黑龙江省最新2021学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

黑龙江省齐齐哈尔市2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解

析）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.设集合A{x|32x13}，集合B为函数ylg(x1)的定义域，则AA. (1,2) 【答案】B 【解析】 【分析】

解不等式化简集合A的表示，求出函数ylg(x1)的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出AB. [1,)

C. (1,2]

B（）

D. (,1]

B.

【详解】因为32x131x2，所以A{x|1x2}. 又因为函数ylg(x1)的定义域为x1，所以B{x|x1}. 因此AB{x|x1}[1,)，故本题选B.

【点睛】本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.

2.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 ( ) A. 若a>b，则ac2>bc2 B. 若

ab，则a>b cc11 ab11D. 若a2>b2且ab>0，则

abC. 若a3>b3且ab<0，则【答案】C 【解析】

- 1 -

可修改

【分析】

根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证． 【详解】A．若a＞b，则ac＞bc（错），若c=0，则A不成立； B．若

2

2

ab，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立； cc3

3

a01133

C．若a＞b且ab＜0，则（对），若a＞b且ab＜0，则

b0abD．若a＞b且ab＞0，则故选：C．

【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ） A. 48里 【答案】C 【解析】

记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比

B. 24里

C. 12里

D. 6里

2

2

a011（错），若，则D不成立． abb01的等比数列， 21a11612由S6=378，得S6=378，解得：a1=192，∴a51924=12（里）．故选：C．

1212

4.若向量a，b的夹角为A.

 6，且|a|2，|b|=1，则向量a2b与向量a的夹角为（ ） 325B. C. D.

363【答案】A

- 2 -

可修改

【解析】

ab21cos31,aa2ba22ab426，

a2ba24ab4b222414123，设向量a与向量a2b的夹角为，

cos

aa2baa2b63，，故选A. 262235.函数yxlnx的图象大致为（ ）

2A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断． 【详解】解：

fxx2lnxfx，

yfx为偶函数，

yfx的图象关于y轴对称，故排除B，C，

当x0时，y，故排除D，

或者根据，当x0时，yxlnx为增函数，故排除D， 故选：A．

【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．

2 - 3 -

可修改

6.已知alog45，blog23，csin2，则a,b,c 的大小关系为（ ） A. abc

B. cab

C. bca

D.

cba

【答案】B 【解析】 【分析】

根据对数函数的单调性可知a,b都大于1，把log45化成log25后可得a,b的大小，从而可得a,b,c的大小关系.

【详解】因为ylog4x及ylog2x都是0,上的增函数，故

log45log441sin2，log23log221sin2，

又log451log25log25log23，故cab，选B. 2【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.

7.已知四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EF与CD所成角的度数为30°，则EF与AB所成角的度数为（）

A. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 45° C. 60° D. 30°

取BC的中点M,利用三角形中位线定理,可以得到EFM30,EF与AB所成角为运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出MEF的大小，也就能求出EF与ABMEF，

- 4 -

可修改

所成角的度数.

【详解】取BC的中点M连接EM、FM，如下图所示：因为E，F分别是AC，BD的中点，所以有EMAB,EM11AB1,FMCD,FMCD2，因为EF与CD所成角22的度数为30°，所以EFM30，EF与AB所成角的大小等于MEF的度数.

在EFM中，

EMFM12sinMEF1MEF901sinMEF，故本题选sinEFMsinMEF2A.

【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.

8.函数f(x)Acos(x)（其中A0，0，||）的图象如图所示，为了得到2g(x)Asinx的图象，只需把yf(x)的图象上所有的点（）

A. 向右平移C. 向右平移【答案】C 【解析】 【分析】

12个单位长度 B. 向左平移D. 向左平移

12个单位长度

个单位长度 6个单位长度 6- 5 -

可修改

通过图象可以知道：最低点相邻的最低点的坐标为(纵坐标为1，函数的图象与横轴的交点的坐标为(3,0)，与之

7,1)，这样可以求出A和最小正周期，利用余弦型函数最小正周12期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案. 【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为1，函数的图象与横轴的交点的坐标为

7(,0)，与之相邻的最低点的坐标为(,1)，所以A1，设函数f(x)Acos(x)312217T,0,2，把(,0)代T，而的最小正周期为T，则有T41233入函数

f(x)Acos(x)解析式中，得 cos(23)0k所以f(x)cos(2x)sin(2x)sin[2(x)]，而g(x)sin2x，显然由

636f(x)cos(2x)sin(2x)sin[2(x)]向右平移个单位长度得到

6636的6(kZ)26，

g(x)sin2x的图象，故本题选C.

【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.

9.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°，汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度CD为（）

A. 1502m 【答案】D

B. 150m

C. 3002m

D. 300m

- 6 -

可修改

【解析】 【分析】

通过题意可知：DAC30,DBC45,ABC120，设山的高度CDh，分别在

RtDCA,RtDBC中求出AC,BC，最后在BCA中，利用余弦定理，列出方程，解方程

求出h的值.

【详解】由题意可知：DAC30,DBC45,ABC120.

CDAC3h. ACCDBCh. 在RtDBC中，tanDBCBC在RtDCA中，tanDACBCA中，由余弦定理可得：

AC2BC2AB22BCABcosABCh2150h450000h300,h150（舍去），故本题选D.

【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.

10.已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x2，那么不等式

2f(x)10的解集是（）

A. x|0x5 2B. x|x35 或0x 223 或0x25 2C. x|x 【答案】B 【解析】 【分析】

32D. x|x根据奇函数的性质求出yf(x)的解析式，然后分类讨论求出不等式

2f(x)10的解集.

【详解】因为yf(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)0，显然x0是不等式的解集；

- 7 -

可修改

当x0时，2f(x)102(x2)10x3； 25，综上所2当x0时，f(x)f(x)x2,2f(x)102(x2)100x述：不等式2f(x)10的解集是x|x3 或0x25，故本题选B. 2【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解析式是解题的关键.

11.已知数列an的前n项和为Sn，若3Sn2an3n，则a2019（） A. 220191

B. 320196

1C. 220197 8D.

13201910 3【答案】A 【解析】 【分析】

再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列an的通项公式，最后求出a2019，选出答案即可.

【详解】因为3Sn2an3n，所以当n2,nN时，3Sn12an13(n1)，两式相减

化简得：an2an13an12(an11)，而a13，所以数列an1是以

a112为首项，2为公比的等比数列，因此有an1(2)(2)n1an(2)n1，

20191220191，故本题选A. 所以a2019(2)【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.

1,x02f(x)12.已知函数，若方程3mf(x)(2m3)f(x)20有5个解，则m的mex,x0

- 8 -

可修改

取值范围是（） A. (1,)

B. (0,1)(1,)

3C. 1,

2D.

331,, 22【答案】D 【解析】 【分析】

利用因式分解法，求出方程的解，结合函数f(x)的性质，根据题意可以求出m的取值范围. 【详解】3mf(x)(2m3)f(x)20[3f(x)2][mf(x)1]0，

22112，或f(x)，由题意可知：f(0)，由题可知：当x0时，f(x)有23mm31213个解且f(x)有2个解且m ，

m3m21x1x1xx当x0时，f(x)e()，因为f(x)()()f(x)，所以函数f(x)是偶

eeef(x)函数，当x0时，函数f(x)是减函数，故有0f(x)1，函数f(x)是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当x0时有，0f(x)1，所以011m1，综上所述； m33m的取值范围是1,,，故本题选D.

22【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上

13.计算：sin1125tan33________ 【答案】【解析】 【分析】

33 2- 9 -

可修改

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可. 【

详

解

】

sin1125tan33sin(4)tan(8)sin()tan()sintan3333333333. 22【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.

12x,0x1214.已知f(x)，若数列an满足a1，an1fan，则a20等于

71x,1x12________ 【答案】

6 7【解析】 【分析】

根据首项、递推公式，结合函数解析式，求出a2,a3,a4,a5,a6的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出a20的值. 【

详

解

122443a2f(a1)f(),a3f(a2)f(),a4f(a3)f(),

7777773661a5f(a4)f(),a6f(a5)f()，所以数列an是以5为周期的数列，

77776因为20能被5整除，所以a20.

7【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.

215.已知abR，ab0，两圆xy2axa40和xy4by14b0只有一条公切线，则【答案】9

11的最小值为________ a2b2的】

22222a11 7 - 10 -

可修改

【解析】 【分析】

两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出

112的最小值. 2ab22222【详解】xy2axa40(xa)y4，圆心为(a,0)，半径为2；

x2y24by14b20x2(y2b)21，圆心为(0,2b)，半径为1.因为两圆只有一

条公切线，所以两圆是内切关系，即(a0)2(02b)21a24b21，于是有

11a24b2a24b24b2a24b2a2（当且仅当a22b2取5529a2b2a2b2a2b2a2b2等号），因此

112的最小值为9. 2ab【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

16.(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）

【答案】41 【解析】

表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为

- 11 -

可修改

2212241R,R3() ，所以该球形容器的表面积的最小值为4R241 。

2422【点睛】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤

17.已知等比数列an为递增数列，a2a532，a3a412，数列bn满足bnlog2an． （1）求数列bn的通项公式； （2）求数列anbn的前n项和Sn．

n【答案】（1）bnn1（2）Sn(n2)22

【解析】 【分析】

（1）利用等比数列的下标性质，可以由a2a532，得到a3a432，通过解方程组，结合已知可以求出a3,a4的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列an的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列bn的通项公式； （2）利用错位相消法可以求出数列anbn的前n项和Sn． 【详解】解（1）∵an是等比数列 ∴a2a5a3a432 又∵a3a412

由an是递增数列解得a34，a48 且公比q2

n32n1 ∴ana3qbnlog2ann1

n1（2）anbn(n1)2

- 12 -

可修改

Sn0201212Sn021122Sn222(n2)2n2(n1)2n1

(n2)2n1(n1)2n，两式相减得：

n12(n1)2n212n112(n1)2n

(2n)2n2

n∴Sn(n2)22

【点睛】本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.

18.在△ABC中，已知A5,2，B7,3，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：

1顶点C的坐标；

2直线MN的方程．

【答案】（1）C(5,3)；（2）5x2y50． 【解析】

试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标．

（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程． 解：（1）设点C（x，y）， ∵边AC的中点M在y轴上得∵边BC的中点N在x轴上得解得x=﹣5，y=﹣3．

故所求点C坐标是（﹣5，﹣3）． （2）点M的坐标是（0，﹣）， 点N的坐标是（1，0），

- 13 -

=0， =0，

可修改

直线MN的方程是即5x﹣2y﹣5=0．

=，

点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

19.已知向量a3sinx,2cosx，b2cosx,cosx，函数f(x)ab1(xR)．

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f(A)2，C4，

c2，求ABC的面积SABC. 【答案】（1）f(x)的增区间是k【解析】 【分析】

（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数f(x)的单调递增区间；

（2）根据（1）所得的结论和f(A)2，可以求出角A的值，利用三角形内角和定理可以求出角C的值，再运用正弦定理可得出a的值，最后利用三角形面积公式可以求出ABC的面积SABC..

【详解】（1）f(x)ab126,k3，kZ（2）

33 23sinxcosx2cos2x1

3sin2xcos2x

2sin2x

6令2k

22x62k2，kZ

- 14 -

可修改

解得k6xk3

∴f(x)的增区间是k6,k3，kZ

（2）f(A)2sin2A∵0A ∴2A又∵C2 662解得A3

5

412csinAac6 由正弦定理得asinAsinCsinC∴ABC中，B∴SABC116233acsinB62 2242【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.

20.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元

（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数xxN*的函数关系；

（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？ 【答案】（1）y5x19x36，xN*（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元 【解析】 【分析】

（1）运用等差数列前n项和公式可以求出x年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数xxN2*的函数关系；

（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值. 【详解】解：（1）由题意知，x年总收入为100x万元

- 15 -

可修改

x年维护总费用为10(123x)5x(x1)万元.

∴总利润y100x5x(x1)180，xN* 即y5x19x36，xN* （2）年平均利润为

2y365x95 xx∵x0，∴x当且仅当x∴

36362x12 xx36，即x6时取“” xy35 x35万元.

答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润

【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.

21.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF//AB，AB2，

BCEF1，AE6，DE3，BAD60，G为BC的中点．

（1）求证：FG//平面BED； （2）求证：平面BED平面AED. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）取BD中点O，连接OE，OG，利用三角形中位线定理，结合已知，可以证明出四边形OGFE为平行四边形，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理可以证明出FG//平

- 16 -

可修改

面BED；

（2）在ABD中，利用余弦定理可以求出BD的值，利用勾股定理的逆定理可以得

BDAD，由平面AED平面ABCD，利用面面垂直的性质定理，可以得到BD平面

AED，最后利用面面垂直的判断定理可以证明出平面BED平面AED.

【详解】（1）取BD中点O，连接OE，OG，在BCD中，因为G是BC中点 所以OG//DC且OG又因为EF//AB，AB1DC1 2DC，所以EF//OG

且EFOG，即四边形OGFE为平行四边形， 所以FG//OE，又FG平面BED，OE平面BED

FG//平面BED.

（2）在ABD中，AD1，AB2，BAD60 由余弦定理得，BD3 进而由勾股定理的逆定理得BDAD

又因为AED平面ABCD，BD平面ABCD，又因为AED所以BD平面AED

又BD平面BED，所以平面BED平面AED

【点睛】本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面平行的判断定理、面面垂直的性质定理和判定定理，考查了推理论证能力.

22.已知圆M：x2y44，点P是直线l：x2y0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标； （Ⅱ）若

2平面ABCDAD

的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所

- 17 -

可修改

有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB长度的最小值． 【答案】（Ⅰ）有最小值【解析】

试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点P(x,y)是直线l：

；（Ⅱ）

；（Ⅲ）AB

x2y0上的一动点，得x2y，由切线

PA

的长度为23得

0x4y423，解得P(0,0)或P(2222168,)（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆N的55方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：

2b44bb422(2xy4)bxy4y0由，再按b整理：xby24282xy40x0845{2(0,4),,（Ⅲ）先确定直线AB{{解得或，所以圆过定点2xy4y0y4455y5x2b44bb4方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆N方程为xby242222及 圆M：x2y44，相减消去x,y平方项得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx(b4)y124b0，相交弦长即：

AB24d2414441425b28b16b，当时，AB有最小值4645b55511

试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b）， 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°, 所以MP＝02b4b168,)4分 5522AM2AP24，解得

所以P(0,0)或P(（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

- 18 -

可修改

2b44bb4其方程为：xby 24222即(2xy4)bxy4y0

222xy40由{2， 7分

xy24y08x0845解得{或{，所以圆过定点(0,4),,9分

y4455y5x2b44bb4（Ⅲ）因为圆N方程为xby 24222即xy2bx(b4)y4b0①

圆M：x2y44，即xy8y120②

22222②－①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：

2bx(b4)y124b011分

点M到直线AB的距离d相交弦长即：

45b8b16213分

AB24d241444125b28b16464 5b55当b4时，AB有最小值1116分 5考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程

- 19 -