宁都县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 有下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适． ②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．

其中正确命题的个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

2． 已知函数f（x）=2x﹣+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等

差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（ ） A．f′（x0）＜0

B．f′（x0）=0

C．f′（x0）＞0 D．f′（x0）的符号无法确定

3． 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（ ） A．

B．6

C．

D．3

B．∃x∈R，使得x2＞1

4． 命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（ ） A．∀x∈R，都有x2＜1 C．∃x∈R，使得x2≥1

5． 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若A．3

B．4

C．

D．13

D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1

=4，则

=（ ）

6． 设函数f（x）在x0处可导，则A．f′（x0） B．f′（﹣x0）

C．﹣f′（x0）

等于（ ）

D．﹣f（﹣x0）

7． 函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（ ） A．

B．

C．π

D．2π

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8． =（ ）

A．﹣i B．i C．1+i D．1﹣i

9． 若命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，A．命题p∨q是假命题

＜x，则下列说法正确的是（ ）

B．命题p∧（￢q）是真命题

C．命题p∧q是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题

10．执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）

A．9 B．11 C．13 D．15

11．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（ ） A．2n﹣1

B．﹣3n+2

C．（﹣1）n+1（3n﹣2）

D．（﹣1）n+13n﹣2

12．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10

二、填空题

13．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．

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14．如图，在矩形ABCD中，AB3， BC3， E在AC上，若BEAC， 则ED的长=____________

15．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是 ． 的标准差是22，则a ．

17．设xR，记不超过x的最大整数为[x]，令xx[x].现有下列四个命题: ①对任意的x，都有x1[x]x恒成立； ②若x(1,3)，则方程sin2

16．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，另一组数据ax1，ax2，ax3，ax4，ax5（a0）

xcos2[x]1的实数解为6；

31x1的 32③若an（nN），则数列an的前3n项之和为nn；

223n22④当0x100时，函数f(x)sin[x]sinx1的零点个数为m，函数g(x)[x]x零点个数为n，则mn100.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）

【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。 18．已知（1+x+x2）（x

n+

）（n∈N）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．

三、解答题

19．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

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（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

20．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S990，S15240． （1）求{an}的通项公式an和前n项和Sn；

（2）设bn1an是等比数列，且b27,b571，求数列bn的前n项和Tn．

n【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．

3xa21．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数fxx1.

3bx（1）当ab1时，求满足fx3的x的取值；

（2）若函数fx是定义在R上的奇函数

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22①存在tR，不等式ft2tf2tk有解，求k的取值范围；

②若函数gx满足fxgx2求实数m的最大值.

1x33x，若对任意xR，不等式g2xmgx11恒成立，322．CE=1，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA∠EBC=30°，∠BEC=90°，如图，在Rt△ABC中，现在分别以BE，和正△CED．

（Ⅰ）求线段AD的长；

（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．

23．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

，EF=2，BE=3，CF=4．

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24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fxxaxlnxaR.

2（1）若函数fx是单调递减函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数fx在区间0,3上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

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宁都县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．

22

②相关指数R来刻画回归的效果，R值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．

综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C．

【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．

2． 【答案】 A

【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣∴

'

+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），

，

∴存在x1＜a＜x2，f（a）=0， ∴

，∴

，解得a=

，

假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0． ∵∴

，

，

∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正， ∴x0＞a，

又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f（x）递减，

''

∴故选：A．

．

【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．

3． 【答案】D

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【解析】解：由等差数列的性质可得：S15=故选：D．

4． 【答案】D 故选：D．

=15a8=45，则a8=3．

【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1， 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

5． 【答案】D

【解析】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也成等比数列，且S8=4S4，

∴（S8﹣S4）2=S4×（S12﹣S8），即9S42=S4×（S12﹣4S4）， 解得

=13．

=4，

故选：D．

【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．

6． 【答案】C

【解析】解：故选C．

7． 【答案】C

2

【解析】解：函数y=2sinx+sin2x=2×

=﹣=﹣f′（x0），

+sin2x=sin（2x﹣）+1，

则函数的最小正周期为故选：C．

=π，

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

，属于基础题．

8． 【答案】 B 【解析】解：

=

=

=i．

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故选：B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．

9． 【答案】 B

【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题； x＜0时，故选：B．

【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．

10．【答案】C

【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5， 当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9， 当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13， 当a=13时，满足退出循环的条件， 故输出的结果为13， 故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

11．【答案】C

【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）

n+1

﹣2，故通项公式an=（﹣1）（3n﹣2）．

n+1

＜x无解，∴命题q是假命题；

∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；

，绝对值为3n

故选：C．

12．【答案】B 【解析】

考

点：球与几何体

二、填空题

13．【答案】 9 ．

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【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，

平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9

14．【答案】

【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.

3

，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD22

3332121

－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.

42242因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝15．【答案】 （﹣4，

） ．

21 2

2

【解析】解：∵抛物线方程为y=﹣8x，可得2p=8， =2．

∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2． 设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离， 即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，

2

∴n=8m=32，可得n=±4

）．

， ）．

因此，点P的坐标为（﹣4，故答案为：（﹣4，

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．

16．【答案】2 【解析】

试题分析：第一组数据平均数为x,(x1x)2(x2x)2(x3x)2(x4x)2(x5x)22，

(ax1ax)2(ax2ax)2(ax3ax)2(ax4ax)2(ax5ax)28,a24,a2．

考点：方差；标准差． 17．【答案】①③

【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然x1[x]x，①是真命题；对于②，由sin2xcos2[x]1得，

sin2x1cos2[x]，即sin2xsin2[x].当1x2 时，0x11，0sin(x1)sin1，此时

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方程无解；当2x3 时，0x21，0sin(x2)sin1，sin2xsin2[x]化为sin2(x1)sin21，此时sin2xsin2[x]化为sin(x2)sin2，所以x22或x22，即x4或x，所以原方

n程无解.故②是假命题；对于③，∵an（nN），∴a10，a20，a31，3333123143n13n，[n]n1a41，…，a3n1a[n]n，所以数列an的前3n项之和3n3333321nn，故③是真命题；对于④，由为3[12(n1)]n22第 11 页，共 19 页

18．【答案】 5 ．

【解析】二项式定理． 【专题】计算题．

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【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x用（x

n+

）（n∈N）的通项公式讨论即可．

n+12

）（n∈N）的展开式中无常数项、x﹣项、x﹣项，利

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r，2≤n≤8，

【解答】解：设（x

）（n∈N）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=

n

+

当n=2时，若r=0，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

当n=3时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠3；

n

+

当n=4时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠4；

n

+

n

+

2

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x）（x）（n∈N）的展开式中均没有常数项，故n=5适合

题意；

2

n

+

当n=6时，若r=1，（1+x+x）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x）（x

2

）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠6； ）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠7；

n

+

当n=8时，若r=2，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

综上所述，n=5时，满足题意． 故答案为：5．

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.0+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.0×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

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20．【答案】

【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

9a136d90则由S990，S15240，得，解得a1d2，……………3分

15a105d2401所以an2(n1)22n，即an2n，

Sn2nn(n1)2n(n1)，即Sn（．……………5分 nn1）221．【答案】（1）x1（2）①1,，②6

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【解析】

23x1x3，化简得33x23x10 解析：（1）由题意，x1311xx解得31舍或3，

3所以x1

试题

3xa3xax10 （2）因为fx是奇函数，所以fxfx0，所以x13b3bxx化简并变形得：3ab332ab60

要使上式对任意的x成立，则3ab0且2ab60 解得：{a1a1a1或{ ，因为fx的定义域是R，所以{ 舍去 b3b3b33x1所以a1,b3，所以fxx1

333x112①fxx11x

33331对任意x1,x2R,x1x2有：

12223x23x1fx1fx2x1x23313133x113x21xx因为x1x2，所以32310，所以fx1fx2，

 因此fx在R上递减．

2222因为ft2tf2tk，所以t2t2tk，

2即t2tk0在

时有解

所以44t0，解得：t1，

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所以的取值范围为1,

1x3x3xx②因为fxgx2333，所以gx3fx2

即gx33

xx所以g2x32x32x3x3x不等式g2xmgx11恒成立， 即3x3x22

22m3x3x11，

9恒成立

3x3x9令t3x3x,t2，则mt在t2时恒成立

t99令htt，h't12，

ttxx即：m33t2,3时，h't0，所以ht在2,3上单调递减

所以htminh36，所以m6 所以，实数m的最大值为6

考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题

【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。 22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=在△ADE中，AE=BE=由余弦定理可得AD=

（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°， ∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小． 在△ADE中，由正弦定理可得∴sin∠ADE=∴∠ADE＜30°

＜=sin30°，

，

，DE=CE=1，∠AED=150°，

=

；

，

t3,时，h't0，所以ht在3,上单调递增

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∴∠ADC＜∠ABC．

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．

23．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，∴EF⊥平面DCE 解：（Ⅱ）

方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH． 由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC， AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF． 所以∠AHB为二面角A﹣EF﹣C的平面角． 在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=

∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3， ∴

，

，BE=3，∴EC=

，

222

∵在△FCE中，CF=EF+CE，∴EF⊥CE由已知条件知，DC⊥平面EFCB，

由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得所以当

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz．

设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（从而

设平面AEF的法向量为则

，即

，由

， ，

时，二面角A﹣EF﹣C的大小为60°．

，0，a），B（

，

得，

，取x=1，

，0，0），E（

，3，0），F（0，4，0）．

不妨设平面EFCB的法向量为由条件，得解得

．所以当

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【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．

24．【答案】（1）a22；（2）22a【解析】试题分析：

（1）原问题等价于fx0对0,恒成立，即a2x得a22；

19. 31对0,恒成立，结合均值不等式的结论可x2x2ax10在0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a的（2）由题意可知fxx19取值范围是22a.

3试题解析：

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（2）∵函数fx在0,3上既有极大值又有极小值，

2x2ax10在0,3上有两个相异实根， ∴fxx2即2xax10在0,3上有两个相异实根，

a22或a22a0320a12 ， ，得{记gx2xax1，则{4g0019ag30319即22a.

3

0第 19 页，共 19 页