2005年桂林市中考数学试题、试卷(解析版、课标卷)

一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分） 1．2005的相反数是 _________ ．

2．分解因式：a2﹣4= _________ ．

3．如果∠α=55°，那么它的余角为 _________ 度．

4．我市今年第一季度金融运行平稳，据统计，截止到三月末，全市金融机构各项存款金额达48 946 000 000元，用科学记数法表示 _________ 元． 5．函数y=

中的自变量x的取值范围是 _________ ．

6．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=1.5，则BC= _________ ．

7．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣1时，则输出的数值为 _________ ．

8．如图，已知⊙O的半径OA=5，弦AB的弦心距OC=3，那么AB= _________ ．

9．一个口袋中装有5个白球，1个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白球的概率是 _________ ．

10．已知任意直线l把▱ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在位置需满足的条件是 _________ ．

11．在我市2008年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送往组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是= _________ 米．（精确到0.01米）

成绩（单位：米）1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90

1 人数 2 3 2 3 1

12．如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送20cm至B时，那么这个转动轮转了 _________ 度（π取3.14，结果保留四个有效数字）．

二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 13．（3分）下列运算中正确的是（ ） A． a 4•a2=a2 B．（ 3a）2=6a2 C． a5﹣a2=a3 14．（3分）（2008•衡阳）如图所示的几何体的主视图是（ ）

D． 6a﹣2a=4a

A．

15．（3分）（2009•德城区）把不等式组： A．

B．

的解集表示在数轴上，正确的是（ ）

C．

D．

B．

C．

D．

16．（3分）下列四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形有可能与右边残缺的图形拼成一个梯形（ ）

A．

B．

C．

D．

17．（3分）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）

A． 6 5° B．7 0° C．7 5° D．8 0° 18．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A． 小红每天上学能见到同班同学小颖 B． 打开电视机，正在播少儿节目 C． 明年桂林会下雨 D． 他坚持锻炼身体，今后会成为飞行员 19．（3分）李明从镜子里看到自己身后的一个液晶屏幕上显示的数字58，请问液晶屏幕上显示的数实际是（ ） A． 58 B． 85 C． 28 D． 82 20．（3分）（2007•朝阳区）如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

三、解答题（共8小题，满分72分） 21．（6分）计算：0.25×（）2﹣（

﹣

）0+tan60°．（结果保留根号）

22．（6分）化简求值：

，其中x=2，y=﹣1．

23．（8分）已知：如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD． 求证：（1）AD=BC； （2）S△AOC=S△BOD．

24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值． 25．（10分）小明和小芳同时从张庄出发，步行15千米到李庄，小芳步行的速度是小明步行速度的1.2倍，结果比小明早到半小时．

（1）设小明每小时走x千米，请根据题意填写下表：

每小时走的路程（千米） 走完全程的时间（小时） 小明 x 小芳

（2）根据题意及表中所得到的信息列方程，求二人每小时各走几千米？ 26．（10分）我国是人口众多的国家，农村劳动力人数有4.8亿，农民是农业生产和经济建设的重要载体，是我国重要的人力资源，农民科技文化素质的高低不仅影响到农民的生活、农业的发展水平，而且还关系到我们国家建设小康社会的进程．从目前来看，我国农民的科技水平还不是很高．在农村4.8亿的劳动力中，小学文化程度以下的占40%，具有初中文化程度的占48%，具有高中文化程度的占12%，受过职业技术培训的占5%．请根据上面的数据信息解答下列问题：

（1）填写农民受教育情况表．

农民受教育情况表 文化程度 人数（亿） 小学以下 初中文化 高中文化 受过职业技术培训 （2）根据农民受教育情况表画出条形统计图．

（3）从农民受教育情况看，你有哪些积极的建议？（写出一条建议）

27．（12分）已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部． （1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连接AB1，请在∠MON内部作出以AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D．求证：△ACQ∽△AB1D； （3）连接CC1，试猜想∠ACC1为多少度？并证明你的猜想．

28．（12分）已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=

x2+

上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于

点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC．

（1）求证：△BDC是等腰三角形； （2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；

（3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上？请说明理由．

2005年广西桂林市中考数学试卷（课标卷）

参与试题解析

一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分） 1．2005的相反数是 ﹣2005 ．

考点： 相反数．

分析： 根据相反数的定义求解即可．

解答： 解：根据概念2005的相反数是﹣2005．

点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个

负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．分解因式：a2﹣4= （a+2）（a﹣2） ．

考点： 因式分解-运用公式法．

分析： 有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开． 解答： 解：a2﹣4=（a+2）（a﹣2）．

点评： 本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

3．如果∠α=55°，那么它的余角为 35 度．

考点： 余角和补角． 专题： 计算题．

分析： 相加等于90°的两角称作互为余角，也作两角互余，即一个角是另一个角的余角．因而，求这个角的余角，

就可以用90°减去这个角的度数．

解答： 解：90°﹣55°=35°．

故填35．

点评： 本题考查了余角的定义，互余是反映了两个角之间的关系即和是90°．

4．我市今年第一季度金融运行平稳，据统计，截止到三月末，全市金融机构各项存款金额达48 946 000 000元，用科学记数法表示 4.46×1010 元．

考点： 科学记数法—表示较大的数． 专题： 应用题．

分析： 科学记数法就是将一个数字表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数． 解答： 解：48 946 000 000=4.46×1010元．

故填4.4 6×1010．

点评： 把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：

（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；

（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．

5．函数y=中的自变量x的取值范围是 x≠1 ．

考点： 函数自变量的取值范围；分式的定义；分式有意义的条件．

分析： 该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣1≠0，解得x的范围．

解答： 解：根据题意得：x﹣1≠0

解得：x≠1．

点评： 本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．

6．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=1.5，则BC= 3 ．

考点： 三角形中位线定理．

分析： 由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求BC． 解答： 解：∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF=1.5

∴EF是△ABC的中位线 ∴BC=2EF=2×1.5=3． 故答案为3．

点评： 本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行

于第三边且等于第三边的一半．

7．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣1时，则输出的数值为

1 ．

考点： 代数式求值． 专题： 压轴题；图表型．

分析： 由题意知，计算过程可以表示为：﹣3x﹣2，然后代入x的值计算． 解答： 解：根据程序，计算过程可以表示为：﹣3x﹣2，

∴当x=﹣1时，原式=3﹣2=1，故本题答案为：1．

点评： 此类题一定要能正确表示出代数式，然后代入具体值计算．

8．如图，已知⊙O的半径OA=5，弦AB的弦心距OC=3，那么AB= 8 ．

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 根据勾股定理可得弦长的一半，再根据垂径定理即可求得． 解答：

解：根据题意AC===4，

∴AB=2AC=8．

点评： 此题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握并应用是解题的关键．

9．一个口袋中装有5个白球，1个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白球的概率是

．

考点： 概率公式．

分析： 让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．

解答： 解：∵一个口袋中装有5个白球，1个红球，6个黄球，

∴随机从袋中摸出1个球是白球的概率是=．

点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P

（A）=．

10．已知任意直线l把▱ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在位置需满足的条件是 经过对角线的交点 ．

考点： 平行四边形的性质；中心对称．

分析： 由于平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，因而过对角线的交点的直线就能把平行四边

形分成全等的两部分，这两部分的面积也就相等了．

解答： 解：∵平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，

因而过对角线的交点的直线就能把平行四边形分成全等的两部分． 故填经过对角线的交点．

点评： 本题利用了平行四边形是中心对称图形来求解．

11．在我市2008年的一次中学生运动会上，参加男子跳高比赛的有17名运动员，通讯员在将成绩表送往组委会时不慎被墨水污染掉一部分（如下表），但他记得这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员．根据这些信息，可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩是= 1.69 米．（精确到0.01米）

成绩（单位：米）1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90

1 人数 2 3 2 3 1

考点： 加权平均数；众数． 专题： 压轴题；图表型．

分析： 根据已有12人的成绩，且这组运动员的成绩的众数是1.75米，表中每个成绩都至少有一名运动员，可知成

绩为1.75的有4人，成绩为1.80的有1人，根据这些信息，就可以计算出这17名运动员的平均跳高成绩．

解答： 解：根据题意可知，成绩为1.75的有4人，成绩为1.80的有1人，

所以这17名运动员的平均跳高成绩是=（1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80+1.85+1.90）÷17≈1.69米．

故填1.69．

点评： 本题考查了加权平均数的计算方法．若n个数x1，x2…xn的权分别是w1，w2…那么这组数的平均数为

，公式适用范围：当数据x1，x2…xn中有一些值重复出现时，

适宜运用加权平均数公式．

12．如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送20cm至B时，那么这个转动轮转了 约57.32（提示：轮子转过的角度所对的弧长与线段AB的长相等） 度（π取3.14，结果保留四个有效数字）．

考点： 弧长的计算． 专题： 压轴题．

分析： 根据轮子转过的角度所对的弧长与线段AB的长相等可得． 解答：

解：20=，

解得n=57.32°．

点评： 此题的关键是理解轮子转过的角度所对的弧长与线段AB的长相等，然后利用弧长公式求值即可．

二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 13．（3分）下列运算中正确的是（ ） A． a 4•a2=a2 B． C． D． 6a﹣2a=4a （3a）2=6a2 a5﹣a2=a3

考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．

分析： 根据同类项的定义、合并同类项的法则及积的乘方法则进行逐一计算即可． 解答： 解：A、C不是同类项，不能合并；

B、（3a）2=9a2； D、正确． 故选D．

点评： 本题用到的知识点为：

同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加．积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变，不是同类项的一定不能合并．

14．（3分）（2008•衡阳）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A．

B．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从正面看所得到的图形即可．

解答： 解：从正面看可得到左边只有1个，中间是2个正方形，右边也是1个正方形，故选A．

点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的

C． D．

选其它选项．

15．（3分）（2009•德城区）把不等式组： A．

B．

的解集表示在数轴上，正确的是（ ）

C．

D．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 专题： 压轴题．

分析： 分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可． 解答： 解：解不等式①，得x＞﹣1，

解不等式②，得x≤1，

所以不等式组的解集是﹣1＜x≤1． 故选B．

点评： 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画．＜，≤向左

画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示．“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．

16．（3分）下列四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形有可能与右边残缺的图形拼成一个梯形（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 梯形．

分析： 根据只有一组对边平行的四边形是梯形，则根据同旁内角互补，两条直线平行的方法选择． 解答： 解：根据梯形的性质可知：与62°角互补的角为180°﹣62°=118°

与50°角互补的角为180°﹣50°=130° 故选C．

点评： 考查了梯形的概念和平行线的判定方法． 17．（3分）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）

65° 70° 75° 80° A． B． C． D．

考点： 圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质；圆周角定理． 专题： 计算题．

分析： 先用两直线平行，内错角相等和圆周角定理求出∠A和∠B，再运用在同圆工等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可得．

解答： 解：连接BE，OE，

∵AE∥CD

∴∠A=∠AOC=50°， ∵AB是直径，

∴∠E=90°，∠B=40°，

∴∠AOE=80°，即弧AE的度数为80°． 故选D．

点评： 本题利用了两直线平行，内错角相等和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半．

18．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A． 小红每天上学能见到同班同学小颖 B． 打开电视机，正在播少儿节目 C． 明年桂林会下雨 D． 他坚持锻炼身体，今后会成为飞行员

考点： 随机事件．

分析： 找到到一定发生的事件，即发生的概率是1的事件的选项即可． 解答： 解：A，B，D选项选项为不确定事件，即随机事件，故错误．

一定发生的事件只有C：明年桂林会下雨． 故选C．

点评： 关键是理解必然事件是一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方

法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．

19．（3分）李明从镜子里看到自己身后的一个液晶屏幕上显示的数字58，请问液晶屏幕上显示的数实际是（ ） A． 58 B． 85 C． 28 D． 82

考点： 镜面对称． 专题： 压轴题．

分析： 根据镜面对称的性质，或根据生活常识解答．

解答： 解：一个在镜子上看到的数字是58，那么真实数字应该是将此数字反转为：82．故选D． 点评： 注意此类问题的特点，掌握镜面对称的性质． 20．（3分）（2007•朝阳区）如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 动点问题的函数图象；二次函数的图象． 专题： 压轴题；动点型．

分析： 利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案．

解答： 解：根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x（5﹣x）=5x﹣x2；且x≤3，当x从0变化到2.5时，y逐渐

变大，

当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小， 到达C之后，y=3（5﹣x）=15﹣3x，x＞3， 根据二次函数和一次函数的性质． 故选：A．

点评： 利用一次函数和二次函数的性质，结合实际问题于图象解决问题．

三、解答题（共8小题，满分72分）

21．（6分）计算：0.25×（）2﹣（

﹣）0+tan60°．（结果保留根号）

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析：

==4；任何不等于0的数的0次幂都等于1；tan60°=

．

解答： 解：原式=0.25×4﹣1+

=1﹣1+ =．

点评： 考查的知识点：特殊角的三角函数值；负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

22．（6分）化简求值：

，其中x=2，y=﹣1．

考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．

分析： 本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算． 解答：

解；原式=

=x+y（4分）

当x=2，y=﹣1时， 原式=2﹣1=1．（16分）

点评： 做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分

解，然后约分．

23．（8分）已知：如图，∠CAB=∠DBA，AC=BD． 求证：（1）AD=BC；

（2）S△AOC=S△BOD．

考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．

分析： 先根据SAS判定△CAB≌△DBA，根据全等三角形的对应边相等可得到AD=BC；

先根据AAS判定△CAO≌△DBO，全等三角形的面积相等，从而得出了结论S△AOC=S△BOD．

解答： 证明：（1）∵∠CAB=∠DBA，AC=BD，AB=AB，

∴△CAB≌△DBA． ∴AD=BC．

（2）∵△CAB≌△DBA， ∴∠C=∠D．

∵AC=BD，∠COA=∠DOB， ∴△CAO≌△DBO．

∴S△AOC=S△BOD．

点评： 此题考查了学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，并且利用了全等三角形的面积相等这一性质．

24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣6x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求常数m的值．

考点： 根的判别式． 专题： 计算题．

分析： （1）根据题意知△=b2﹣4ac≥0，从而求出k的取值；（2）根据题意和（1）知当k=9时，方程有相同的根，

然后求出两根，再求m的值即可．

解答： 解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×k=36﹣4k≥0

∴k≤9

（2）∵k是符合条件的最大整数且k≤9 ∴k=9

当k=9时，方程x2﹣6x+9=0的根为x1=x2=3； 把x=3代入方程x2+mx﹣1=0得9+3m﹣1=0 ∴m=

点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 25．（10分）小明和小芳同时从张庄出发，步行15千米到李庄，小芳步行的速度是小明步行速度的1.2倍，结果比小明早到半小时．

（1）设小明每小时走x千米，请根据题意填写下表： 每小时走的路程（千米） 走完全程的时间（小时） 小明 x 小芳

（2）根据题意及表中所得到的信息列方程，求二人每小时各走几千米？

考点： 分式方程的应用．

专题： 应用题；图表型． 分析：

求的是速度，路程为15千米，一定是根据时间来列等量关系．本题的等量关系为：小明用时﹣小芳用时=． 解答： 解：（1）依次填写：

，1.2x，

（2）根据题意得

解得x=5

经检验，x=5是原方程的解， ∴1.2x=6．

答：小明每小时走5千米，小芳每小时走6千米．

点评： 应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式

方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：时间=路程÷速度，需注意分式应用题需验根．

26．（10分）我国是人口众多的国家，农村劳动力人数有4.8亿，农民是农业生产和经济建设的重要载体，是我国重要的人力资源，农民科技文化素质的高低不仅影响到农民的生活、农业的发展水平，而且还关系到我们国家建设小康社会的进程．从目前来看，我国农民的科技水平还不是很高．在农村4.8亿的劳动力中，小学文化程度以下的占40%，具有初中文化程度的占48%，具有高中文化程度的占12%，受过职业技术培训的占5%．请根据上面的数据信息解答下列问题：

（1）填写农民受教育情况表．

农民受教育情况表 文化程度 人数（亿） 小学以下 初中文化 高中文化 受过职业技术培训 （2）根据农民受教育情况表画出条形统计图．

（3）从农民受教育情况看，你有哪些积极的建议？（写出一条建议）

考点： 条形统计图；统计表． 专题： 应用题；阅读型；图表型． 分析： 由题意可知：

（1）小学一下的人数为4.8×40%=1.92亿人；初中文化的人数为4.8×48%=2.304亿人；高中文化的人数为4.8×12%=0.576亿人；受过职业技术培训的人数为4.8×5%=0.24亿人； （2）根据（1）的结论画条形图即可；

（3）建议：农民的整体受教育程度偏低，应该加强对初中及以下人员的培训．

解答： 解：

（1）

农民受教育情况表 文化程度 小学以下 初中文化 高中文化

受过职业技术培训 （2）

人数（亿） 1.92 2.304 0.576 0.24

（3）农民的整体受教育程度偏低，应该加强对初中及以下人员的培训（只要建议合理即可）．

点评： 本题考查根据数据自己绘制条形统计图的能力． 27．（12分）已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部．

（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连接AB1，请在∠MON内部作出以AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D．求证：△ACQ∽△AB1D； （3）连接CC1，试猜想∠ACC1为多少度？并证明你的猜想．

考点： 相似三角形的判定；等边三角形的性质． 专题： 证明题；压轴题；探究型．

分析： （1）分别以A、B1为圆心，AB1为半径，作弧在∠MON内部交于C1；

（2）两三角形有一公共角，且∠ACQ=∠AB1D=60°，即可证明△ACQ∽△AB1D；

（3）猜测∠ACC1=90°，证明△AOB1≌△ACC1最后根据全等三角形的对应角相等即可求出．

解答： 解：（1）作图如图．

（2）∵∠CAQ=∠B1AD，∠ACQ=∠AB1D=60°， ∴△ACQ∽△AB1D（AA）．

（3）猜测∠ACC1=90°．

∵OA=AC，∠OAB1=∠CAC1=60°﹣∠CAQ，AB1=AC1， ∴△AOB1≌△ACC1（SAS）， ∴∠ACC1=∠AOB1=90°． 故∠ACC1为90度．

点评： 此题主要考查等边三角形的作法以及等边三角形的性质在三角形相似和全等中的应用．

28．（12分）已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=

x2+

上，过A作AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于

点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为A′，重叠部分（阴影）为△BDC． （1）求证：△BDC是等腰三角形； （2）如果A点的坐标是（1，m），求△BDC的面积；

（3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点A′是否落在已知的抛物线上？请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）可通过证角相等来求解．由折叠的性质可得出∠ABD=∠ABD，根据AB∥OD，可得出∠ABD=∠ODB，

因此∠ODB=∠CBD，CD=BC，△BDC是等腰三角形． （2）求△BCD的面积，可用△BOD和△BOC的面积差来求，已知A的坐标为（1，m），那么可得出OB=AD=1，由于A在抛物线上，可根据抛物线的解析式求出m的值，即可得出AB、OD的长．进而可求出∠ABD的度数，也就能求出∠OBC的度数．在直角三角形OBC中，根据OB和∠OBC的度数即可求出OC的长，然后根据三角形的面积公式即可求出△BCD的面积．

（3）在（2）中已得出了B、C的坐标，可用待定系数法求出直线BC的解析式．

判定A′是否在抛物线上，首先要知道A′的坐标，可过A′作x轴的垂线，用求OC的方法求出A′的纵坐标，然后代入直线BC中即可得出A′的坐标，将A′的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出A′是否在抛物线上．

解答： （1）证明：由折叠的性质之：∠ABD=∠DBC，

∵四边形ABOD是矩形 ∴AB∥DO

∴∠ABD=∠CDB ∴∠CBD=∠BDC

∴△BDC是等腰三角形．

（2）解：∵点A（1，m）在y=∴m=

+

=

．

，DA=1，

，

﹣

=

．

x2+

上，

在直角三角形ABD中，AB=∴∠ABD=30°，

∴∠CBO=30°，CO=OB•tan∠CBO=

S△BCD=S△BDO﹣S△BCO=OD•OB﹣OB•OC=

（3）解：设直线BC解析式为：y=ax+b， ∵C（0，∴

），B（1，0）； ，

解得，

y=﹣+，

设A′的坐标为（x，y），过A′作A′M⊥x轴于M， A′M=BA′=AB=∴y=

，

+

， ，

代入y=﹣得x=﹣，

点A′的坐标是（﹣，将x=﹣代入y=得：y=

，

x2+

）， 中

∴A′落在此抛物线上．

点评： 本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形折叠变换、等腰三角形的判定以及二次函数的应用等

知识点，综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．