关于一阶线性非齐次微分方程解法的探究

关于一阶线性非齐次微分方程解法的探究

渊四川工商学院计算机学院袁四川

王满

眉山620000冤

摘要院文章介绍求解一阶线性微分方程通解的两种新方法院积分因子法和变量变换法遥根据微分方程的系统理论知识袁严格推演公式袁揭示一阶线性非齐次微分方程的通解与一阶线性齐次微分方程的通解之间的联系袁并举例验证这两种方法的正确性和有效性遥

关键词院一阶线性非齐次微分方程曰积分因子法曰变量变换法曰常数变易法曰公式法中图分类号院O175

文献标识码院A

(SchoolofComputerScience,SichuanTechnologyandBusinessUniversity,Meishan620000China)

Abstract:Twonewmethodsofsolutionstothefirstorderlineardifferentialequationsareintroduced:integralfactormethodand

SolutionstoFirstOrderLinearNonhomogeneousDifferentialEquations

WangMan

variabletransformationmethod.Basedonthesystematictheoryofdifferentialequationsandstrictdeductionofformulas,therelation鄄homogeneouslineardifferentialequationsisrevealed,andthecorrectnessandeffectivenessofthesetwomethodsareverifiedbyex鄄amples.

ConstantVariationmethod;Formulamethod.

shipbetweenthegeneralsolutionsoffirst-ordernon-homogeneouslineardifferentialequationsandthegeneralsolutionsoffirst-order

Keywords:FirstOrderLinearNonhomogeneousDifferentialEquations;Integralfactormethod;Variabletransformationmethod;

微分方程章节是微积分课程的重要组成部分袁是微积分理论在各领域中的具体应用遥微分方程已经在自然科学尧工程技术尧生物学尧物理学尧化学等学科中崭露头角遥在研究某些现象的变化过程中袁往往需要建立待求函数的导数或微分之间的关系式袁通过求解关系式去探索待求函数的某些特征遥在求解一阶线性非齐次微分方程时袁课本咱1暂和参考书上均使用常数变易法袁步骤清晰袁层层递推袁比较容易求解出通解遥但编者在介绍常数变易法时袁直接给出待定函数袁不仅没有给出常数变易法渊也可称为参数变易法或变易常数法冤的理论依据袁也没有说明待求函数的结构特点以及齐次微分方程的解与非齐次微分方程的解存在何种内在联系袁令读者费解遥基

于课本解法袁文章首先介绍微积分理论袁解决这些疑问遥然后介绍求解一阶线性非齐次微分方程的两种新解法要要要积分因子法和变量变换法遥最后举例并验证这两种方法的正确性和有效性袁并与课本方法做比较遥

1一阶线性微分方程

形如

(1)

的方程袁由于方程中导数的最高阶数是1袁y,y2都是一次有理式袁故称为一阶线性微分方程遥其中袁p(x),q(x)均为的连续函数遥

收稿日期院2019-5-23

基金项目院四川省民办教育协会2019年科研课题袁课题名称院民办高校野产教融合袁协同育人冶机制研究袁课题编号院作者简介院王满渊1990-冤袁女袁硕士袁助教/副主任袁主要研究方向为数字图像处理袁数学教学研究遥E-mail院1138044723@qq.com

MBXH19YB174遥

第3期王满院关于一阶线性非齐次微分方程解法的探究31

当q(x)以0时袁(1)式被称为一阶线性齐次微分方程遥

当q(x)不恒等于零时袁(1)式被称为一阶线性非齐次微分方程遥

根据齐次微分方程和非齐次微分方程解的结构定理咱1暂知袁非齐次微分方程的通解等于相应的齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的一个特解遥所以接下来袁先讨论一阶线性齐次微分方程通解遥1.1一阶线性齐次微分方程

形如

(2)

的微分方程称为一阶线性齐次微分方程遥(2)式本质上是可分离变量的微分方程袁求解时需要用到最基

本的方法要要要

分离变量法遥具体步骤如下院第一步院分离变量得院曰

第二步院两边同时积分得通解院

(3)

其中袁C是任意积分常数遥

这种方法简单易懂袁步骤简略遥使用的理论依据是不定积分袁寻找原函数遥

例1求解方程遥

解院分离变量得

两边同时积分袁得到

其中袁C1为任意常数遥

(4)

因此袁通解为xy=C袁这里,遥该通解也可以化成显函数形式

遥

为了方便简化推导过程袁以后在微分方程中遇到原函数是对数函数时袁直接不用加绝对值符号遥即(4)式变为lny=-1nx+lnC袁则通解为xy=C遥1.2一阶线性非齐次微分方程

讨论(1)式对应的一阶线性非齐次微分方程

(5)

的通解袁其中q(x)不恒等于零遥求此方程的通解袁课

本上使用的方法是要要要常数变易法遥具体步骤如下院

第一步院求出(5)式对应的齐次方程(2)式的通解院

遥

第二步院常数变易袁设C=u(x)袁求出y,y忆遥第三步院将y,y忆代入(5)式中袁解出

遥

第四步院将u(x)代入第二步中的表达式袁得到(5)式的通解

(6)

该方法过程简洁明了袁层次清晰袁使用方便遥但书本并未给出方程式(2)和(5)的内在联系袁也就是没说(5)明为肯定式是的什特么有疑解问遥要课将的堂C遥上变带袁为着如这样果u(x直)袁的接变疑给了问出之袁这后备课个的为形什么是时式袁我袁学生仔细专研教材和微分方程理论袁发现了求解(5)式的其他解法袁揭示一阶线性齐次微分方程和一阶线性非齐次微分方程的解的内在联系袁并找到了常数变易法的根本依据遥

第一种要要要

积分因子法遥对于一阶线性非齐次微分方程(5)式袁大家都知道这是不可分离变量的微分方程袁因此不能使用分离变量法遥但由于常数变易法尚未阐述清楚袁所以致力于寻找其他解法袁很幸运发现了巧妙的诀窍遥

先举个例子袁一阶线性非齐次微分方程

(7)

在方程式(7)的两边同时乘以袁显然会使得右端

变得简洁

(8)

但其实还有更有趣的作用遥根据隐函数的求导法则的逆过程得到

(9)

事实上袁根据函数的乘法求导法则和链式法则袁对

求导正好是(8)式的左端袁所以

恒成立遥为了将微分方程的通解求出袁只需要对(9)式两边同时积分即得即

为原微分方程的通解袁其中C为任意常数遥

32四川工商学院学术新视野2019年

上述求解微分方程的通解关键是乘以袁然

后将左边整体写成了

渊某式冤的形式袁这样就很

容易积分遥出于这原因袁将定义为积分因子袁同

时也发现2x3正好是6x2的一个原函数袁即该积分因

子可以写成其中袁

只表示6x2的一个原函数2x3纳出利用积分因子法求解(5)式的具体步骤遥如由下此院

袁归

第一步院两边同时乘以积分因子袁得到

(10)

第二步院由隐函数的求导法则的逆运算得院

(11)

第三步院两边同时积分院

第四步院两边除以积分因子袁得通解院

接下来袁我们再来讨论第二种要要要

变量变换法遥对于上述例子袁一阶线性非齐次微分方程

通过观察发现方程右端为函数乘积的形式袁猜想解也为函数乘积的形式遥于是袁先假设该微分方程的一个解为y=uv渊u袁v为x的函数冤袁利用乘积的求导6法则得y忆=u忆v+uv忆遥代入原方程得u忆v+u(v忆+0x2袁解得v)=袁遥再为了根据解u忆出=sinu袁xv得函数u=-cos袁先令x遥v忆同+6样x2v=得到微分方程的特解为袁所以上述方法是通遥

通解为

过分析了微分方程的系数和组成部分袁先猜想再验证遥这种方法的具体步骤如下院

第一步院设解为y=uv渊u袁v为x的函数冤袁则y忆=u忆v+uv忆遥

第二步院将y,y忆代入到(5)式中袁得

第三步院令袁则袁代入(12)

(10)式袁解出

第四步院得出(5)式通解为

上述阐述了两种新方法袁接下来袁通过例子说明

这两种方法的正确性和有效性袁同时对比四种方法的求解步骤和过程遥

2举例验证

例2求微分方程

的通解遥

该方程为一阶线性非齐次微分方程袁分别利用四种解法求解遥

解法1要要要<积分因子法>

第一步院两边同时乘以积分因子袁

得到

第二步院由隐函数的求导法则的逆运算得院第三步院两边同时积分得院

第四步院两边除以积分因子袁得解法2要要要<变量变遥

通解院

换法>

=u忆v+uv第一步院设特解为y=uv渊u袁v为x的函数冤袁则y忆=e第二忆遥

步院将y,y忆代入原方程袁得u忆v+u(v忆+vcosx)-sinx第遥

三步院令v忆+vcosx=0袁则v=e-sinx得u=x遥

袁代回第二步(x+C)第四步院将u袁v代入第一步得解袁则法通3解要要要为y<=常e出特解为y=xe-sinx-sinx数(变x+易C)法遥

>

第一步院不难求出该方程对应的齐次微分方程的通解为y=Ce-sinx第二步院令常遥

数变易袁设y=u(x)e-sinxy忆=u忆(x)e-sinx-u(x)cosxe-sinx袁则第三步院将y,y忆代入原方程遥

袁则u忆(x)=1袁u(x)=x+C遥

(x第四步院将u(x)代入第二步的y解+C中袁得通解为y=e-sinx法)遥

4要要要

<直接公式法>由于该方程是一阶线性非齐次微分方程的标准形式袁设

袁则由通解公式(6)得

从该例题可以看出院四种方法都能将微分方程

的通解求出遥公式法虽然看起来简单袁但一阶线性非

第3期王满院关于一阶线性非齐次微分方程解法的探究33

齐次微分方程的通解公式(6)本身比较难记忆袁况且数学学科也不主张学生去死记硬背公式遥常数变易法和积分因子法尧变量变换法步骤均为四步袁但常数变易法未能说明一阶线性非齐次和一阶线性齐次的解的联系袁学生只知其然袁不知其所以然遥积分因子法和变量变换法不仅分析了一阶线性非齐次微分方程的解的结构袁而且这两种方法的理论并不陌生袁均来源于前面所学章节袁不仅使学生明白该节知识点袁也能与已有知识建立起联系袁融会贯通袁使知识结构更清晰完整遥

料袁将理论吃透袁严格推导公式袁并试图找出多种有效方法去求解袁给学生传递更多的理论思想和知识袁培养数学思维和素质遥

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3总结

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