人教A新版必修1《第5章_三角函数》2019年单元测试卷(有答案)

人教A新版必修1《第5章 三角函数》2019年单元测试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列说法正确的是（ ） A.小于90∘的角是锐角 B.钝角是第二象限的角

C.第二象限的角大于第一象限的角

D.若角𝛼与角𝛽的终边相同，则𝛼＝𝑘𝜋+𝛽，𝑘∈𝑍

2. 下列各角中，终边相同的角是( ) A.3𝜋和240∘

3. cos780∘的值为（ ） A.−

4. 点𝑃(sin3−cos3, sin3+cos3)所在的象限为（ ） A.第一象限

5. sin160∘cos10∘+cos20∘sin170∘＝（ ） A.−

6. 已知𝛽为锐角，角𝛼的终边过点(3, 4)，sin(𝛼+𝛽)=A.

7. 若cos𝛼=−5，𝛼是第二象限的角，则A.−4

8. 已知𝜃∈[0, 𝜋)，若对任意的𝑥∈[−1, 0]．不等式𝑥2cos𝜃+(𝑥+1)2sin𝜃+𝑥2+𝑥>0恒成立，则实数𝜃的取值范围是（ ）

试卷第1页，总18页

3

3

2+3tan

𝛼2𝛼4−tan

2

2

B.−5和314∘

𝜋

C.−9𝜋和9𝜋

729

D.3和3∘

√3 2

B.

√32

C.−

2

1

D. 2

1

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

√3 2

B.2

√3C.−2

1

D.2 1

√2，则cos𝛽＝（ ） 2

√210

7√2 10

3√2 10

B.

√210

C.

7√2 10

D.或的值为（ ）

D.−4

B.2 C.4

A.(, )

12

12𝜋

5𝜋

B.(, )

6

4

𝜋𝜋

C.(, )

4

4

𝜋3𝜋

D.(, )

6

6

𝜋5𝜋

9. 如图所示，用两种方案将一块顶角为120∘，腰长为2的等腰三角形钢板𝑂𝐴𝐵裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为𝑆1，𝑆2，周长分别为𝑙1，𝑙2，则（ ）

A.𝑆1＝𝑆2，𝑙1>𝑙2 B.𝑆1＝𝑆2，𝑙1<𝑙2 C.𝑆1>𝑆2，𝑙1＝𝑙2 D.𝑆1<𝑆2，𝑙1＝𝑙2

10. 已知函数𝑓(𝑥)=cos(sin𝑥)，𝑔(𝑥)=sin(cos𝑥)，则下列说法正确的是（ ） A.𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的定义域都是[−1, 1] B.𝑓(𝑥)为奇函数，𝑔(𝑥)为偶函数

C.𝑓(𝑥)的值域为[cos1, 1]𝑔(𝑥)的值域为[−sin1, sin1] D.𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)都不是周期函数

11. 已知函数𝑓(𝑥)=√5sin(𝜔𝑥−3)(𝜔>0)，若𝑓(𝑥)在区间(𝜋, 2𝜋]内没有零点，则𝜔的取值范围是（ ） A.(0,6)

12. 设𝑓(𝑥)＝𝑎sin2𝑥+𝑏cos2𝑥(𝑎, 𝑏∈𝑅, 𝑎𝑏≠0)，若𝑓(𝑥)≤|𝑓()|对一切𝑥∈𝑅恒成立，

3𝜋

1

𝜋

B.(0,6)∪[3,3)

112

C.(0,6)∪[3,3]

112

D.(0,3)

2

给出以下结论： ①𝑓(12)＝0； ②|𝑓(12)|＝|𝑓(12)|；

③𝑓(𝑥)的单调递增区间是[𝑘𝜋+, 𝑘𝜋+

3𝜋

5𝜋6

5𝜋

11𝜋

𝜋

](𝑘∈𝑍)；

④函数𝑦＝𝑓(𝑥)既不是奇函数也不是偶函数；

⑤存在经过点(𝑎, 𝑏)的直线与函数𝑓(𝑥)的图象不相交．其中正确结论的个数为（ ） A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）

试卷第2页，总18页

已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为________．

3𝜋

若𝛼，𝛽∈(0, )，cos(𝛼−)=

2

2

𝜋

𝛽

𝛼√3，sin(22

−𝛽)=−，则cos(𝛼+𝛽)的值等于________．

2

1

将函数𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥+𝜋)的图象向右平移4个单位后，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则𝑔(4)的值是________．

在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形

围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为𝛼，现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为

14

𝜋

𝜋

，则cos𝛼＝________

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

已知角𝛼的顶点在原点，始边与𝑥轴的非负半轴重合，终边上一点𝑃的坐标是(−1, 2)． （1）求sin𝛼，tan𝛼；

（2）求sin(2𝜋−𝛼)+cos(𝜋+𝛼)；

已知0<𝛼<2，sin𝛼=5． （1）求tan𝛼及sin2𝛼的值；

（2）求cos2𝛼+sin(𝛼+2)的值．

已知函数𝑦=3sin(2𝑥−3)

试卷第3页，总18页

𝜋𝜋

𝜋

4

2sin(𝜋−𝛼)−sin(−𝛼)

𝜋2

（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在[,

6𝜋7𝜋

6

]的图象．（请先列表，再描点，

图中每个小矩形的宽度为12）

（2）请描述上述函数图象可以由函数𝑦＝sin𝑥怎样变换而来？

𝜋

已知函数𝑓(𝑥)＝2√2sin(𝜔𝑥+𝜑)(0<𝜔<2)，|𝜑|<2)的图象过点𝐴(0, √6)，𝐶(3, 0)． （1）求𝜔，𝜑的值；

（2）若𝑓(𝜃)=

（3）若𝑓(𝑥)−𝑚<0在𝑥∈[−4, 3]上恒成立，求实数𝑚的取值范围．

已知函数𝑓(𝑥)＝sin2𝑥+𝑎sin𝑥cos𝑥+𝑏cos2𝑥(𝑥∈𝑅)，且𝑓 (0)＝3，𝑓(6)=（1）求该函数的最小正周期及对称中心坐标；

（2）若方程𝑓(𝑥)=

已知函数𝑓(𝑥)＝𝑥2+2𝑥tan𝜃−1，其中𝜃≠2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍． （1）当𝜃=−6𝑥∈[−1,√3]时，求函数𝑓(𝑥)的最大值与最小值；

𝜋

𝜋

√62

𝜋

5−√32

1

8√2，且𝜃5

𝜋

𝜋

8

∈(−

1023

3

, )，求𝑓(𝜃−1)的值；

．

+2的根为𝛼，𝛽且𝛼−𝛽≠𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，求tan(𝛼+𝛽)的值．

试卷第4页，总18页

（2）函数𝑔(𝑥)=

（3）求𝜃的取值范围，使𝑦＝𝑓(𝑥)在区间[−1,√3]上是单调函数．

𝑓(𝑥)𝑥

为奇函数，求𝜃的值；

试卷第5页，总18页

参与试题解析

人教A新版必修1《第5章 三角函数》2019年单元测试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.

【答案】 B

【考点】

命题的真假判断与应用 【解析】

由锐角的定义可判断𝐴；由钝角和象限角的概念可判断𝐵；由第二象限的角120∘小于第一象限的角390∘，可判断𝐶；运用终边相同的角的形式可判断𝐷． 【解答】

大于0∘而小于90∘的角为锐角，故𝐴错误；

钝角是大于90∘而小于180∘的角，且位于第二象限，故𝐵正确；

第二象限的角不一定大于第一象限的角，比如第二象限的角120∘小于第一象限的角390∘， 故𝐶错误；

若角𝛼与角𝛽的终边相同，则𝛼＝2𝑘𝜋+𝛽，𝑘∈𝑍，故𝐷错误． 2.

【答案】 C

【考点】 终边相同的角 【解析】

通过角度与弧度的互化，逐一分析四个选项得答案． 【解答】 解：𝐴，240∘=

𝜋5

4𝜋3

，不合题意；

𝐵，−=−36∘，314∘−(−36∘)=350∘≠360∘，不合题意； 𝐶，9𝜋−(−9𝜋)=4𝜋，符合题意； 𝐷，3=3×故选𝐶. 3. 【答案】 D

【考点】

运用诱导公式化简求值 【解析】

直接利用诱导公式，转化为[0, 𝜋]间的角的三角函数得答案． 【解答】

180∘𝜋

29

7

≈3×57.3∘=171.9∘，171.9∘−3∘=168.9∘，不合题意.

试卷第6页，总18页

cos780∘＝cos(720∘+60∘)＝cos60∘=．

21

4.

【答案】 D

【考点】

三角函数值的符号 【解析】

由4<3<𝜋，得sin3−cos3>0，sin3+cos3<0，则答案可求． 【解答】 ∵ 4<3<𝜋，

∴ sin3−cos3>0，sin3+cos3<0，

∴ 点𝑃(sin3−cos3, sin3+cos3)所在的象限为第四象限． 5.

【答案】 D

【考点】

两角和与差的三角函数 【解析】

由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值． 【解答】

sin160∘cos10∘+cos20∘sin170∘＝sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘ ＝sin(20∘+10∘)＝sin30∘=2， 6.

【答案】 B

【考点】

两角和与差的三角函数 【解析】

由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sin𝛼和cos𝛼，再利用同角三角函数的基本关系求得cos(𝛼+𝛽)的值，再利用两角差的余弦公式求得cos𝛽＝cos[(𝛼+𝛽)−𝛼]的值． 【解答】

𝛽为锐角，角𝛼的终边过点(3, 4)，∴ sin𝛼=，cos𝛼=，sin(𝛼+𝛽)=

5

5

4

3

√22

1

3𝜋3𝜋

∴ 𝛼+𝛽为钝角，∴ cos(𝛼+𝛽)=−√1−sin2(𝛼+𝛽)=−

√2， 2

√22

则cos𝛽＝cos[(𝛼+𝛽)−𝛼]＝cos(𝛼+𝛽) cos𝛼+sin(𝛼+𝛽) sin𝛼=−7.

【答案】 C

【考点】

二倍角的三角函数

试卷第7页，总18页

⋅5+

3

√24

⋅25

=10，

√2

三角函数的恒等变换及化简求值

【解析】

直接利用三角函数的定义和半角公式的应用求出结果． 【解答】

已知cos𝛼=−，𝛼是第二象限的角，

53

故sin𝛼=，

5

4

所以8.

2+3tan

𝛼2𝛼4−tan

2=

2+3

sin𝛼1+cos𝛼sin𝛼4−

1+cos𝛼

=4

【答案】 A

【考点】

三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】

可设不等式左边为𝑓(𝑥)并化简，求出𝑓(𝑥)的最小值，令其大于0，得到𝜃的取值范围即可． 【解答】

解：设𝑓(𝑥)=𝑥2cos𝜃+(𝑥+1)2sin𝜃+𝑥2+𝑥 =(1+sin𝜃+cos𝜃)𝑥2+(2sin𝜃+1)𝑥+sin𝜃， ∵ 𝜃∈[0, 𝜋)，

∴ 1+cos𝜃+sin𝜃≠0，且其对称轴为𝑥=−2(1+sin𝜃+cos𝜃). ∵ 在[−1, 0]的最小值为𝑓(0)或𝑓(1)或𝑓(−2(1+sin𝜃+cos𝜃))， 𝑓(−1)>0，

𝑓(0)>0，∴

2sin𝜃+1𝑓(−)>0，{2(1+sin𝜃+cos𝜃) cos𝜃>0，即sin𝜃>0， 1{sin2𝜃>2， 0<𝜃<2，

∴ 0<𝜃<𝜋，

𝜋

<𝜃<5𝜋，12{12解得12<𝜃<12. 故选𝐴.

9.

【答案】 A

【考点】 扇形面积公式

试卷第8页，总18页

𝜋

5𝜋𝜋

2sin𝜃+1

2sin𝜃+1

【解析】

分别求出两个扇形的圆心角的弧度数，求出两个扇形的面积与弧长，则答案可求． 【解答】

方案一、∠𝐴=6，𝑂𝐴＝2，则𝑆1=2×6×4=3，𝑙1＝4+6×2=4+3； 方案二、∠𝑂=3𝜋，扇形的半径为𝑂𝐷＝1，则𝑆2=2×3𝜋×12=3，𝑙2=1+1+

2

2

1

2

𝜋

𝜋

1

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋×1=2+3𝜋． 3

∵ 𝑙1−𝑙2=4+−2−𝜋=2−>0．

3

3

3

𝜋

2

𝜋

2

∴ 𝑆1＝𝑆2，𝑙1>𝑙2， 10.

【答案】 C

【考点】

余弦函数的周期性 正弦函数的周期性 余弦函数的定义域和值域 余弦函数的奇偶性 正弦函数的定义域和值域 正弦函数的奇偶性

【解析】

根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【解答】

解：𝐴．𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的定义域都是R，故𝐴错误，

𝐵．𝑓(−𝑥)=cos(sin(−𝑥))=cos(−sin𝑥)=cos(sin𝑥)=𝑓(𝑥)，则𝑓(𝑥)是偶函数，故𝐵错误，

𝐶．∵ −1≤sin𝑥≤1，−1≤cos𝑥≤1，

∴ 𝑓(𝑥)的值域为[cos1, 1]，𝑔(𝑥)的值域[−sin1, sin1]，故𝐶正确，

𝐷．𝑓(𝑥+2𝜋)=cos(sin(𝑥+2𝜋))=cos(sin𝑥)=𝑓(𝑥)则𝑓(𝑥)是周期函数，故𝐷错误. 故选𝐶. 11.

【答案】 B

【考点】

正弦函数的图象 【解析】

𝑓(𝑥)在区间(𝜋, 2𝜋]内没有零点，则{ 𝑘∈𝑍，然后解出𝜔的范围即可． 𝜋

2𝜔𝜋−3<(𝑘+1)𝜋【解答】

∵ 𝑥∈(𝜋, 2𝜋]，𝜔>0，∴ 𝜔𝜋−3<𝜔𝑥−3≤2𝜔𝜋−3， ∵ 𝑓(𝑥)在区间(𝜋, 2𝜋]内没有零点，

试卷第9页，总18页

𝜋

𝜋

𝜋

𝜔𝜋−3≥𝑘𝜋

𝜋

∴ {

𝜔𝜋−≥𝑘𝜋2𝜔𝜋−<(𝑘+1)𝜋

31

𝑘

2

𝜋3𝜋

𝑘∈𝑍，∴ 𝑘+≤𝜔<+，𝑘∈𝑍，

3

2

3

1𝑘2

𝑘+<+42

∵ {𝑘3223 ，∴ −<𝑘<，

33

+>023∴ 𝑘＝−1或𝑘＝0，

当𝑘＝−1时，0<𝜔<6；当𝑘＝0时，3≤𝜔<3． ∴ 𝜔的取值范围为：(0,)∪[,)．

6

33

1

12

1

1

2

12.

【答案】

C

【考点】

三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】

利用辅助角公式化简𝑓(𝑥)，根据𝑓(𝑥)≤|𝑓(3)|可得，𝑎，𝑏的值．然后对个结论依次判断即可． 【解答】

∵ 𝑓(𝑥)＝𝑎sin2𝑥+𝑏cos2𝑥＝±√𝑎2+𝑏2sin(2𝑥+𝜃) 由𝑓(𝑥)≤|𝑓(3)|对一切𝑥∈𝑅恒成立， 可得𝑓(3)为函数𝑓(𝑥)的最大值或最小值，

∴ 2×+𝜃=𝑘𝜋+(𝑘∈𝑍)∴ 𝜃=𝑘𝜋−(𝑘∈𝑍)，

3

2

6

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

∴ 𝑓(𝑥)＝𝑎sin2𝑥+𝑏cos2𝑥＝±√𝑎2+𝑏2sin(2𝑥−)，

6

𝜋

①𝑓()=±√𝑎2+𝑏2sin0=0，故①正确；

12

𝜋

②|𝑓()|=|±√𝑎2+𝑏2sin()|，|𝑓(

12

3

5𝜋2𝜋11𝜋12

)|=|±√𝑎2+𝑏2sin(𝜋+

2𝜋3

)|＝|±

√𝑎2+𝑏2sin(3)|，故②正确；

③由于𝑓(𝑥)的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故③错误； ④显然𝑓(𝑥)不是奇函数也不是偶函数，故④正确；

⑤∵ −√𝑎2+𝑏2≤𝑎≤√𝑎2+𝑏2，−√𝑎2+𝑏2≤𝑏≤√𝑎2+𝑏2， ∴ 不存在经过点(𝑎, 𝑏)的直线与函数𝑓(𝑥)的图象不相交，故⑤错误．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 【答案】 6𝜋

【考点】 扇形面积公式 【解析】

试卷第10页，总18页

2𝜋

先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【解答】

根据扇形的弧长公式可得𝑙＝𝛼𝑟=3×6＝2𝜋， 根据扇形的面积公式可得𝑆=𝑙𝑟=⋅2𝜋⋅6＝6𝜋．

2

2

1

1𝜋

【答案】

1− 2【考点】

两角和与差的三角函数 【解析】 根据题意可得 𝛼−【解答】

∵ 𝛼，𝛽∈(0, 2)，cos(𝛼−2)=

𝛽

𝜋

𝛼

𝜋

𝜋

𝛽

𝛼√3，sin(22

𝛽2

=±，−𝛽=−，由此求得𝛼+𝛽的值，可得cos(𝛼+𝛽)的值．

6

2

6

𝜋𝛼𝜋

−𝛽)=−2，

𝜋

1

∴ 𝛼−2=±6，2−𝛽=−6，∴ 𝛼＝𝛽=3 或𝛼+𝛽＝0（舍去）． ∴ cos(𝛼+𝛽)=−2，

【答案】

0

【考点】

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 【解析】

利用函数𝑦＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律求得𝑔(𝑥)的解析式，可得𝑔()的值．

4𝜋

1

【解答】

将函数𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥+𝜋)的图象向右平移4个单位后， 得到函数𝑔(𝑥)＝sin[2(𝑥−)+𝜋]＝cos2𝑥的图象，

4𝜋

𝜋

则𝑔(4)＝cos(2×4)＝0， 【答案】

√7+1

4【考点】

几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】

根据概率设出大正方形的边长，求得小正方形的边长，继而有勾股定理求得值，放到直角三角形中求出三角函数值即可． 【解答】

由题意，不妨设大正方形的边长为2，则根据条件中的概率可知小正方形的边长为1， 设图中直角三角形的较短直角边为𝑥，则𝑥2+(𝑥+1)2＝4， 解得𝑥=

√7−1， 2

𝜋𝜋

试卷第11页，总18页

所以图中直角三角形中较小锐角的正余弦值cos𝛼=

√7−1+12

2

=

√7+1． 4

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【答案】

∵ 角𝛼的终边过点𝑃(−1, 2)， ∴ |𝑂𝑃|=√5． 则sin𝛼=

2√52√5，tan𝛼＝−2； 5

2sin𝛼−cos𝛼

2tan𝛼−1

−51

=

𝜋2=−sin𝛼−cos𝛼=−tan𝛼−1=sin(2𝜋−𝛼)+cos(𝜋+𝛼)

【考点】

任意角的三角函数 运用诱导公式化简求值

2sin(𝜋−𝛼)−sin(−𝛼)

=−5；

【解析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义求解； （2）利用诱导公式变形，然后化弦为切求解． 【解答】

∵ 角𝛼的终边过点𝑃(−1, 2)， ∴ |𝑂𝑃|=√5． 则sin𝛼=

2√52√5，tan𝛼＝−2； 5

=

𝜋2

2sin(𝜋−𝛼)−sin(−𝛼)sin(2𝜋−𝛼)+cos(𝜋+𝛼)

=

2sin𝛼−cos𝛼−sin𝛼−cos𝛼

=

2tan𝛼−1−tan𝛼−1

=

−51

=−5；

【答案】

∵ 0<𝛼<，sin𝛼=，∴ cos𝛼=√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=，

2

5

5

𝜋

4

3

∴ tan𝛼=

sin𝛼cos𝛼

=，sin2𝛼＝2sin𝛼cos𝛼=2××=

3

5

5

𝜋

3

4432425

；

3

8

cos2𝛼+sin(𝛼+2)＝2cos2𝛼−1+cos𝛼=2×(5)2−1+5=25． 【考点】

二倍角的三角函数 【解析】

（1）由已知求得cos𝛼，再由同角三角函数基本关系式与倍角公式求解； （2）利用诱导公式及倍角公式求解． 【解答】

∵ 0<𝛼<2，sin𝛼=5，∴ cos𝛼=√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=5， ∴ tan𝛼=cos𝛼=3，sin2𝛼＝2sin𝛼cos𝛼=2×5×5=25； cos2𝛼+sin(𝛼+2)＝2cos2𝛼−1+cos𝛼=2×(5)2−1+5=25． 【答案】 因为𝑥∈[6,

𝜋7𝜋

6

𝜋

3

3

8

sin𝛼

4

4

3

24

𝜋

4

3

]，

试卷第12页，总18页

所以2𝑥−∈[0, 2𝜋]．

3𝜋

列表如下： 𝜋5𝜋2𝜋 612 3 𝜋𝜋𝜋 0 2𝑥− 32𝜋𝑦=3sin(2𝑥−) 0 3 0 3𝑥 11𝜋 123𝜋 2−3 7𝜋 62𝜋 0 描点、连线，得出所要求作的图象如下：

把𝑦＝sin𝑥的图象向右平移个单位，可得𝑦＝sin(𝑥−)的图象；

3

3

𝜋

𝜋

再把所得图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得𝑦＝sin(2𝑥−)的图象；

2

3

1𝜋

再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得𝑦＝3sin(2𝑥−3)的图象； 【考点】

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】

（1）利用五点法进行求解作图即可．

（2）由条件根据函数𝑦＝𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，得出结论． 【解答】 因为𝑥∈[6,

𝜋𝜋7𝜋

6

𝜋

]，

所以2𝑥−3∈[0, 2𝜋]． 列表如下： 𝑥 𝜋5𝜋2𝜋11𝜋7𝜋 612 3 12 6 试卷第13页，总18页

𝜋2𝑥− 3𝜋𝑦=3sin(2𝑥−) 0 3 3 0 𝜋 2𝜋 0 3𝜋 2−3 2𝜋 0 描点、连线，得出所要求作的图象如下：

把𝑦＝sin𝑥的图象向右平移个单位，可得𝑦＝sin(𝑥−)的图象；

3

3

𝜋

𝜋

再把所得图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得𝑦＝sin(2𝑥−3)的图象； 再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得𝑦＝3sin(2𝑥−3)的图象； 【答案】

由𝑓(𝑥)过𝐴(0, √6)，得2√2sin𝜑=√6， ∴ sin𝜑=

√3，∵28

𝜋2

𝜋3

𝜋

1𝜋

|𝜑|<，∴ 𝜑=，

8

𝜋

又𝑓(𝑥)过𝐶(3, 0)，∴ 3𝜔+3=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， ∴ 𝜔=−8+

𝜋3𝜋

3𝜋

，𝑘∈𝑍，∵ 0<𝜔<2，∴ 𝜔=4， 8

𝜋4

𝜋𝜋

∴ 𝜑=，𝜔=；

由（1）知，𝑓(𝑥)=2√2sin(𝑥+)，

4

3

𝜋

𝜋

∴ 由𝑓(𝜃)=

𝜋

8√25

，得2√2sin(𝜃+)=

4

3

4

1023

𝜋𝜋

8√2， 5

∴ sin(4𝜃+3)=5，∵ 𝜃∈(−

𝜋

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

𝜋

, 3)，

𝜋

3

∴ 4𝜃+3∈(−2,2)，∴ cos(4𝜃+3)=5， ∴ 𝑓(𝜃−1)=2√2sin(4𝜃−4+3)

𝜋

𝜋

𝜋

试卷第14页，总18页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

=2√2[sin(𝜃+)cos+cos(𝜃+)sin]

434434=2√2(⋅

4√252

−⋅

3√2)52

=；

513

2

𝑓(𝑥)−𝑚<0在𝑥∈[−4, ]上恒成立，只需𝑚>𝑓(𝑥)max， ∵ 𝑥∈[−4, 3]，∴ 4𝑥+3∈[−∴ 当𝑥+=

4

3

𝜋

𝜋

5𝜋121

𝜋

𝜋

2𝜋5𝜋3

,12]，

√6+√24

时，𝑓(𝑥)max=2√2×

=√3+1，

∴ 𝑚>√3+1．

∴ 𝑚的取值范围为(√3+1,+∞)． 【考点】

三角函数的最值 【解析】

（1）根据𝐴(0, √6)，𝐶(3, 0)两点可确定𝜔，𝜑的值；

（2）由（1）知，𝑓(𝑥)=2√2sin(𝑥+)，求出sin(𝜃+)，cos(𝜃+)的值，然后

4

3

4

3

4

3

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

8

根据𝑓(𝜃−1)=2√2[sin(4𝜃+3)cos4+cos(4𝜃+3)sin4]，求出其值即可；

（3）𝑓(𝑥)−𝑚<0在𝑥∈[−4, ]上恒成立，只需𝑚>𝑓(𝑥)max，求出𝑓(𝑥)在𝑥∈[−4, ]

3

3

1

1

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

上的最大值即可． 【解答】

由𝑓(𝑥)过𝐴(0, √6)，得2√2sin𝜑=√6， ∴ sin𝜑=

√3，∵28

𝜋

𝜋

|𝜑|<2，∴ 𝜑=3，

8

𝜋

又𝑓(𝑥)过𝐶(3, 0)，∴ 3𝜔+3=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍， ∴ 𝜔=−+

8𝜋3𝜋

3𝜋8

，𝑘∈𝑍，∵ 0<𝜔<，∴ 𝜔=，

2

4

𝜋4

𝜋𝜋

∴ 𝜑=，𝜔=；

由（1）知，𝑓(𝑥)=2√2sin(4𝑥+3)， ∴ 由𝑓(𝜃)=

𝜋4

8√25

𝜋

𝜋

，得2√2sin(4𝜃+3)=

45

1023

3

𝜋𝜋

8√2， 5

∴ sin(𝜃+)=，∵ 𝜃∈(−

3

𝜋

𝜋

𝜋𝜋

𝜋

𝜋

, )，

𝜋

3

∴ 4𝜃+3∈(−2,2)，∴ cos(4𝜃+3)=5， ∴ 𝑓(𝜃−1)=2√2sin(4𝜃−4+3)

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

=2√2[sin(𝜃+)cos+cos(𝜃+)sin]

434434𝜋

𝜋

𝜋

试卷第15页，总18页

=2√2(⋅

4√252

−⋅

3√2)52

=；

51

2

𝑓(𝑥)−𝑚<0在𝑥∈[−4, 3]上恒成立，只需𝑚>𝑓(𝑥)max， ∵ 𝑥∈[−4, ]，∴ 𝑥+∈[−

3

4

3

1

𝜋

𝜋

2𝜋5𝜋3

,

12

]，

√6+√24

∴ 当4𝑥+3=

𝜋𝜋5𝜋

时，𝑓(𝑥)max=2√2×12

=√3+1，

∴ 𝑚>√3+1．

∴ 𝑚的取值范围为(√3+1,+∞)． 【答案】 由𝑓(0)=3,𝑓()=

6𝜋

5−√32

得：{1

𝑏=3

√3𝑎4

+4+4𝑏=

3

5−√3 ， 2

𝑏=3

解得：{ ，

𝑎=−2

∴ 𝑓(𝑥)＝sin2𝑥−2sin𝑥cos𝑥+3cos2𝑥＝2cos2𝑥−sin2𝑥+1＝cos2𝑥−sin2𝑥+2=√2cos(2𝑥+4)+2，

故函数的最小正周期为2=𝜋． 由2𝑥+=𝑘𝜋+(𝑘∈𝑍)得：𝑥=

4

2

𝑘𝜋

𝜋

𝜋

𝑘𝜋2

2𝜋

𝜋

+(𝑘∈𝑍)；

8𝜋

𝜋

∴ 函数𝑓(𝑥)的对称中心坐标为(2+8,2)(𝑘∈𝑍)． 由题意得：𝑓(𝛼)=𝑓(𝛽)=

𝜋4

𝜋4

√62

+2，可得 cos(2𝛼+4)=cos(2𝛽+4)，

𝜋4

𝜋4

𝜋𝜋

∴ 2𝛼+=(2𝛽+)+2𝑘𝜋，或2𝛼+=−(2𝛽+)+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)， 则𝛼−𝛽＝𝑘𝜋，或𝛼+𝛽=−4+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)． 由𝛼−𝛽≠𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)知：𝛼+𝛽=−4+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)， ∴ tan(𝛼+𝛽)=tan(−4)=−1． 【考点】

三角函数的周期性及其求法 两角和与差的三角函数

【解析】

（1）由题意求出𝑎、𝑏的值，可得𝑓(𝑥)的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论．

（2）先由条件求得𝛼+𝛽的值，可得tan(𝛼+𝛽)的值． 【解答】

𝑏=3𝜋5−√3由𝑓(0)=3,𝑓(6)=2得：{1√335−√3 ，

+𝑎+𝑏=4442𝑏=3

解得：{ ，

𝑎=−2

试卷第16页，总18页

𝜋

𝜋

𝜋

∴ 𝑓(𝑥)＝sin2𝑥−2sin𝑥cos𝑥+3cos2𝑥＝2cos2𝑥−sin2𝑥+1＝cos2𝑥−sin2𝑥+2=√2cos(2𝑥+4)+2，

故函数的最小正周期为2=𝜋． 由2𝑥+4=𝑘𝜋+2(𝑘∈𝑍)得：𝑥=∴ 函数𝑓(𝑥)的对称中心坐标为(由题意得：𝑓(𝛼)=𝑓(𝛽)=

𝜋

𝜋

√62

𝑘𝜋2

𝜋

𝜋

𝑘𝜋2

2𝜋

𝜋

+8(𝑘∈𝑍)；

𝜋8

𝜋

+,2)(𝑘∈𝑍)．

𝜋4

𝜋4

+2，可得 cos(2𝛼+)=cos(2𝛽+)，

𝜋

𝜋

∴ 2𝛼+4=(2𝛽+4)+2𝑘𝜋，或2𝛼+4=−(2𝛽+4)+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)， 则𝛼−𝛽＝𝑘𝜋，或𝛼+𝛽=−+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)．

4𝜋

由𝛼−𝛽≠𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)知：𝛼+𝛽=−4+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)， ∴ tan(𝛼+𝛽)=tan(−)=−1．

4𝜋

𝜋

【答案】

𝜃=−6，𝑓(𝑥)=𝑥2−

𝜋

2√3𝑥3

−1=(𝑥−

√32

)3

−3，

43

4

∵ 𝑥∈[−1,√3]，∴ 𝑥=∴ 𝑥=−1,[𝑓(𝑥)]max=

1

√3,[𝑓(𝑥)]min3

=−⋯

2√3． 3

𝑔(𝑥)=𝑥−𝑥+2tan𝜃，∵ 𝑔(𝑥)为奇函数

∴ 0=𝑔(−𝑥)+𝑔(𝑥)=−𝑥+𝑥+2tan𝜃+𝑥−𝑥+2tan𝜃=4tan𝜃， ∴ tan𝜃＝0，∴ 𝜃＝𝑘𝜋，𝑘∈𝑍． 函数𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥＝−tan𝜃，

∵ 𝑓(𝑥)在区间[−1,√3]上是单调函数，∴ −tan𝜃≤−1或−tan𝜃≥√3

即tan𝜃≤−√3或tan𝜃≥1

∴ −2+𝑘𝜋<𝜃≤−3+𝑘𝜋或4+𝑘𝜋≤𝜃<2+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍 【考点】

二次函数的图象

正弦函数的奇偶性和对称性 三角函数的最值 二次函数的性质

【解析】

（1）利用二次函数的性质求出最大值和最小值即可 （2）结合奇函数的定义建立方程进行求解即可 （3）结合二次函数的单调性的性质进行求解

试卷第17页，总18页

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

1

1

【解答】

𝜃=−，𝑓(𝑥)=𝑥2−

6𝜋

2√3𝑥3

−1=(𝑥−

√32)3

−，

343

4

∵ 𝑥∈[−1,√3]，∴ 𝑥=∴ 𝑥=−1,[𝑓(𝑥)]max=

1

√3,[𝑓(𝑥)]min3

=−⋯

2√3． 3

𝑔(𝑥)=𝑥−𝑥+2tan𝜃，∵ 𝑔(𝑥)为奇函数

∴ 0=𝑔(−𝑥)+𝑔(𝑥)=−𝑥++2tan𝜃+𝑥−+2tan𝜃=4tan𝜃，

𝑥

𝑥

1

1

∴ tan𝜃＝0，∴ 𝜃＝𝑘𝜋，𝑘∈𝑍． 函数𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥＝−tan𝜃，

∵ 𝑓(𝑥)在区间[−1,√3]上是单调函数，∴ −tan𝜃≤−1或−tan𝜃≥√3

即tan𝜃≤−√3或tan𝜃≥1

∴ −+𝑘𝜋<𝜃≤−+𝑘𝜋或+𝑘𝜋≤𝜃<+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍

2

3

4

2

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

试卷第18页，总18页