龙门县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙门县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ ） A．a=3

B．a=﹣3

C．a=±3

D．a=5或a=±3

112． 设a，b为正实数，22，(ab)24(ab)3，则logab=（ ）

abA.0

B.1 C.1 D.1或0

【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 3． 下列判断正确的是（ ）

A．①不是棱柱 B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台 4． 已知点M的球坐标为（1，A．（1，

，

）

B．（，

，

），则它的直角坐标为（ ）

C．（，，）

D．（

，，

）

，）

5． 已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

6． 已知函数f（x）=log2（x2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（ ） A．8

B．5

C．9

D．27

7． 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2

8． 下列函数中，为偶函数的是（ ） A．y=x+1

B．y=

C．y=x4

的值为（ ）

D．y=x5

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2xy209． 若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5 B．-4 C.-2 D．3 10．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（ ） A．1

B．

C．

D．

11．从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

12．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A． =0.7x+0.35

B． =0.7x+1

C． =0.7x+2.05

D． =0.7x+0.45

二、填空题

13．fx）+∞）f2）=0，flog8x）定义在R上的偶函数（在[0，上是增函数，且（则不等式（＞0的解集是 ．

14．已知函数f(x)2tanx，则f()的值是_______，f(x)的最小正周期是______.

1tan2x3【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 15．抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4，则点M的横坐标x= ．

x16． 设函数f(x)e，g(x)lnxm．有下列四个命题：

①若对任意x[1,2]，关于x的不等式f(x)g(x)恒成立，则me；

2②若存在x0[1,2]，使得不等式f(x0)g(x0)成立，则meln2；

③若对任意x1[1,2]及任意x2[1,2]，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则meln2； 2④若对任意x1[1,2]，存在x2[1,2]，使得不等式f(x1)g(x2)成立，则me． 其中所有正确结论的序号为 .

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【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.

17．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为 ．

18．已知x是400和1600的等差中项，则x= ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m；

（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（大小，并说明理由．

20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）． （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

），Q=

，R=

，试比较P，Q，R的

（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于

21．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}． （1）若A⊆B，求实数m的取值范围； （2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

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22．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc). （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥BC1； （ 2）求证：AC1∥平面CDB1．

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24．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（1）若函数（2）求函数（3）设函数

在区间的极值；

图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．

（

,是自然对数的底数）.

上是单调减函数,求实数的取值范围；

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龙门县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

2

∴2a﹣1=9或a=9，

2

【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，

当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；

2

当a=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；

∴a=﹣3． 故选：B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．

2． 【答案】B.

232311ab2222 【解析】(ab)4(ab)(ab)4ab4(ab)，故

abab11(ab)24ab4(ab)311，而事实上ab2ab2， 84(ab)8ab2abab(ab)2(ab)2abab∴ab1，∴logab1，故选B.

3． 【答案】C

【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的，

故选：C．

4． 【答案】B

【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z）， ∵点M的球坐标为（1，∴x=sin

cos

=，y=sin

，sin

）， =

，z=cos

=

∴M的直角坐标为（，故选：B．

，）．

【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM

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所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，

5． 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，6． 【答案】C

2

【解析】解：令log2（x+1）=0，得x=0， 22

令log2（x+1）=1，得x+1=2，x=±1， 22

令log2（x+1）=2，得x+1=4，x=

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.

5z23i(3i)(3i)1055z2．

}，

}，

，

}．

则满足值域为{0，1，2}的定义域有： {0，﹣1，﹣{0，1，{0，﹣1，﹣故选：C．

【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．

7． 【答案】C

【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立． 当q≠1时，Sn=

，

}，{0，﹣1，，

}，{0，1，﹣

，

}，{0，﹣1，1，﹣

}，{0，﹣1，1，

}，{0，1，﹣ }，{0，﹣1，1，﹣

则满足这样条件的函数的个数为9．

4222

由S4=5S2得1﹣q=5（1﹣q），（q﹣4）（q﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，

解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．

=

=q，

∴=﹣1或=±2．

故选：C．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．

8． 【答案】C

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【解析】解：对于A，既不是奇函数，也不是偶函数， 对于B，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，

对于C，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），则是偶函数， 对于D，满足f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数， 故选：C．

【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．

9． 【答案】B 【解析】

31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 10．【答案】D

【解析】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），

∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2）， 2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）， 又k+与2﹣互相垂直， ∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=． 故选：D．

【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．

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11．【答案】B

【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互的， 第一次不被抽到的概率为， 第二次不被抽到的概率为， 第三次被抽到的概率是，

∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是

=，

故选B．

12．【答案】A

【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得， =4.5， =3.5． 因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35． 故选A．

【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

二、填空题

13．【答案】 （0，

）∪（，+∞） ．

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2）， 又f（x）在[0，+∞）上为增函数， ∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2， ∴x＞或0＜x＜

．

}

即不等式的解集为{x|x＞或0＜x＜故答案为：（0，

）∪（，+∞）

【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．

14．【答案】3，.

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xk2tanx2tan2xf()tan3【解析】∵f(x)，∴，又∵，∴f(x)的定义域为221tanx331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,

15．【答案】 3 ．

2

【解析】解：∵抛物线y=4x=2px， ∴p=2，

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|=4=x+=4， ∴x=3， 故答案为：3．

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

16．【答案】①②④ 【

解

析】

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17．【答案】 4 ．

222

【解析】解：双曲线x﹣my=1化为x﹣

=1，

22

∴a=1，b=，

∵实轴长是虚轴长的2倍，

22

∴2a=2×2b，化为a=4b，即1=，

解得m=4． 故答案为：4．

【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．

18．【答案】 1000 ．

【解析】解：∵x是400和1600的等差中项， ∴x=

=1000．

故答案为：1000．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

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x

∴g（x）=e．，f（﹣x）=ln（﹣x），

x

则函数的导数g′（x）=e，f′（x）=，（x＜0），

设直线m与g（x）相切与点（x1，则切线斜率k2=

=

），

，则x1=1，k2=e，

=

，则x2=﹣e，k1=﹣，

设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1=故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m． （Ⅱ）不妨设a＞b， ∵P﹣R=g（∵P﹣Q=g（

）﹣）﹣

==

﹣﹣

=﹣

＜0，∴P＜R，

==，

xxxx

令φ（x）=2x﹣e+e﹣，则φ′（x）=2﹣e﹣e﹣＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，

故φ（x）＜φ（0）=0， 取x=

，则a﹣b﹣

⇔

令t（x）=﹣1+则t′（x）=﹣

，

=

≥0，

+

＜0，∴P＜Q， =

=1﹣

则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 故t（x）＞t（0）=0， 取x=a﹣b，则∴R＞Q， 综上，P＜Q＜R，

【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．

﹣1+

＞0，

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20．【答案】

2

【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y=2px， 得4=2p，p=2

2

∴抛物线C的方程为：y=4x，其准线方程为x=﹣1

（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t， 由

2

得y+2y﹣2t=0，

=

，求得t=±1

∵直线l与抛物线有公共点， ∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣ 又∵直线OA与L的距离d=∵t≥﹣ ∴t=1

∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0

思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．

21．【答案】

【解析】解：（1）由A⊆B知：

，

【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程

得m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （2）由A∩B=∅，得： ①若2m≥1﹣m即m≥②若2m＜1﹣m即m＜得0≤m＜

时，B=∅，符合题意； 时，需

，

或

，

或∅，即0≤m＜

综上知m≥0．

即实数m的取值范围为[0，+∞）．

【点评】本题主要考查集合的包含关系判断及应用，交集及其运算．解答（2）题时要分类讨论，以防错解或漏解．

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22．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a23bcc2， 即b2c2a23bc. 3分

b2c2a23 由余弦定理得：cosA，又A(0,)，故A. 6分 62bc21 （Ⅱ） ABC的面积为3，bcsinA3，bc43①， 8分

2 又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分 由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分

23．【答案】

【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴CC1⊥AC…

∵AC=3，BC=4，AB=5，

222

∴AB=AC+BC，∴AC⊥CB …

又C1C∩CB=C，

∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，

∴AC⊥BC1…

（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形， ∴E为C1B的中点…

又D为AB中点，∴AC1∥DE… DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1…

【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．

24．【答案】（1）

（2）见解析（3）

在区间

上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函

【解析】试题分析：（1）由题意转化为

数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数则又

在区间，所以

的导函数在区间

上恒成立，

，

上恒成立，且等号不恒成立，

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记（2）由①当所以函数所以函数②当所以函数所以函数综上可知: 当 当（3）设切点为

时，有

在在时，有

在在

，只需， 即，得

；

单调递增，

，

，解得．

，

单调递减，

，没有极小值．

取得极大值

；

单调递减，取得极小值时，函数时，函数

， 在在

，

单调递增，

，没有极大值． 取得极大值取得极小值

，没有极小值； ，没有极大值． ，

，其在轴上的截距不存在．

则曲线在点处的切线方程为当当

时，切线的方程为时，令

，得切线在轴上的截距为

，

当

时，

，

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当且仅当当

时，

，即或时取等号；

，

当且仅当，即或时取等号.

.

所以切线在轴上的截距范围是

点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求论.

（3）已知极值求参数.若函数反.

在点

处取得极值，则

，且在该点左、右两侧的导数值符号相

→求方程

的根→列表检验

在

的根的附近两侧的符号→下结

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