读者论坛 数学模型在养老保险精算 吕 杰 摘要：寿险精算在寿险经营中起着核心作用，如何在寿险营运各环节开展精算，是寿险精算人员探讨和研究的 重要问题。养老保险精算是寿险精算的重要组成，本文将介绍数学模型在养老保险精算及风险问题中的应用，探讨 精算的思路方法。 关键词：数学模型；养老保险精算；风险 近年来，我国人寿保险业迅速发展，寿险精算学也同 明的结合实际的模型假设； 时应运而生。寿险精算是以概率论和数理统计为工具， （２１根据假设的目的选择适当的数学工具确立相关变 结合保险、金融与财务知识，理论与实务相结合的学科， 量之间的关系； 研究人寿保险中的寿命分布规律，寿险赔付规律，保险 （３）对模型进行求解； 费率的厘定，责任准备金的计提，保单现金价值的计算 ｆ４）对模型进行分析，如模型的解对因变量与参数的 和养老保险计划的安排等问题。寿险精算的作用主要是 依存关系及模型的有效性等进行研究； 为寿险公司产品开发、公司投资及动态偿付能力的测试 （５）模型检验，将构建的模型应用到实践中进行检验， 提供依据，为寿险经营者提供专业的参考建议，并对未 与实际相符的模型才可以应用，否则需要对提出的假设 来事件的不确定性进行解释。如何在寿险营运中的各个 条件进行修改、更换，重新构建模型。 环节开展精算，是寿险精算人员探讨和研究的重要问 在这里应该指出，并非模型的构建过程都必须严格 题。本文将介绍数学模型在养老保险精算及风险问题中 遵循以上步骤，各个步骤间也并不一定区分十分明确， 的应用，探讨精算的思路方法。 模型构建的关键是抓住问题的本质，而并不拘泥形式。 一、数学模型的构建 二、数学模型在养老保险精算中的应用 数学模型是相对于一定的概念、系统或过程而存在 养老保险精算是寿险精算学中的重要组成。退休人 的，它和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。为了达 员的养老生活保障是现代社会需要解决的一个重要问 到一定的研究目的，精算师对某一经济现象或系统进行 题。政府大多通过适当的社会保险提供必要的生活保 考察研究，提出合理的假设条件，选择合适的数学工具建 障。作为社会保险的补充，政府可以通过税收上的优惠， 立描述经济变量之间关系的数学结构，这一结构是由若 鼓励企业为其员工建立养老保险基金，使员工在退休后 干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不 能获得一个稳定的年金收入，以达到适当的生活水平。 等式、序关系、逻辑式、图表、图象和框图。 养老保险计划可以由企业为其员工设定，也可以由行业 数学模型的构建大致分为以下几个步骤： 工会为各所属单位的员工共同设立。其基本保障是为有 （１）根据数学模型构建的目的考察研究对象，提出简 一定工作年限并达到一定年龄的员工提供一个退休年 ＋“＋一＋”—卜”—卜”—＋＿”－・卜“＋“＋“＋“—卜”—－卜”—－卜一－－卜”—・卜”—－＋－ 发货通知单 合一体化的学习环境，为会计教学的改革起到推动作用。 出库单————— －编制记账凭证 课题名称： 本文依附于聊城职业技术学院教学改革研究资助项目， 增值税专用发票 项目编号２０１２ＬＺＹＪ２５。 任务进行升华到理论高度，总结知识要点，学生在这个 参考文献： 过程也得到了提升，将知识体系更加的系统化，为以后 ［１】教育部文件：关于全面提高高等职业教育教学质量的 职业的发展奠定了基础。 若干意见２００６—１ １－１６． 总之，会计学习站将会计教学中的理论教学与实践 ［２】赵志群．职业教育工学结合一体化课程开发指南【Ｍ］．北 教学进行了有机的结合，通过真实的工作环境的接触， 京：清华大学出版社，２００９． 到工作任务的操作，最后进行理论升华。在这整个的学 【３】姜大源．当代德国职业教育主流教学思想研究［Ｍ】．北京： 习过程中充分的调动了学生的学习积极性和主动性，也 清华大学出版社，２００９． 克服了会计学习的枯燥缺点，提供了会计教学的工学结 （作者单位：聊城职业技术学院） 金给付。从精算的观点来看，养老保险计划可看的用工 作期间的缴纳金所构成的某种定期年金来购买一个退 寿险精算中对风险的度量，可以用货币损益期望值 作为风险决策准则，分析风险的集中趋势与离中趋势， 但这种方法在受风险反应制约时不一定适用。多数实际 风险问题可以采用效用理论帮助决策，这种决策方式要 比期望值准则进行决策更准确。 记ｕ为净保费，Ｉ１是随机损失ｘ的期望值，即ｕ＝Ｅ 休时开始给付的延期生存年金和一定附加给付的一种 制度，给付金与缴纳金在精算现值上应当相等。下面是 数学模型在养老保险精算中的一个实例。 通过某家保险公司的一份材料得知：如果每月缴纳 保费２００元到６Ｏ岁开始领取养老保险金的约定成立， 某人若２５岁开始投保，到时每月养老保险金达到２２８２ 元；若３５岁开始投保，每月养老保险金是１０５６元；若 ４５岁开始投保，每月养老保险金是４２０元。现在让我们 来考察以上三种情况所缴纳保险费获得的利率。 Ｃｘ）。Ｇ为投保人缴纳的总保费，并且Ｇ≥Ｈ。Ｈ为承保人 收取保费后面临的赔付款和经营管理费用，Ｈ≥Ｕ且Ｈ＝ （１＋０ ｕ）＋ｃ（０＞０，Ｃ＞０），Ｃ为附加保费。假设风险损失ｘ 的分布函数及效用函数ｕ ）已知，根据风险理论，只有 当Ｇ≥Ｈ≥ｕ，保单中的保险契约双方才感到可行。Ｇ和 Ｈ可由下面的模型计算得出结果。 Ｕ （Ｗｒ＿Ｇ）＝Ｅ［Ｕ一（Ｗ －ｘ）］ Ｕｚ ２）＝Ｅ［Ｕ２（Ｗ２＋Ｈ－Ｘ）】 设投保人在投保后的第Ｋ个月所缴纳保险费及利 息的累计金额为 ，那么可以得到下面的数学模型： 户 ＝ （１＋ｉ）＋ｐ Ｋ＝０，１，２，．．．，Ｎ（１） ＝ （１＋ｉ）－ｑ Ｋ＝Ｎ＋Ｉ，Ｎ＋２，…，Ｍ（２） 其中，ｐ、ｑ分别是６Ｏ岁前每月所缴纳保险费和６０ 岁开始所领取的养老保险金数额（单位：元）；ｉ是所缴纳 保险费获得的利率，Ｎ、Ｍ分别是从投保开始到停缴保 我们用下面的实例说明效用理论在保险双方投保 或承保决策时是一种很好的决策工具。 险费和到养老保险金停止领取的时间（单位：月）。 很显然，Ｍ依赖于投保人的寿命。该保险公司养老 保险计划所在地人均寿命是７５岁。假设从２５岁开始投 保，于是ｐ＝２００，ｑ＝２２８２，Ｎ＝４２０，Ｍ＝６００，Ｆｏ＝０。通过差分 方程，可以得到： ： 亿设有１伽亿元的责任准备金，承保人的效用函数 为Ｕ（）＝Ｌｎ。承保人收取保险费１００亿元并承诺将 承担损失ｘ的概率分布为２５％时可能损失Ｍ元。在保 证其财务稳定的前提下，Ｍ的最大取值是多少，承保人 才能单独承保。 弋０ｌ Ｍ ０ Ｉ １个单位，损失变量ｘ的分布为 ２５ ０．７５．『 ．（１＋ ） ＋ ｉ ｒ（１＋ ） 一１］ Ｋ＝０，１，２，…，Ｎ（３） Ｐ 由效用理论有Ｕ ）＝Ｅ［ｕ＋Ｈ—Ｘ】成立。 左边Ｕ（Ｗ）＝ｌｎＷ＝ｌｎ ｌ＝０， 右边Ｅ［Ｕ ＋Ｈ—Ｘ）】＝０．２５Ｕ（２－Ｍ）＋０．７５１ｎ２＝０．２５１ｎ ： （１＋ｆ） ＋了ｒ（１＋ ） －１］ Ｋ＝Ｎ＋Ｉ，Ｎ＋２，．．．，Ｍ（４） 在（３）中取Ｋ＝Ｎ，（４）中取Ｋ＝Ｍ，且Ｆ ＝０，消去Ｆ ，导出 关于ｉ的方程： （１＋ ）肼一（１＋ ）（１＋ｉ） 一 ＋ ＝Ｏ ｒ Ｐ Ｐ ， （２－Ｍ）＋０．７５１ｎ２ 代人等式０．２５１ｎ（２一Ｍ）＋０．７５１ｎ２＝０ ８（２一Ｍ）＝０ Ｍ＝ｌ５／８ 记ｘ＝ｌ＋ｉ，将已知数据代入，得高次方程： Ｘ６００—１２．４ｘ ＳＯ＋ｌ１．４１＝０（６１ 即当Ｍ最大取值为１５／８单位时，承保人可以单独 承保。 通过上面的实例分析可以看出数学模型在解决寿 险精算问题时是一种有效的方法，尤其是在养老保险投 资中的不确定性和风险问题上将起到重要作用。 参考文献： ［１】熊福生，沈治中．寿险精算学［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社． ２００６，９． 应用Ｍａｔｌａｂ软件，可求出方程（６）的解， 得ｘ＝１．００４８５，ｉ＝０．００４８５。 同样方法，在３５岁开始投保的情况下ｉ＝０．００４６１；４５ 岁开始投保的情况下，ｉ＝００．００４１３。 三、数学模型在风险问题中的应用 寿险精算的数学模型中都是采用将随机变量用其 均值来代替，但如果保险业务不能在其价格支持上留有 适当的余地以应对意外的赔偿，该保险业务最终必将失 败。风险理论主要是利用概率论的知识，构建数学模型 研究寿险经营中遇到的风险问题，帮助人们认识风险， 建立保险责任准备金，研究准备金与风险水平之间的关 系以及控制责任准备金的额度。 ２２６ 【２］李秀芳．寿险精算实务［Ｍ］．北京：中国财经出版社，２００６． 【３］卢仿先，张琳．寿险精算数学【Ｍ］．北京：中国财政经济出 版社，２００６． 『４缕荣升．数学模型在寿险精算中的应用【Ｊ］＿山东商业职业 技术学院学报．２００３（１２）． （作者单位：辽宁医学院）
