代入可知不成立．所以a的值为. 221 答案： 2 [课时跟踪检测] A级 1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( ) 解析：选A 因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质． 2．已知函数f(x)＝4＋2axA．(1,6) C．(0,5) －1 的图象恒过定点P，则点P的坐标是( ) B．(1,5) D．(5,0) 解析：选A 由于函数y＝ax的图象过定点(0,1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2ax －1 的图象恒过定点P(1,6)． 3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b B．a＞c＞b D．b＞c＞a 解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c. 14．函数f(x)＝21－∞， A.21C.2，＋∞ xx2的单调递增区间是( ) 1 0， B.21 D.2，1 1t 解析：选D 令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f(x)的定义域为[0,1]，因为y＝2是1减函数，所以函数f(x)的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间2，1，故选D. 5.函数f(x)＝ax －b 的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) B．a>1，b>0 D．0 A．a>1，b<0 C．0 的图象可以观察出函数f(x)＝ax －b －b 在定义域上 单调递减，所以0 x1－2，x≥0， 6．已知函数f(x)＝x则函数f(x)是( ) 2－1，x<0， － A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析：选C 易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2x，－f(x)＝2x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2 －(－x) － － － ＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C. 13.3 13.9，则a________b．(填“<”或“>”) 7．已知a＝，b＝331x 13.3>13.9，即a>b. 解析：因为函数y＝为减函数，所以333答案：> 1x1x 8．函数y＝4－2＋1在[－3,2]上的值域是________． 3 ，57 答案：4 9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________. 3 答案：－ 2 10．已知函数f(x)＝a|x1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________． 解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a＞1.由于函数f(x)＝a|x1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)＞f(1)． 答案：f(－4)＞f(1) ＋ ＋ ＋ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容