从几个生活实例看数学建模及其应用

从几个生活实例看数学建模及其利用之杨若古兰创作

[内容摘要] 本文通过几个生活中的事例，并应用数学建模，来分析成绩，以便更方便的得出解决成绩的方案.从中通过将数学建模的抽象理论实例化，生动化，我们能够更清楚看出数学在生活中无处不在，无处不必.

[关键词] 数学建模生活数学

数学，作为一门研讨理想世界数量关系和空间方式的科学，与生活是毫不相干的.作为用数学方法解决实际成绩的第一步，数学建模天然有着与数学相当的意义.在各种分歧的领域中，人们不断在应用数学建模来描绘，刻画某种生活规律或者生活景象，以便找到其中解决成绩的最好方案或得到最好结论.例如，应用模拟近似法建模的方法，在社会科学，生物学，医学，经济些学等学科的实践中，来建立微分方程模型.在这些领域中的一些景象的规律性仍是未知的，或者成绩太过复杂，所以在实际利用中总要通过一些简化，近似的模型来与实际情况比对，从而更加容易的得出规律性.

本文通过数学模型在生活中应用的几个例子，来了解，探讨数学模型的相干常识.

一、数学模型的简介

早在进修初等代数的时候，就曾经碰到过数学模型了，例如在三个村庄之间建立一个粮仓，使其到三个村子的距离只和最短.我们可以通过建立方程组和线性规划来解决该成绩.

当然，真实实际成绩的数学建模通常要复杂得多，但是建立数学建模的基本内容曾经包含在解决这类代数利用题的过程中了.那就是：根据建立模型的目的和成绩的布景作出须

要的简化假设；用字母暗示待求的未知量；利用响应的物理或其他规律，列出数学式子；求出数学上的解答；用这个答案解释成绩；最初用实际景象来验证结果.

普通来说，数学模型可以描述为，对于理想世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些须要的简化假设，应用适当的数学工具，得到的一个数学结构.

二、数学模型的意义

1）在普通工程技术领域，数学建模仍然大有效武之地.

2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不成少的工具.

3）数学敏捷进入一些新领域，为数学建模开拓了很多新的处女地.

三、数学建模实例

例1、某饲养场每天投入6元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头60kg重的生猪每天增重2.5kg.目前生猪出售的市场价格为12元/kg，但是猜测每天会降低0.1元，问该场应当什么时候出售如许的生猪？

成绩分析 投入资金可使生猪体重随时间增加，但售价随时间减少，应当存在一个最好的出售时机，使获得利润最大.根据给出的条件，可作出如下的简化假设.

模型假设 每天投入6元资金使生猪的体重每天添加的常数为r（=2.5kg）;生猪出

售的市场价格每天降低常数g（=0.1元）.

模型建立 给出以下记号：t ~ 时间（天）；w ~ 生猪体重;

P ~ 单价（元/kg）; R ~ 出售的收入（元）；Q ~ 纯利润（元）；

C ~ t天投入的资金（元）.

按照假设,

w60rt(r2.5),p12gt(g0.1).又晓得Rpw,C6t,再

考虑到纯利润应扣掉以当前价格（12元/kg）出售60kg生猪的收入，有QRC1260,得到目标函数（纯利润）为

Q(t)(12gt)(60rt)6t720 (1)

其中r=2.5,g=0.1 . 求t(0)使Q(t)最大.

模型求解这是求二次函数最大值成绩，用代数或微分法容易得到

6r30g3tgr （2）

当r=2.5 , g=0.1时，t=40,Q(36)324，即10天后出售，可得最大纯利润324元.

例2、（渔船出海成绩）讨论渔业资本的最大经济效益模型，这里用出海渔船的数量作为控制函数.实际上，打鱼业的具体做法是等渔场中鱼量增加到相当大当前，才派出必定数量的渔船进行捕捞.

模型假设1、渔场鱼量x(t)的天然增加服从logistic规律，单位时间捕捞量h与渔船数量u(t)和渔场鱼量x(t)成反比，在捕捞条件下满足 x(t)f(x)h(u,x)(1)

r ,N同前，

q是每只渔船单位时间（如每天）的捕捞率（绝对于x而言）.u(t)视为连

续变量，非整数部分理解为在时间内进行捕捞.

2、初始时刻渔场鱼量

x(0)很小.在时间0t内不派鱼船出海.t当前出海渔船的数量坚持常数U,即

u(t)的方式为

而，U为待定参数，捕捞期间(t)渔场鱼量x坚持波动.

3、鱼的出售单价为p，每只渔船单位时间（天）的运费为c,通货膨胀率或称扣头率因子为.

te(phcu)，模建模与求解在假设1和3下，单位时间的利润（折合到初始时刻）为

型的目标函数是觉得u(t)控制函数的持久效益，即归纳为如下的泛函极值成绩：

J(u(t))et[ph(u(t),x(t))cu(t)]dt0et[pqx(t)c]u(t)dt0 （6）

xx(t)rx(1)qu(t)xN （7）

因为假设2给出了控制函数u(t)的方式（5），所以（6），（7）可转化为函数极值成绩.

当0t时u0,x(t)容易由方程（7）在初始条件（4）下解出；当t时uU,x(t)要坚持在某一变量不变（假设2），这个常量可由（7）式令x0得到.因而有

,0trt1(K1)ex(t)qUN(1),trN （8）

由x(t)在t时的连续性可以写出

由此可解得

1rln[(K1)(1)]rqU （9）

即u(t)中的两个参数,U中只要一个是的，以下取U为变量，(U)由（9）式确定.

将（5）（8）代入（6）式，目标泛函J(u(t))变成U的函数，记作F（U），则

pqNUer(U)qUc(1b),brpqN

（10）

留意到c,p,q,N的含义，可知无量量纲b是费用—价格比下界（因为渔场鱼量取最大值N）,明显应当有b1,否则成本高于售价，渔船不会出海而且由（10）式可是，效益F(U)为正值的条件是

1qUb0,r

或记作

0Ur(1b)q （11）

*F(U)U用微分法求出在条件（11）下的最大值点为

r28bU*[3b(1b)4qrrr （12）

将（12）的结果代入（9）式即得

*(U*) （13）

U*,*为渔船出海的最好数量与时刻.

例3，景区门票定价模型研讨（从该例开始，仅从表述上说明可用建模来解决）.近年来高涨的门票价格曾经成为我国旅游经济效益增加的制约身分.因为缺乏科学合理门票价格拟定根据，以致于目前我国景区门票定价比较混乱，影响了景区的管理和经济效益.那么，我们可以景区门票价格拟定的各种影响身分出发，在已有的研讨基础上，应用条理分析法，试图构建一种科学合理的景区门票定价模型，则或答应以在将来的研讨工作上起到必定的感化.

例4、高速公路平安行车车距数学模型

目前道路交通平安情势日益严格，在浩繁的交通事故中，以追尾碰撞与超车侧向碰撞事故这两品种型最为罕见.如果能够在事故发生前提醒驾驶员并采纳必定的平安措施，对减少交通事故的发生是非常有效的.汽车防撞预警零碎恰是基于提高车辆的自动平安性来实此刻行车过程中，给驾驶员提供须要的平安装置.车辆防碰撞技术正在不竭成熟和完美.防撞零碎的利用不但可以缩短车辆之间的平安行车距离，还可以实现平安超车，包管高速运转车辆的平安性，提高公路运输效力，促进经济的快速发展.因而，我们可以通过实验或者模拟，来统计各种分歧的数据，应用概率模型，统计回归模型和微分方程模型来综合解决该类成绩.

四、本文总结

由上文则可以看清楚的出数学模型及其应用在生活中的主要性，当然因为文本无限则所举得例子少之又少.数学模型的应用给我们的生活带来了巨大的改变，而且随着科技的发展和社会的进步，数学敏捷地向一些新的领域渗透，构成越来越多的交叉学科，可以猜测在将来的社会发展中数学模型将会据有主导地位.是以，我们有须要去了解，进修并会应用它.

参考文献：

1、《数学模型》（第四版） 作者：姜启源 谢金星 叶 俊

2、景区门票定价模型研讨 作者：高拴成

3、高速公路平安性车车距数学模型的研讨 作者：宋震

4、参考收集地址：