2019-2020学九年级(上)期中数学试卷(含解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案填涂到答题卡上）

1．（3分）如图，由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么从左面看几何体的平面图形是

( )

A． B． C． D．

2．（3分）若关于x的一元二次方程x22xm0有一个解为x1，则m的值为( ) A．1

B．3

C．3

D．4

3．（3分）下列说法正确的是( ) A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似

4．（3分）如图，点P是线段AB的黄金分割点，APBP，若AB6，则PB的长是(

)

A．3(51)

B．3(51)

C．935 D．635 5．（3分）若关于x的方程kx24x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k4

B．k4

C．k4且k0

D．k4 且k0 6的图象上，则y1、y2、x6．（3分）已知点A(1,y1)、B(2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数yy3的大小关系是( )

A．y3y1y2 B．y1y2y3 C．y2y1y3 D．y3y2y1

7．（3分）某闭合电路中，电源电压为定值，电流I（A）与电阻R()成反比例，如图表示

该电路中电流I与电阻R的函数关系图象．则该电路中某导体电阻为4()，导体内通过的电流为( )

A．1.5（A）

B．6（A）

C．

2（A） 3D．4（A）

8．（3分）某商店原来平均每天可销售某种水果150千克，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出20千克，若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多元？设每千克降价x元，则所列方程是( ) A．(150x)(7x)960 C．(15020x)(7x)960

B．(15020x)(7x)960 D．(150x)(720x)960

9．（3分）对于二次函数y2x21，下列说法中正确的是( ) A．图象的开口向下

C．图象的对称轴为直线x1

B．函数的最大值为1

D．当x0时y随x的增大而减小

10．（3分）如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若CEF的面积为18cm2，则SDGF的值为( )

A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 111．（4分）在ABC中，C90，则sinB，则tanA ．

312．（4分）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明(AB)站在距离电线杆的底部（点O)20m的A处，则小明的影子AM长为 m．

13．（4分）如图．RtABC中，ACB90，CDAB，AC8，BC6，则AD ，CD ．

14．（4分）抛物线yax2b的形状与y2x2的图象的形状相同，开口方向相反，与y轴交于点(0,2)，则该抛物线的解析式为 ． 三、解答题（共分）

15．（12分）（1）解方程：x(2x3)4x6 （2）计算：(1)4272cos30tan60(3)0 16．（6分）化简求值根．

17．（8分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分別为(3,1)、(2,1)． （1）画出OAB绕点O顺时针旋转90后得到的△OA1B1；

（2）在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2:1；

x352x，已知是一元二次方程x3x10的实数(x2)3x26xx2（3）求出△OA2B2的面积．

18．（8分）成都七中育才学校2018年秋季运动会上，学生电视台用无人机航拍技术全程直

播．如图，在无人机的镜头下，观测A处的俯角为30，B处的俯角为45，如果此时无人机镜头C处的高度CD为20米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）

19．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标1k轴上，OA2，OC4，直线y1x3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y22x的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式；

（2）直接写出当y1y2时，x的取值范围；

（3）若点P在y轴上，且OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

20．（10分）如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，EBF的周长等于BC的长． （1）若AB24，BE6，求EF的长； （2）求EOF的度数； （3）若OE6AE的值． OF，求

2CF

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．（4分）已知x1，x2是一元二次方程x22x20150的两根，则

x122x2x1x22016 ． 22．（4分）已知

2bc2ca2ab2k，abc0，将抛物线y2x向右平移k个abc单位，再向上平移2k个单位后，所得抛物线的表达式为 ．对于平移后的抛物线，当

2剟x5时，y的取值范围是 ．

23．（4分）如图，已知点A1、A2、A2018在函数y2x2位于第二象限的图象上，点B1、B2，

，B2018在函数y2x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，，C2018在y轴的正半轴

上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，，C2017A2018C2018B2018都是正方形，则正方形C2017A2018C2018B2018的边长是 ．

24．（4分）如图，矩形ABCD中，

kAB2，点D(1,0)，点A、B在反比例函数y的

xBC图象上，CD与y轴的正半轴交于点E，若E为CD的中点，则k的值为 ．

25．（4分）一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，

BCEF12cm（如图1)，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，此时

线段BH的长是 ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2)，在CGF从（结果保留根号） 0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．

二、解答题（30分）

26．（8分）在信息技术飞速发展的今天，智能手机的使用呈现出低龄化的趋势，中小学生使用智能手机成为十分普遍的现象，但智能手机给生活带来便利的同时，也对中小学生的身心发展带来一些不利影响，比如手机屏幕对视力的伤害、关注各种“垃圾新闻”对时间的浪费、沉迷手机游戏缺少运动、人际交往等等，这些现象引起了家长、学校、社会的广泛关注．对此，成都某中学学生会发出了“中小学生使用非智能手机”的倡议，鼓励同学们全面发展，追逐梦想，把更多时间用在将来能够成就自我的地方．据统计，今年9月该中学使用非智能手机的同学有128人，倡议发出后，11月使用非智能手机的同学上升到了200人． （1）若从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率相同，那么按此增长率增长到12月份该校使用非智能手机的同学将有多少人？

（2）某于机制造商发现当下市场上售卖的非智能手机大多品质不佳、外观设计成就，难以满足市场的需要，所以该厂决定投入12万元全部用于生产A型、B型两款精美的“学生专用手机”投入市场，一部A型手机生产成本为400元，售价为600元；一部B型手机生产成本为600元，售价为930元，该厂计划生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，求生产这批手机并全部售卖后可获得的最大利润． 27．（10分）如图（1），已知点G在止方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为F．

（1）求证：四边形CEGF是正方形并直接写出

AG的值． BE（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转(045)，如图（2）所小，试探究AG与

BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F，三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG6，GH22，求BC的长．

28．（12分）如图（1），O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinAOB交于点D．

（1）求点A的坐标和反比例函数解析式； （2）若

CD5，求点D的坐标； AC94k，OA5，反比例函数y(x0)在第一象限内的图象经过点A，与BC5x（3）在（2）中的条件下，如图（2），点P为直线OD上的一个动点，点Q为双曲线上的一个动点，是否在这样的点P、点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，请把答案填涂到答题卡上）

1．（3分）如图，由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么从左面看几何体的平面图形是

( )

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形． 故选：A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

2．（3分）若关于x的一元二次方程x22xm0有一个解为x1，则m的值为( ) A．1

B．3

C．3

D．4

【分析】把x1代入方程x22xm0得12m0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x1代入方程x22xm0得12m0，解得m3． 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（3分）下列说法正确的是( ) A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两角分别相等的两个三角形相似 D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似

【分析】通过菱形的判定正方形的判定可判断A，B，根据相似三角形的判定可判断C，D． 【解答】解：A．：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A错误

B：对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B错误

C：两角分别相等的两个三角形相似，则C正确

D：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D错误．

故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练运用这些判定解决问题．

4．（3分）如图，点P是线段AB的黄金分割点，APBP，若AB6，则PB的长是(

)

A．3(51)

B．3(51)

C．935 D．635 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值(51)叫做黄金比． 2【解答】解：点P是线段AB的黄金分割点，APPB，若AB6， 则BP6(1故选：C．

【点评】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的概念：较长线段是较短线段与原线段的比例中项．

5．（3分）若关于x的方程kx24x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k4

B．k4

C．k4且k0

D．k4 且k0

51)935． 2【分析】根据根的判别式结合二次项系数非0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出k的取值范围．

【解答】解：方程kx24x10有两个不相等的实数根， k0， 244k0解得：k4且k0． 故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

6．（3分）已知点A(1,y1)、B(2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数yy3的大小关系是( )

6的图象上，则y1、y2、xA．y3y1y2 B．y1y2y3 C．y2y1y3 D．y3y2y1

【分析】利用待定系数法求出y的值即可判断．

【解答】解：点A(1,y1)、B(2,y2)、C(2,y3)都在反比例函数yy16，y23，y33， y3y2y1，

6的图象上， x故选：D．

【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7．（3分）某闭合电路中，电源电压为定值，电流I（A）与电阻R()成反比例，如图表示该电路中电流I与电阻R的函数关系图象．则该电路中某导体电阻为4()，导体内通过的电流为( )

A．1.5（A） 【分析】可设IB．6（A）

C．

2（A） 3D．4（A）

k，由于点(3,2)适合这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R4求R得I的值即可． 【解答】解：设II6． Rk，那么点(3,2)适合这个函数解析式，则k326， R令R4， 解得：I61.5A． 4故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数

关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

8．（3分）某商店原来平均每天可销售某种水果150千克，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出20千克，若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多元？设每千克降价x元，则所列方程是( ) A．(150x)(7x)960 C．(15020x)(7x)960

B．(15020x)(7x)960 D．(150x)(720x)960

【分析】根据“每天利润每天销售质量每千克的利润”即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：设每千克降价x元，根据 题意得：(15020x)(7x)960， 故选：B．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的数量每千克盈利每天销售的利润是解题关键．

9．（3分）对于二次函数y2x21，下列说法中正确的是( ) A．图象的开口向下

C．图象的对称轴为直线x1

B．函数的最大值为1

D．当x0时y随x的增大而减小

【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：二次函数y2x21，a20，

该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,1)，有最小值1，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小；

故选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

10．（3分）如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若CEF的面积为18cm2，则SDGF的值为( )

A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2

【分析】作GHBC于H交DE于M，根据三角形中位线定理得到DE//BC，

DE1BC，证明GDF∽GBC，根据相似三角形的性质、三角形的面积公2式计算．

【解答】解：作GHBC于H交DE于M，

DE是ABC的中位线，

DE//BC，DE1BC， 2F是DE的中点， DF1BC， 4DF//BC， GDF∽GBC，

GMDF1， GHBC4GM1， MH3DFFE，

1SDGFCEF的面积6cm2，

3故选：C．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 111．（4分）在ABC中，C90，则sinB，则tanA

32 ． 4【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，可求出各边的长，代入三角函数进行求解． 1【解答】解：在ABC中，因为C90，sinB，

3设ACk，AB3k，

BCAB2AC2(3k)2k222k，

tanAACk2， BC22k4故答案为：2 4【点评】本题考查了利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 12．（4分）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明(AB)站在距离电线杆的底部（点O)20m的A处，则小明的影子AM长为 5 m．

【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，即

AM1.6， AM208AMAB， AMOA8解得：AM5． 故答案为：5．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．

13．（4分）如图．RtABC中，ACB90，CDAB，AC8，BC6，则AD CD ．

32 ，5

【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后在RTACD中利用勾股定理可求出CD． 【解答】解：AB10，

AC8，BC6，

11SABC6810CD，

22CD24． 532， 5在RTACD中，ADAC2CD2故答案为：

3224、． 55【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握利用三角形面积的表示方法求出CD，难度一般．

14．（4分）抛物线yax2b的形状与y2x2的图象的形状相同，开口方向相反，与y轴交于点(0,2)，则该抛物线的解析式为 y2x22 ．

【分析】根据二次函数yax2b的图象与y2x2的图象形状相同，开口方向相反，得到a2，然后把点(0,2)代入y2x2b求出对应的b的值，从而可得到抛物线解析式．

【解答】解：二次函数yax2b的图象与y2x2的图象形状相同，开口方向相反， a2，

二次函数是y2x2b，

二次函数yax2b经过点(0,2)， b2，

该二次函数的解析式为y2x22；

故答案是：y2x22．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系

式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 三、解答题（共分）

15．（12分）（1）解方程：x(2x3)4x6 （2）计算：(1)4272cos30tan60(3)0

【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和有理数的乘方进行计算，再求出即可．

【解答】解：（1）整理得：2x2x60， (2x3)(x2)0， 2x30，x20， x11.5，x22；

（2）原式1332133331 33．

331 2【点评】本题考查了二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，有理数的乘方，解一元二次方程等知识点，能正确运用知识点进行计算是解此题的关键． 16．（6分）化简求值根．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x23x10，即可求得分式的值． 【解答】解：

x35(x2)

3x26xx2x3(x2)(x2)5 3x(x2)x2x35(x2)，已知x是一元二次方程x23x10的实数23x6xx2x3x2

3x(x2)x29x31

3x(x3)(x3)1，

3x(x3)x23x10， x23x1，

1111． 3x(x3)3(x23x)313【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 17．（8分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分別为(3,1)、(2,1)． （1）画出OAB绕点O顺时针旋转90后得到的△OA1B1；

（2）在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2:1；

（3）求出△OA2B2的面积．

【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）以x轴为分割线，将△OA2B2分成两部分，即可求得△OA2B2的面积． 【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求； （2）如图所示：△OA2B2即为所求； 1（3）△OA2B2的面积5(22)10．

2

【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 18．（8分）成都七中育才学校2018年秋季运动会上，学生电视台用无人机航拍技术全程直播．如图，在无人机的镜头下，观测A处的俯角为30，B处的俯角为45，如果此时无人机镜头C处的高度CD为20米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）

【分析】根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出AD，结合图形计算即可．

【解答】解：由题意得，CAD30，CBD45， 在RtCBD中，CBD45， BDCD20，

在RtCAD中，tanCAD则ADCD203，

tan30CD， AD则ABADBD20320，

答：A、B两点间的距离为(20320)米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

19．（10分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标1k轴上，OA2，OC4，直线y1x3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y22x的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）直接写出当y1y2时，x的取值范围；

（3）若点P在y轴上，且OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

1【分析】（1）由OABC2，将y2代入y1x3求出x2，得出M的坐标，把M2的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）根据图象即可求得；

1（3）将x4代入y1x3求出y1，得出N的坐标，求出四边形BMON的面积，求

2出OP的值，即可求出P的坐标．

【解答】解：（1）OA2，OC4，四边形OABC是矩形， B(4,2)，

1将y2代入y1x3得：x2，

2M(2,2)，

把M的坐标代入y2k得：k4， x4； x反比例函数的解析式是y

（2）当y1y2时，x的取值范围是0x2或x4；

（3）把x4代入y即CN1，

4得：y1， xS四边形BMONS矩形OABCSAOMSCON

114222414，

221由题意得：OPAM4，

2AM2，

OP4，

点P的坐标是(0,4)或(0,4)．

【点评】本题考查了反比例函数综合题，利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．

20．（10分）如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，EBF的周长等于BC的长． （1）若AB24，BE6，求EF的长； （2）求EOF的度数； （3）若OE6AE的值． OF，求

2CF

【分析】（1）设BFx，则FC24x，根据EBF的周长等于BC的长得出EF18x，RtBEF中利用勾股定理求出x的值即可得；

（2）在FC上截取FMFE，连接OM．首先证明EOM90，再证明OFEOFM(SSS)即可解决问题；

（3）证明FOCAEO，结合EAOOCF45可证AOE∽CFO，根据相似三角形的性质得到得

OEAEAO6，于是得到结论． OFCOCF2【解答】解：（1）设BFx，则FCBCBF24x， BE6，且BEBFEFBC，

EF18x，

在RtBEF中，由BE2BF2EF2可得62x2(18x)2， 解得：x8， 则EF18x10；

（2）如图，在FC上截取FMFE，连接OM，

CEBF的周长BEEFBFBC，则BEEFBFBFFMMC， BEMC， O为正方形中心，

OBOC，OBEOCM45，

在OBE和OCM中， OBOCOBEOCM， BECMOBEOCM(SAS)， EOBMOC，OEOM，

EOBBOMMOCBOM，即EOMBOC90，

在OFE与OFM中，

OEOMOFOF， EFMFOFEOFM(SSS)，

1EOFMOFEOM45．

2

（3）证明：由（2）可知：EOF45， AOEFOC135， EAO45，

AOEAEO135， FOCAEO，

EAOOCF45， AOE∽CFO．



OEAEAO6， OFCOCF266CF， OC，AO22AEAOCO，

663CFCF， 222AE3． CF2AE【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．（4分）已知x1，x2是一元二次方程x22x20150的两根，则x122x2x1x22016 2018 ．

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x1x22，x1x22015，

x122x120150，

x122x12015，

原式2x12x22015x1x22016

4201520152016

2018，

故答案为：2018

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

22．（4分）已知

2bc2ca2ab2k，abc0，将抛物线y2x向右平移k个abc单位，再向上平移2k个单位后，所得抛物线的表达式为 y2(x1)22 ．对于平移后的抛物线，当2剟x5时，y的取值范围是 ．

【分析】由已知可得：a2bkc，b2cka，c2akb；三式相加，即可求得k的值，然后平移的规律求得平移后的解析式，计算出当x2和x5对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：由

2bc2ca2abk得： abca2bkc；① b2cka；② c2akb；③

①②③得：

k(abc)a2bb2cc2aabc(2a2b2c)(abc)； abc0， k1．

将抛物线y2x2向右平移k个单位，再向上平移2k个单位后，所得抛物线的表达式为

y2(x1)22；

抛物线的顶点(1,2)，对称轴为直线x1，

当x2时，y2(21)2216， 当x5时，y2(51)2270，

当2剟x5时，函数值y的取值范围为16剟x70；

故答案为y2(x1)22，16剟x70．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

23．（4分）如图，已知点A1、A2、A2018在函数y2x2位于第二象限的图象上，点B1、B2，

，B2018在函数y2x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，，C2018在y轴的正半轴

上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，，C2017A2018C2018B2018都是正方形，则正方形C2017A2018C2018B2018的边长是 10092 ．

【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．

【解答】解：OAC11B1是正方形， OB1与y轴的夹角为45， OB1的解析式为yx，

yx联立方程组得：， 2y2x1x2x02解得1，．

y011y2211B点的坐标是：(，)，

221122； OB1()2()212222同理可得：正方形C1A2C2B2的边长C1B222； 2

依此类推，正方形C2017A2018C2018B2018的边长是为2018故答案为10092．

【点评】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 24．（4分）如图，矩形ABCD中，

kAB2，点D(1,0)，点A、B在反比例函数y的

xBC210092． 2图象上，CD与y轴的正半轴交于点E，若E为CD的中点，则k的值为 35 ． 2

【分析】根据点D(1,0)可得OD的长；由矩形ABCD，

AB2，E为CD的中点，可得出BCADDEECBC，进而证明三角形全等，得出AMOD1，MDOE，由E为CD的

中点，OE//CN，可得ONOD1，CN2OE，设DM的长为a，进而表示点A和点B的坐标，根据都在反比例函数的图象上，列出方程求出a的值，进而求出k的值． 【解答】解：矩形ABCD

ABBCCDDA，ABCBCDCDADAB90，

E为CD的中点，

AB2， BCDEECADBC，

点D(1,0)， OD1，

易证AMDDOE(AAS) AMOQ1，MDOE，

设MDa，则OEa，

E为CD的中点，OE//CN，

CN2a，ODON1，

由ABPDCN得BPCN2a， A(a1,1)，B(a1,2a1)

点A、B在反比例函数ya1(1a)(2a1)k，

k

的图象上， x

解得：a1515，a（舍去） 221535， 122ka1故答案为35， 2

【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，以及一元二次方程等知识，方程思想和函数思想得到充分的应用，表示出点A点B的坐标是正确解答的关键．

25．（4分）一副含30和45角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，

BCEF12cm（如图1)，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，此时

线段BH的长是 (12312)cm ．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图（结果保留2)，在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长共为 ．根号）

【分析】如图1中，作HMBC于M，设H在RMCMa．tBHMBM3a，根据BMMFBC，可得

中，BH2HM2a，

3aa12，推出a636，推出

BH2a12312．如图2中，当DGAB时，易证GH1DF，此时BH1的值最小，

易知BH1BKKH1333，当旋转角为60时，F与H2重合，易知BH263，观察图象可知，在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长2HH1HH2，由此即可解决问题．

【解答】解：如图1中，作HMBC于M，设HMa，则CMHMa．

在RtABC中，ABC30，BC12， 在RtBHM中，BH2HM2a，BM3a， BMFMBC，

3aa12，

a636， BH2a12312．

如图2中，当DGAB时，易证GH1DF，此时BH1的值最小，易知

BH1BKKH1333，

HH1BHBH19315，

当旋转角为60时，F与H2重合，易知BH263，

观察图象可知，在CGF从0到60的变化过程中，点H相应移动的路径长2HH1HH218330[63(12312)]12318．

故答案为(12312)cm，(12318)cm．

【点评】本题考查轨迹、旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点H的运动轨迹，属于中考常考题型． 二、解答题（30分）

26．（8分）在信息技术飞速发展的今天，智能手机的使用呈现出低龄化的趋势，中小学生使用智能手机成为十分普遍的现象，但智能手机给生活带来便利的同时，也对中小学生的身心发展带来一些不利影响，比如手机屏幕对视力的伤害、关注各种“垃圾新闻”对时间的浪费、沉迷手机游戏缺少运动、人际交往等等，这些现象引起了家长、学校、社会的广泛关注．对此，成都某中学学生会发出了“中小学生使用非智能手机”的倡议，鼓励同学们全面发展，追逐梦想，把更多时间用在将来能够成就自我的地方．据统计，今年9月该中学使用非智能手机的同学有128人，倡议发出后，11月使用非智能手机的同学上升到了200人． （1）若从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率相同，那么按此增长率增长到12月份该校使用非智能手机的同学将有多少人？

（2）某于机制造商发现当下市场上售卖的非智能手机大多品质不佳、外观设计成就，难以满足市场的需要，所以该厂决定投入12万元全部用于生产A型、B型两款精美的“学生专用手机”投入市场，一部A型手机生产成本为400元，售价为600元；一部B型手机生产

成本为600元，售价为930元，该厂计划生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，求生产这批手机并全部售卖后可获得的最大利润． 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得使用非智能手机的同学平均增长率相同；再由增长率求出到12月份该校使用非智能手机的同学数．

（2）设生产A型手机x只，则B型手机y只，列方程求出y与x的关系，再根据生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，列不等式，求出

x的取值范围，用含x的式子表示出总利润w，再根据一次函数的增减性，计算即可．

【解答】解：（1）设从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率为x，依题意得：

128(1x)2200，

解得，x10.2525%，x22.25（舍去），

按此增长率增长，到12月份该校使用非智能手机的同学200(125%)250（人)

答：到12月份该校使用非智能手机的同学有250人． （2）设生产A型手机x只，则B型手机y只，依题意得： 400x600y12000， y2002x， 3因为x，y均为整数，x为3的倍数，

又因为B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍， 即：2x剟y2.3x，

2x剟2002x2.3x， 317， 解得：75厖x69设总利润为W．

W(600400)x(930600)y200x270y 2W200x270(200x)20x000．

3W随x增大而增大，

当x75时，最大利润W55500．

答：生产这批手机A型75台，B型150台，全部售卖后可获得的最大利润为55500元． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，能根据题目中的等量关系式列出方程或不等式是解题的关键．

27．（10分）如图（1），已知点G在止方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为F．

（1）求证：四边形CEGF是正方形并直接写出

AG的值． BE（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转(045)，如图（2）所小，试探究AG与

BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F，三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG6，GH22，求BC的长．

【分析】（1）由GEBC、GFCD结合BCD90可得四边形CEGF是矩形，再由ECG45即可得证；

（2）由正方形性质知CEGB90、ECG45，据此可得

CG2、GE//AB，CE利用平行线分线段成比例定理可得；连接CG，只需证ACG∽BCE即可得； （3）证AHG得∽CHAAGGHAH，设BCCDAD，a知AC2a，由ACAHCH10AGGHAGAH21得AHa、DHa、CH可得a的值． a，由3ACAHACCH33【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形， BCD90，BCA45， GEBC、GFCD， CEGCFGECF90，

四边形CEGF是矩形，CGEECG45，

EGEC，

四边形CEGF是正方形；

（2）②由①知四边形CEGF是正方形， CEGB90，ECG45，



CG2，GE//AB， CEAGCG2， BECE如图，连接CG，

由旋转性质知BCEACG， 在RtCEG和RtCBA中，

CE2CB2、， cos45cos45CA2CG2CGCA2， CECBACG∽BCE，



AGCA2， BECB线段AG与BE之间的数量关系为AG2BE；

（3）CEF45，点B、E、F三点共线， BEC135， ACG∽BCE， AGCBEC135， AGHCAH45， CHAAHG，

AHG∽CHA，



AGGHAH． ACAHCH622AGGH得， ACAH2aAH设BCCDADa，则AC2a，则由2AHa，

3101则DHADAHa，CHCD2DH2a，

332a6AGAH3得， ACCH2a10a3解得：a35，即BC35．

【点评】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

28．（12分）如图（1），O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinAOB交于点D．

（1）求点A的坐标和反比例函数解析式； （2）若

CD5，求点D的坐标； AC94k，OA5，反比例函数y(x0)在第一象限内的图象经过点A，与BC5x（3）在（2）中的条件下，如图（2），点P为直线OD上的一个动点，点Q为双曲线上的一个动点，是否在这样的点P、点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据sinAOB4，OA5，可知点A的坐标，代入解析式求解； 5（2）过点D作DEOB于E，设A由平行四边形的性质可得OABC5，Ca9，CD5a，ACOB9a，OA//BC，由锐角三角函数可求用a表示的点D坐标，代入解析式可求a的

值，即可求点D坐标；

（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AHOB于点H，

sinAOB4，OA5， 5AH4，OH3，

A(3,4)，根据题意得： 4k，可得k12， 3反比例函数的解析式为y12(x0)， x（2）如图2，过点D作DEOB于E，

CD5 AC9设AC9a，CD5a，

四边形OACB是平行四边形

OABC5，ACOB9a，OA//BC， BD55a，AOBDBE， sinDBE4， 5DE44a，BE33a，

OEOBBE36a，

点D(36a,44a)

反比例函数y12(k0)在第一象限内的图象经过点D， x(36a)(44a)12

，aa0（不合题意舍去）

点B(，0)，点D(6,2)，

1 292（3）点D(6,2)，点O(0,0)

直线OD解析式为：y1x 3若以PD为边，则BQ//PD，BQPD，

设BQ解析式为：y1xb， 3190b

323b

2直线BQ解析式为：y13x， 3213yx32

12yx3x解得：y373944 733443739733，) 44441设点P(a,a)，

3Q(PDBQ，

13739927332(a6)2(a2)2()()，

344244a3337337315，或a

444437315735333731173，，)或()

44444444点P(若以PD为对角线，

以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

PD，BQ互相平分

设点Q(a，

12)(a0) a9a6BQ的中点为(，)

42a

619a() a34211， 42924，) 811aBQ的中点为(265P(，)

411【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，锐角函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．