正余弦定理及解三角形整理

1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a＋b＝c。（勾股定理） A

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sinA＝cosB＝

2

2

2

aba，cosA＝sinB＝，tanA＝。 C B ccb2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a

如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

abc（R为外接圆半径） 2R。

sinAsinBsinCbc3. 正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：

sin Asin Bsin C(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

aabca＋b＋c(2)＝＝＝＝2R； sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C

(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

2R2R2R

111

4. 三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.

222

5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍。

abca2b2c22bccosA222 余弦定理的公式： bac2accosB 或

c2b2a22bacosCb2c2a2cosA2bca2c2b2. cosB2acb2a2c2cosC2ab6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

8. 解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的

运算，

如：sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC, sinABCABCABCcos,cossin,tancot. 2222229. 解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a >

b；

（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。 习题整理： 一．

直接应用，解三角形：

1. 在ABC中，已知a3,b2,B45，解三角形。A=60/120°

2.在ABC中，已知B30,AB23,AC2,求ABC的周长。a=2/4

3.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知B=2A,a=1,b=3,则c=

a＋b＋c4.在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则＝________. 2

sin A＋sin B＋sin C4

**.在△ABC中，若A＝60°,b=1,SABC3,则

a＋b＋c＝________.

sin A＋sin B＋sin C（

239） 32π

5.(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝，则a＝

3

6.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________.63

π

7.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b3的值为________.3

8. （2012年高考（重庆文））设△的内角 的对边分别为,且,则____

9.在中,若,则的形状是

（ ）c

B．直角三角形.

C．锐角三角形.

D．不能确定.

（ ）

D．

（ ）

B．

C．

D．

A．钝角三角形.

10.在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于

A．

11.在中,若,,,则

B． C．

A．

12.在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=,c=2,则b=______ 13.在中,已知,则_______.

14. 【2015高考广东，文5】设C的内角，，C的对边分别为a，b，c．若a2，

c23，cosA．D．3 【答案】B

3，且bc，则b（ ） 23 B．2 C．22

15. 【2015高考福建，文14】若ABC中，AC【答案】2

3，A450，则BC_______． C750，

16. 【2015高考重庆，文13】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且

a2,cosC1,3sinA2sinB,则c=________. 4【答案】4

17. （2016年全国I卷高考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a5，2c2，cosA，则b=

3（A）2（B）3（C）2（D）3 【答案】D

18、（2016年全国II卷高考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA4，5cosC5，a=1，则b=____________. 13【答案】

21 133，则三角形外接圆的半径为

019. 在ABC中，若b2,A120，三角形的面积SA.3 B.2 C.23 D.4

【答案】B

20. ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若a13,b3,A60，则边c（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 二．

变形应用：

2221. 在ABC中，abbcc，则角A等于

a2(bc)21，求角A. 60 2.（教材）已知三角形的三边满足条件

bc

3.【2014年高考江西】在ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，若

c2(ab)26，C3，则ABC的面积为（ ）

A．3 B．【答案】C

9333 C． D．33 222224.在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且abcbc，a=3，S为ABC的面积，则S3cosBcosC的最大值为（ ）

（A）1 （B）31 （C）3 （D）3

【答案】C

b2c2a212，∴A【解析】∵abcbc，∴cosA，

2bc23222设ABC外接圆的半径为R，则2Ra32，∴R1， sinAsin23∴S3cosBcosC13bcsinA3cosBcosCbc3cosBcosC 243sinBsinC3cosBcosC3cos(BC)，故S3cosBcosC的最大值为

3．故选C．

5.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且abcab0．若ABC的面

222积为3c，则ab的最小值为（ ） 2A．24 B．12 C．6 D．4 【答案】D

6.已知a,b,c是ABC的边长，满足(abc)(abc)ab，求C的大小。120

三．边角互化问题：

1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．则B A．

 B． C． D．

4632【答案】C

2.已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC= ． 3.acosAbcosB,试判断三角形的形状。等腰或直角。 4. 在ABC中，A2b,a3c,则 3c5. （2013,辽宁）在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为

1a,b,c.asinBcosCcsinBcosAb,且ab,则B （ ）A

225A． B． C． D．

6336

6. （2011）（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=2a则

ba （ ）D (A) 23 (B) 22 (C) 3 (D)2

7．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.

(1)求角B的大小;60°

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.3,23

8. 在ABC中，2acosAccosBbcosC,求cosA=?12

9.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

(1)求cosA;（13）

(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c. (2,3)(3,2)

10. ABC的周长为4(21)，且sinBsinC2sinA

(1)求边长a的值. 4

(2)若SABC3sinA,求COSA的值。 （13）

11.（2016年天津高考）在ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知

asin2B3bsinA.

(Ⅰ)求B； (Ⅱ)若cosA1，求sinC的值. 3ab，可得asinBbsinA，又由sinAsinB3，得2解析：（Ⅰ）解：在ABC中，由

asin2B3bsinA得2asinBcosB3bsinA3asinB，所以cosBB6；

（Ⅱ）解：由cosA221得sinA，则sinCsin[(AB)]sin(AB)，所以

3331261sinAcosA 226sinCsin(A6)12.（2016年四川高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。 （I）证明：sinAsinB=sinC； （II）若，求tanB。

解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设

abck(k0) sinAsinBsinC则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC. 代入

cosAcosBsinC中，有 abccosAcosBsinC，可变形得

ksinAksinBksinAsin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C， 所以sin A sin B=sin C. （Ⅱ）由已知，b+c–a=

2

2

2

6bc，根据余弦定理，有 5b2c2a23cosA.

2bc5所以sin A=1cos2A4. 5由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B， 所以

四．综合应用：

1.【2015高考陕西，文17】向量m(a,3b)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，与n(cosA,sinB)平行.

(I)求A； (II)若asinB443sin B=cos B+sin B，故tan B==4.

cosB5557,b2求ABC的面积.

(I)因为m//n，所以asinB3bcosA0

由正弦定理，得sinAsinB3sinBcosA0， 又sinB0，从而tanA由于0A 所以A3，

3

(II)解法一：由余弦定理，得

a2b2c22bccosA，而a7,b2，A得74c22c，即c22c30 因为c0，所以c3， 故ABC面积为

3，

133. bcsinA222.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为315,bc2,cosA（I）求a和sinC的值;

1, 4（II）求cos2Aπ 的值. 61511, 由bcsinA315,得bc24, ,得sinA442ac ,sinAsinC试题解析:（I）△ABC中,由cosA又由bc2,解得b6,c4. 由a2b2c22bccosA ,可得a=8.由

得sinC（

15. 8II

）,

πππ3cos2Acos2Acossin2Asin2cos2A1sinAcosA6662157316

3.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边，sin2B2sinAsinC. （I）若ab，求cosB; （II）若B90，且a2, 求ABC的面积.

2ac.

试题解析：（I）由题设及正弦定理可得b2又ab，可得b2c,a2c,

a2c2b22ac1. 4由余弦定理可得cosB（II）由(1)知b2因为B故a22ac.

c2b2.

90°，由勾股定理得a2c22ac，得ca2.

所以ABC的面积为1.

4. (重庆卷) △ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,，且abc3bc， （1） 求角A， 150°

222（2） 设a3,S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时的角B

的值。 3,15°。